Математика 10 класс логарифмические уравнения и неравенства

«Решение логарифмических уравнений и неравенств» 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Методическая разработка урока «Решение логарифмических уравнений и неравенств», проведенного в форме деловой игры «Один день работы редакции газеты «Математический вестник»», позволяет выявить различные навыки и умения учащихся по теме.

В ходе занятия используются : фронтальный опрос, индивидуальная работа у доски, карточки с разно уровневыми заданиями, тесты, а так же исторические сведения по теме урока.

Данное занятие способствует совершенствованию речевой культуры; углублению знаний по математике; развитию творчества, логического мышления, вычислительных навыков; воспитанию интереса к математике; усилению прикладной ориентации курса математики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: « Решение логарифмических уравнений и неравенств».

Назначение : 10 класс.

Тип урока : комбинированный

Цели: – отработать навыки решения логарифмических уравнений и неравенств;

– развитие логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы;

– воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Оборудование: — заготовка газеты «Математический вестник»;

— таблички с названиями отделов;

— письма в редакцию;

— компьютер, мультимедийный проектор

— учебник для 10-11 классов «Алгебра и начала анализа» Ш.А.Алимов, Ю.М.Калягин и др.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Фронтальный опрос.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмических неравенств.
6. Тестирование.
7. Историческая справка о возникновении логарифмов.
8. Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Сегодня тема нашего занятия «Решение логарифмических уравнений и неравенств», на котором мы будем совершенствовать знания, умения и навыки по данной теме, используя свойства логарифмов, а так же свойства логарифмической функции.

А пройдет наше занятие в форме деловой игры «Один день работы редакции газеты «Математический вестник»». Я буду в роли главного редактора, а вы – члены редакции, корреспонденты.

Работу наша редакция начнет с проверки уровня вашей подготовки по данной теме, т.е. с проверки домашнего задания.

Проверка домашнего задания

К доске показать решение № 344(3) пойдет ____, а № 359(1) — _____.

Пока наши корреспонденты выполняют необходимые записи на доске, мы проверим решение двух других номеров устно.

Итак, № 344(4) комментирует с места _____.

D= 16+128=144; D>0, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.

х 1 =- 8 и x 2 = 4. Согласуем полученное решение с ООУ.

Ответ:- 8 и 4. Все согласны с решением?

№ 359(2) комментирует с места … .

log 0,5 ; ООН: ; 2х 2 + 3 >0 для любого значения х, значит, знак дроби зависит от знака знаменателя, т. е.; x- 7> 0; х > 7; .

log 0,5 log 0,5 1; так как функция у = log 0,5 t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству

> 0 при любом значении х, т.к. D

x-7 > 0 ; х> 7. Согласуем полученное решение с ООН.

У кого-нибудь получился другой ответ?

А теперь внимание на доску. Проверяем, как справились со своими заданиями на доске .

D = 36 + 108 = 144, D > 0, значит, квадратное уравнение имеет 2 различных действительных корня: x 1 =- 9, x 2 = — 3.

Согласуем полученное решение с ООУ: — 9 , — 3 .

log 5 ; ООН: , учитывая, что х 2 +1 > 0 при любом значении переменной х, получим 3х – 2 > 0; 3x > 2; x > , т.е x

log 5 ; так как функция у = log 5 t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства: ; ; ; ; т.к. х 2 +1>0 для любого х, то получим: > 0.

=0; D = 9 – 12 = — 3, D

Неравенство > 0 решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Кто не согласен с решениями на доске № 344(3) и № 359(1)? У всех такое же решение?

Итак, вы имеете не плохую подготовку. Продолжим нашу работу.

В каждой редакции есть свои отделы, будут они и у нас.

Ваш стол будет представлять отдел писем , ваш – информационный отдел , а ваш – аналитический.

Ответственным секретарем будет – ______.

Работа в редакции требует быстрой реакции на события дня, поэтому постарайтесь быть активными.

Итогом нашей работы сегодня будет выпуск газеты « Математический вестник ». Начнем работу, корреспонденция ждет вас.

Одна из рубрик нашей газеты « Математический калейдоскоп ». На вопросы наших читателей отвечают все корреспонденты, а вот статью в газету готовит из отдела писем корреспондент … .

(с помощью мультимедийного проектора).

1. От любого ли числа можно найти логарифм?

1. Какое число может стоять в основании логарифма?

3. Функция y=log 0,8 x является возрастающей или убывающей?

4. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

5. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Какое уравнение называют логарифмическим?

9. Дайте определение логарифма.

10. Какое неравенство называют логарифмическим?

Итак, одна заметка у нас уже готова.

Решение логарифмических уравнений.

Наша работа продолжается. Слово аналитическому отделу.

Я очень люблю разгадывать кроссворды. И вот, совсем недавно, натолкнулся на вопрос, требующий умения решать логарифмические задачи, а мы еще этого в школе не изучали. Помогите мне, пожалуйста. А задача такая: найти произведение корней уравнений и .

Ученик школы № 32 Антон Л.

Как вы думаете, что нужно сделать для того, что бы помочь Антону?

Так как в задании нужно решить два уравнения, то к доске пойдут 2 человека, ну, а все остальные будут работать на местах.

Кто возьмется за решение уравнений?

Обращаю ваше внимание на то, что у вас на столах лежат задания, которые вы выполняете самостоятельно, выбирая задачи с учетом ваших возможностей, на отдельных листах и сдаете в конце занятия. (Приложение 1).

D>0, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня х 1 = -2; х 2 =1.

Согласуем полученное решение с ООУ: 1 ; — 2 .

Пусть lgx = t, тогда уравнение примет вид:

D = 1 + 8 = 9, D> 0, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня t 1 =1, t 2 = .

Вернемся к переменной х.

Согласуем полученное решение с ООУ: 10 , .

1 – корень данного уравнения.

и 10 – корни данного уравнения.

Уравнения решены. Осталось найти произведение корней.

Ответ: — произведение корней данных уравнений

Готова еще одна заметка в газету.

Решение логарифмических неравенств

Продолжаем нашу работу. Еще есть письма? Прочитайте.

Помогите! Вопрос жизни и смерти. От того, решу ли я неравенства, зависит моя оценка за четверть. Вот эти неравенства:

Кто хочет помочь Олесе?

Первое неравенство решает ______, а второе – ______.

так как функция у = log 0,25 t убывающая и большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то приходим к неравенству:

Согласуем полученное решение с ООН.

(1; 2] – решение данного неравенства.

так как функция у = log 2 t возрастающая, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, поэтому приходим к решению следующего неравенства.

3x 2 – 9x –x – 8 >0;

3x 2 – 10x – 8 > 0;

Согласуем полученное решение с ООН.

– решение данного неравенства.

А вот с неравенствами, как 3-е вам еще не приходилось сталкиваться. Поэтому я, как главный редактор, помогу вам в его решении.

1 ≤ 0 – неверно, значит, на данном промежутке неравенство решений не имеет.

1 ≥ 0 –верно для любого х из промежутка .

Т.е. — решение данного неравенства.

У кого-нибудь есть вопросы по решению этого неравенства?

Следующий этап нашей работы – корреспондентское расследование . В жизни часто приходится сталкиваться с выбором, вот и вам нужно найти верное решение на поставленные задачи. Тестирование ( Приложение 2).

Возьмите и подпишите заготовку для ответов, как ее заполнять вы, конечно же, знаете. Итак, приступайте к выполнению теста.

Аналитический отдел, соберите тексты тестов и результаты тестирования. Проведите сортировку по вариантам и сдайте все редактору.

Историческая справка о возникновении логарифмов

Посмотрите, нет ли еще писем на ваших столах, требующих ответа. Есть? Прочитайте.

Пишет студентка 2 курса Щекинского политехнического колледжа Наташа Л.

«Что такое логарифм и как его вычислять – я знаю. Знаю свойства логарифмов и основное логарифмическое тождество, а вот история возникновения логарифмов мне неизвестна. Расскажите об этом в своей газете».

Ответить на это письмо нам поможет корреспондентка информационного отдела ___ . Историческая справка о возникновении логарифмов.(Приложение 3)

Поместите свою статью в газету.

Статью о логарифмической линейке в нашу газету подготовил корреспондент ____. Это интересно (Приложение 4).

Поместите свою статью в газету в рубрику «А знаете ли вы, что…».

Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Корреспондентское расследование показало следующие результаты.

С тестом справились на «5 » ______ человек

На «4 » ______ человек

На «3» ______ человек

На «2 » ________ человек.

А это значит, что над решением логарифмических уравнений и неравенств нужно поработать еще. И впереди у вас новое задание – задание на дом.

Дома повторить §15 – 20 и задания № 1, №4,№5,№6 на стр.112.

Работа нашей «Редакции» завершена. В ходе работы мы не только решали логарифмические уравнения и неравенства, отвечали на вопросы, вспоминали свойства логарифмов, но и выпустили газету «Математический вестник» , в которой отражены рубрики: «Это интересно», «Из истории», «Математический калейдоскоп», «Спрашивали — отвечаем», «Помоги другу», «Познай себя».

За работу на занятии получили оценки:

Спасибо вам за работу на уроке.

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002
2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.
3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004
4. Кузневич,С.В., Лакоценина, Т.П. Не совсем обычный урок: Практич. Пособие для учителей, студентов пед. Учеб. заведений, слушателей ИПК./ С.В. Кузневич, Т.П.Лакоценина. – Ростов -на-Д: Творческий центр «Учитель», 2001
5. Николаева, Л.С., Лесных, Л.И. Использование нетрадиционных форм занятий. Специалист. 1992., № 2.
6. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004
7. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Открытый урок в 11 классе «Решение логарифмических уравнений — поиск ошибок»

Открытый урок в 11классе МАОУ СОШ №2 г. Усть – Лабинска Краснодарского края по теме «Решение логарифмических уравнений – поиск ошибок»учитель высшей квалификационной категории Ряшина Н.И.

Конспект урока по алгебре в 11 классе «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе.Тема урока: « Решение логарифмических уравнений и неравенств».

Модульная программа по теме «Решение логарифмических уравнений», 11 класс

Модульная программа, состоящая из двух модулей (уроков), разработана для обучающихся 11 классов.

Конспект обобщающего урока «Логарифмическая функция. Методы решения логарифмических уравнений», алгебра 11 класс.

Урок обобщения и систематизации знаний с использованием индивидуальной, фронтальной, коллективной форм работы. Используются разноуровневые задания.Урок позволяет создать условия для развития творчески.

Логарифмы. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств

Конспект для открытого урока с презентацией.

Открытый урок 11 класс «Решение логарифмических уравнений. Нестандартные приемы решения»

Решение логарифмических уравнений.

«Логарифмические уравнения. Способы решения логарифмических уравнений»

В презентации рассматриваются свойства логарифмов. Методы решения логарифмических уравнений. Тест на решение уравнений.

Разработка открытого урока математики в 10 классе «Решение логарифмических уравнений и неравенств»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ ДАГЕСТАН

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЁННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«АШАГА — ЯРАКСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Директор МКОУ «Ашага-Яракская СОШ»

___________ М. А. Азизов

по математике в 10 классе на тему:

Подготовил: учитель математики

МКОУ «Ашага-Яракская СОШ»

Асланов Нурудин Усманович

Тема урока: Решение логарифмических уравнений и неравенств

Образовательные: создать условия для повторения и обобщения знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств», систематизировать способы деятельности учащихся по применению комплекса знаний и способов действий по данной теме

Развивающие: развивать способности применять теоретические знания на практике, развивать навыки работы с тестовыми заданиями, логическое мышление, память, внимание, развивать навыки самоконтроля.

Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к изучению математики, трудолюбие, взаимопомощь, волю и настойчивость в достижении поставленной цели.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний и способов действий в сочетании с их комплексным применением.

Оборудование урока: компьютер, проектор, экран.

I. Организация начала занятия.

Учитель: Здравствуйте! Тема нашего урока «Логарифмические уравнения и неравенства»

Цель урока обобщить и систематизировать знания и умения по теме

Сегодня каждый из вас проведет диагностику своих знаний по данной теме, для этого у вас имеются диагностические карты, в которых вы оцените свои знания и возможности по каждому из разделов.

Перед вами слова известного французского философа и математика Рене Декарта:

«Недостаточно только иметь хороший разум,

но главное — это хорошо применять его».

Думаю, что эти слова помогут нам сегодня в нашей работе.

В соответствии с этой оценкой на индивидуальных консультациях мы постараемся устранить имеющиеся пробелы.

Последуем совету Декарта и используем свои знания в устной работе.

II. Подготовка учащихся к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока:

а) актуализация опорных знаний

(Учащиеся работают устно по упражнениям, представленным на экране с помощью проектора)

Давайте с вами ещё раз вспомним какие уравнения называются логарифмическими и заострим своё внимание на тех моментах, которые играют немаловажную роль при выполнении заданий.

− Является ли уравнение lg 5+ xlg 6=3 логарифмическим?

− Существует ли хотя бы одно значение x , при котором верно равенство lg ( x +3)= lgx + lg 3

− Как найти область определения логарифмического уравнения log _4-х (х-2)= log _4-х x

− Как решается уравнение, содержащее неизвестное и в основании, и в показателе степени, например, x lg x = 10?

2) Решите уравнения:

б)

в) =36

− Что такое логарифмические неравенства?

− На чем основано решение логарифмических неравенств?

Оцените свои умения решать простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

4. Учащимся предлагается выполнить тест с последующей проверкой. Тест представлен на экране. После выполнения теста на экран выводится слайд с ответами.

первый вариант второй вариант

1) -1 и 5; 2) 5; 3) 5 и -1; 4) -1. 1) 1; 2) 1 и 2; 3) 2; 4)-1и 2.

2.Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

1) [-7 ; -4]; 2) [-4; -1] 3) [-1 ; 2]; 4) [2 ; 5] 1) (-5; 0); 2) (0; 3); 3) (3; 8); 4) (10; 16)

1) Ø; 2) (-∞; 1,5); 3) (-2,5; 1,5); 4) (-2,5; +∞) 1) Ø; 2) (2,5; 4,5); 3) (4,5; +∞); 4) (-∞; 2,5)

4. Какое из предложенных чисел является решением неравенства:

1) -1.9; 2) -√5; 3) 2.3; 4) 5 1) √5/2; 2) 2.7; 3) 3; 4) 3.2

После окончания работы учащиеся сдают тест на отдельных листочках, оставив при этом для проверки номера выбранных ответов. Далее учащимся предоставляется возможность проверить и оценить свою работу.

На экране следующий слайд:

Первый вариант 1 3 3 1

Второй вариант 2 4 3 4

Верно 4 задания — оценка «5»

3 задания — оценка «4»

2 задания — оценка «3»

Другие варианты — «нужно поработать»

III . Закрепление и применение знаний и способов действий.

После того, как вы справились с обязательным уровнем подготовки, предлагаю заняться более интересным делом «Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше размышлять, чем заучивать».

Задания для работы

1) Решить уравнение:

2) Решить неравенство:

учащимся предлагается выполнить дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой.

1. Решить уравнение

2. Решить неравенство

Выполнив работу, учащиеся сдают ее на проверку.

IV . Домашнее задание:

составить тест по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом.

V . Итоги урока. Рефлексия.

1. Сегодняшний урок помог мне …

2. Сегодня на уроке мне запомнилось …

3. Сегодня на уроке я научился …

4. Сегодняшний урок дал мне …

Ребята, вы выставили себе оценки за каждый этап урока. Найдите средний балл, это есть предварительный результат вашей работы на уроке.

Довольны ли вы собой, своей работой?

Поднимите, пожалуйста, руку те, чей средний балл «5» или «4». Это результат хороший.

Ребята, а с теми из вас, кто не доволен результатами своей работы по данной теме, у кого есть вопросы, мы с вами встречаемся на дополнительном занятии.

Благодарю вас за урок и до следующей встречи.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 920 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 685 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 582 895 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.03.2021
• 103
• 4

• 12.03.2021
• 261
• 0

• 12.03.2021
• 79
• 0

• 12.03.2021
• 96
• 0

• 12.03.2021
• 93
• 1

• 12.03.2021
• 123
• 1

• 12.03.2021
• 424
• 1

• 12.03.2021
• 114
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.03.2021 148
• DOCX 402.1 кбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Асланов Нурудин Усманович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 11 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1751
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Забайкалье в 2022 году обеспечат интернетом 83 школы

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).