Урок математики по теме: «Виды уравнений. Методы решения уравнений» для 10 класса или 2 курса НПО
ГАОУ НПО Профессиональный лицей № 59
Оренбургская область, Красногвардейский район, с. Плешаново
Виды уравнений. Методы решения уравнений.
Убоженко Марина Николаевна
2 курс профессия: «Мастер по обработке цифровой информации», соответствует программе 11 класса
Тема: Виды уравнений. Методы решения уравнений.
Цели: повторить различные виды уравнений; повторить методы решения уравнений; закрепить навыки решения уравнений различными методами; развивать навыки самостоятельной деятельности как при фронтальной работе, так и индивидуальной.
Тип урока: изучение нового материала
Обеспечение урока: плакаты; памятка по методам решения уравнения; опорный конспект; карточки – задания.
Формы работы : фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка.
I Организационный момент. (проверка готовности к уроку; приветствие)
Тема «Уравнения» — одна из важнейших тем курса алгебры. Тема для вас как таковая не новая. В школе и уже на 1 курсе вы изучили большую часть видов уравнений, а также методы их решения. На сегодняшнем уроке нам ещё раз необходимо повторить эти виды и закрепить навыки решения уравнений различными методами. А на последующих уроках мы познакомимся с новыми для вас видами уравнений. Давайте приступим к работе.
II Актуализация знаний.
Что называется уравнением?
Что называется решением уравнения?
Что называется ОДЗ переменной уравнения?
Устная работа (на доске задание)
Укажите ОДЗ уравнения:
III Изучение нового материала.
Как я уже сказала на сегодняшнем уроке нам необходимо вспомнить все известные вам виды уравнений.
Какие вы помните виды уравнений? (ответы учащихся)
Теперь давайте классифицируем все виды.
Также к алгебраическим ещё относятся: уравнения с модулем; уравнения высших порядков (н-р, биквадратные). С алгебраическими уравнениями и некоторыми трансцендентными вы уже знакомы.
Давайте вспомним общий вид некоторых уравнений:
Линейное уравнение ax = b , где a , b – некоторые числа, х – переменная
Давайте теперь вспомним методы решения уравнений: (плакат приложение)
IV Закрепление. (работа в группах)
Каждой группе раздаются карточки, где даются различные виды уравнений, их необходимо соотнести с методами решений уравнений. Затем 1 группа решает любое уравнение методом разложения на множители; 2 группа – методом введения новой переменной; 3 группа – графическим методом.
Один человек от группы защищает одно уравнение по своему методу возле доски.
Краткий экскурс в тему (тест с самопроверкой)
Тест «верно — неверно».
Определите, верны ли высказывания?
Корни уравнения х 2 – 4 = 0 являются противоположными числами? (да)
Уравнение х 2 – 10х + 25 = 0 имеет один корень? (нет)
Решением уравнения называют, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в неверное равенство? (нет)
Уравнение 4х 2 + 25 = 0 имеет два корня? (да)
Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет? (да)
В заключении урока попрошу выразить ваше настроение смайликом.
Учебник «Математика », г. Москва, «Академия», 2012, автор: Башмаков М. И.
Поурочные методические рекомендации 10 класс, г. Москва, «Просвещение», 2011, автор – Сафонова Н.В.
Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений методом разложения на множители.
Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной
Метод деления на многочлен
Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений методом введения новой переменной.
Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной
Метод деления на многочлен
Задание: Соотнести данные виды уравнений с методами решений уравнений. Решить одно из уравнений графическим методом.
Метод разложения на множители.
Метод введения новой переменной
Метод деления на многочлен
План урока математики в 23 группе («Мастер по обработке цифровой информации») в рамках методической недели МК преподавателей ООД Профессионального лицея № 59.
Тема: Виды уравнений. Методы решения уравнений.
Цели: 1) Изучить различные виды уравнений, методы решения уравнений;
2) Формировать навыки решения уравнений различными методами;
3) Развивать навыки самостоятельной деятельности как при фронтальной работе, так и индивидуальной.
Тип урока: изучение нового материала.
Обеспечение урока: плакаты, памятка по методам решения уравнений, опорный конспект, карточки-задания.
Формы работы: фронтальный опрос, работа в группах, взаимопроверка.
I Организационный момент: проверка готовности к уроку, приветствие.
II Актуализация знаний : 1) фронтальный опрос по основным терминам данной темы (Что называется уравнением? Что называется решением уравнения? Что называется ОДЗ переменной уравнения?)
2) устная работа (укажите ОДЗ уравнения)
III Основная часть – изучение нового материала.
Рассматриваем классификацию уравнений (плакат)
Вспоминаем общий вид некоторых уравнений
Рассматриваем основные методы решения уравнений (плакат)
IV Закрепление: работа в группах.
Необходимо соотнести различные виды уравнений с методами их решений.
Один человек от группы защищает одно уравнение по своему методу возле доски.
V Подведение итогов урока: оценки за урок, краткий экскурс в тему (тест с самопроверкой); как изучили (настроение выразить смайликом).
Определение. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные (переменные).
Определение . Решением уравнения называют, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.
Определение. Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Определение. Областью допустимых значений переменной уравнения f ( x ) = g ( x ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f ( x ) и g ( x ).
Теоремы о равносильности уравнений.
Теорема 1. Два уравнения порознь равносильные третьему равносильны между собой.
Теорема 2. Если обе части уравнения или одну тождественно преобразовать, то получим уравнение равносильное исходному.
Теорема 3. Если к обеим частям уравнения прибавить (отнять) одно и тоже математическое выражение, то получим новое уравнение равносильное данному.
Теорема 4. Если обе части исходного уравнения умножить (разделить) на одно и тоже математическое выражение отличное от 0 при всех допустимых значениях неизвестного, то получим уравнение равносильное исходному.
Теорема 5. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень или извлечь корень одной и той же нечетной степени, то получим уравнение равносильное исходному.
Теорема 6. Если обе части уравнения имеют один и тот же знак в области допустимых значений, то при возведении обеих частей в четную степень получим уравнение равносильное данному.
Показательные уравнения. 10-й класс
Разделы: Математика
Класс: 10
Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.
Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.
Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.
Структура урока
1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока
– Прочитайте тему сегодняшнего урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения называются показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.
2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)
- Подберите корень уравнения 2 х = 32; 3 х = 27; 10 х = 10000
- Решите уравнение х 2 = 36; х 2 + х = 0; х 2 + 2х + 1 = 0
- Найдите область значений функции у = π х ; у = (0,5) х ; у = (0,5) |х|
- Сравните, используя свойства функций, с единицей 2 – 5 ; (0,5) – 3 ; (0,5) 0,5
3. Изучение нового материала (лекция)
Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4). Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).
1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а х = а в , где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160 учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
Пример 1 (слайд № 6).
(0,0016) 0,2 х + 1 = 25;
5 – 4 (0,2 х + 1) = 52;
– 0,8 х – 4 = 2;
– 0,8 х = 6;
х = – 7,5 .
Пример 2 (слайд №7)
36 · 6 х = 1;
6 2 + х = 60;
2 + х = 0;
х = – 2.
Пример 3 (слайд №8)
81 х · 2 4х = 36;
3 4х · 2 4х = 62;
6 4х = 6 2 ;
4х = 2;
х = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 4 (слайд № 9)
2 х – 3 = 3 х – 3 ;
х – 3 = 0;
х = 3.
Ответ: 3.
2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
2 · 3 х + 1 – 6 · 3 х – 1 – 3 х = 9;
3 х (2 · 3 – 6 · 3 – 1 – 1) = 9;
3 х · 3 = 9;
3 х = 3;
х = 3.
Ответ: 3.
Пример 2 (слайд № 11).
5 2х – 7 х – 5 2х · 17 + 7 х · 17 = 0;
5 2х – 5 2х · 17 = 7 х – 7 х · 17;
5 2х (1 – 17) = 7 х (1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5 2х = 7 х ;
25 х = 7 х ;
х= 0.
Ответ: 0.
3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.
9 х – 4 · 3 х = 45;
3 2х – 4 · 3 х – 45 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t1 = 9,
t2 = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 9;
3 х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.
4. Закрепление изученного материала
– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём №680(3), 681(1), 682(3), 684(1), 693(2).
5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой
– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).
- (0,3) 5 – 2х = 0,09;
- 225 · 15 2х + 1 = 1;
- 3 х + 1 – 3 х = 18;
- 9 х – 26 · 3 х – 27 = 0
Решение № 1 (слайд № 14)
Решение № 2 (слайд № 15)
15 2 · 15 2х + 1 = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.
Решение № 3 (слайд № 16)
3 х · 3 – 3 х = 18;
3 х (3 – 1) = 18;
3 х · 2 = 18;
3 х = 9;
3 х = 3 2 ;
х = 2.
Ответ: х = 2.
Решение № 4 (слайд № 17)
3 2х – 26 · 3 х – 27 = 0;
Замена 3 х = t, t > 0;
t 2 – 26 t – 27 = 0;
t1 = 27,
t2 = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3 х = 27; 3 х = 3 3 ; х = 3;
Ответ: 3.
6. Подведение итога урока. Рефлексия
– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?
7. Домашнее задание (слайд № 18)
Виды уравнений и методы их решения
В разработке рассматриваются виды алгебраических уравнений и методы их решения.
Просмотр содержимого документа
«Виды уравнений и методы их решения»
Виды уравнений и методы их решения
Уравнения подразделяются на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня. Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные.
В курсе математики основной школы рассматриваются только алгебраические уравнения. Рассмотрим более подробно их виды и алгоритм решения.
Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений как:
целые — с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;
дробные — содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;
иррациональные — алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.
Дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.
Существует также и ещё одна классификация, которая основывается на степени, которая имеется в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также могут называться уравнениями первой степени, квадратные — второй, а кубические, соответственно, третьей.
Рассмотрим особенности решения алгебраических уравнений
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Остановимся на основных понятиях.
Тождество — это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв. Для записи тождества наряду со знаком (равно) также используется знак (равносильности).
Уравнение — это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:a, b, c. – или теми же буквами, снабженными индексами:, . или , . ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: или теми же буквами, снабженными индексами, например ….
В общем виде уравнение может быть записано так:
F ()=0.
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество (верное равенство), называют решениями уравнения.
Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Если все решения одного уравнения являются решениями другого уравнения, то такие уравнения называют эквивалентными.
Рассмотрим некоторые эквивалентные уравнения:
Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
Уравнение =0 эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения.
эквивалентно двум уравнениям и.
Уравнение эквивалентно уравнению .
Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида , где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида:
,
где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена называются , ……коэффициентами (или параметрами), называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.
Значения неизвестного , обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (решениями) алгебраического уравнения.
Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.
Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.
Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка (и) пересечения двух графиков даст решение (я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.
Рассмотрим методы решения уравнений.
Линейным уравнением называется уравнение первой степени.
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число -b, получаем уравнение
, (2) эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):
Алгебраическое уравнение второй степени (3),
где a, b, с– некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением.
Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде
Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если , , то оба корня отрицательны;
если , , то оба корня положительны;
если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.
Перепишем еще раз квадратное уравнение
и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
Заметим, что , поэтому
но , из формулы (7) поэтому окончательно
Если положить, что + , то
Заметим, что , поэтому
но , поэтому окончательно
Уравнения n-й степени вида
называется двучленным уравнением. При и заменой (2))
где — арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле
Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).
Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
Уравнение имеет два действительных корня .
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
оказались «крепким орешком». В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:
Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:
Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и — корни уравнения
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
Эта формула известная как формула Кардано.
подстановкой приводится к «неполному» виду
Корни , , «неполного» кубичного уравнения (14) равны
Пусть «неполное» кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если («неприводимый» случай), то и
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой уравнение сводится к квадратному уравнению с последующим решением двух двучленных уравнений и ( и — корни соответствующего квадратного уравнения).
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
Если , (3)), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня и мнимых сопряженных корня:
Если и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена подстановкой . Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде , где левая часть – квадрат выражения , а правая часть – квадрат линейного уравнения от , коэффициенты которого зависят от . После этого останется решить два квадратных уравнения: и . Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде , тогда уравнение перепишется так:
Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от . Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.
Это уравнение называется резольвентным (т.е. «разрешающим»). Относительно оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень . При правая часть уравнения (15) принимает вид
а само уравнение сводится к двум квадратным:
Их корни и дают все решения исходного уравнения.
Решим для примера уравнение
Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде
и добавим к обеим частям выражение , чтобы в левой части образовался полный квадрат:
Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:
или, после упрощения,
Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: . После подстановки этого значения получим уравнение
откуда . Корни образовавшихся квадратных уравнений — и . Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.
подстановкой приводится к «неполному» виду
Корни , , , «неполного» уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений
в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
причем , и — корни кубичного уравнения
Уравнения высоких степеней
Разрешимость в радикалах
Формула корней квадратного уравнения известна с незапамятных времен, а в XVI в. итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Таким образом, было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение корней степени, не превышающей степень уравнения. Более того, все уравнения данной степени ( ) можно «обслужить» одной общей формулой. При подстановке в нее коэффициентов уравнения получим все корни – и действительные, и комплексные.
После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие общие формулы для решения уравнений пятой степени и выше? Ответ на него смог найти норвежский математик Нильс Хенрик Абель в начале XIX в. Чуть раньше этот результат был указан, но недостаточно обоснован итальянцем Паоло Руффини. Теорема Абеля-Руффини звучит так:
Общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.
Таким образом, общей формулы, применимой ко всем уравнениям данной степени , не существует. Однако это не значит, что невозможно решить в радикалах те или иные частные виды уравнений высоких степеней. Сам Абель нашел такое решение для широкого класса уравнений произвольно высокой степени – так называемых абелевых уравнений. Теорема Абеля-Руффини не исключает даже и того, что корни каждого конкретного алгебраического уравнения можно записать через его коэффициенты с помощью знаков арифметических операций и радикалов, в частности, что любое алгебраическое число, т.е. корень уравнения вида
с целыми коэффициентами, можно выразить в радикалах через рациональные числа. На самом деле такое выражение существует далеко не всегда. Это следует из теоремы разрешимости алгебраических уравнений, построенной выдающимся французским математиком Эваристом Галуа в его «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах» (1832 г.; опубликован в 1846 г.).
Подчеркнем, что в прикладных задачах нас интересует только приближенные значения корней уравнения. Поэтому его разрешимость в радикалах здесь обычно роли не играет. Имеются специальные вычислительные методы, позволяющие найти корни любого уравнения с любой наперед заданной точностью, ничуть не меньшей, чем дают вычисления по готовым формулам.
Уравнения, которые решаются
Хотят уравнения высоких степеней в общем случае неразрешимы в радикалах, да и формулы Кардано и Феррари для уравнений третьей и четвертой степеней в школе не проходят, в учебниках по алгебре, на вступительных экзаменах в институты иногда встречаются задачи, где требуется решить уравнения выше второй степени. Обычно их специально подбирают так, чтобы корни уравнений можно было найти с помощью некоторых элементарных приемов.
В основе одного из таких приемов лежит теорема о рациональных корнях многочлена:
Если несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель — делителем старшего коэффициента .
Для доказательства достаточно подставить в уравнение и умножить уравнение на . Получим
Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на , поэтому и делится на , а поскольку и — взаимно простые числа, является делителем . Доказательство для аналогично.
С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для уравнения
старший коэффициент которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа –2. Их всего четыре: 1, -1, 2 и –2. Проверка показывает, что корнем является только одно из этих чисел: .
Если один корень найден, можно понизить степень уравнения. Согласно теореме Безу,
остаток от деления многочлена на двучлен равен , т. е. .
Из теоремы непосредственно следует, что
Если — корень многочлена , то многочлен делится на , т. е. , где — многочлен степени, на 1 меньшей, чем .
Продолжая наш пример, вынесем из многочлена
множитель . Чтобы найти частное , можно выполнить деление «уголком»:
http://urok.1sept.ru/articles/652984
http://multiurok.ru/files/vidy-uravnienii-i-mietody-ikh-rieshieniia.html