Математика 5 класс смешанные числа уравнения

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Уравнения со смешанными дробями

Уравнения со смешанными дробями можно решать двумя способами. Рассмотрим каждый из них на примере.

Решить уравнение со смешанными дробями:

1 способ: Это — линейное уравнение . Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Смешанные числа переведем в неправильные дроби:

Теперь обе части уравнения умножаем на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

Таким образом, уравнение со смешанными дробями заменили на уравнение с целыми числами:

Это — линейные уравнения. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ записываем в виде обыкновенной дроби:

Решать уравнения со смешанными числами можно обоими способами. На мой взгляд, второй способ удобнее. Еще два уравнения со смешанными дробями, решенные с помощью умножения на наименьший общий знаменатель.

Переводим смешанные числа в неправильные дроби:

Обе части уравнения умножаем на наименьший общий знаменатель всех дробей:

От уравнения со смешанными числами переходим к уравнению с целыми числами:

неизвестные слагаемые переносим в одну сторону, известные — в другую, изменяя при переносе знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Урок математики, 5-й класс, тема «Смешанные числа»

Разделы: Математика

Класс: 5

Цель урока:

• Образовательная:
  • развитие компетенций:
  • использование теоретических знаний на практике;
  • умение сравнивать; решать уравнения;
• Развивающая:
  • развитие логического мышления, умение переходить от
  • простого к более сложному, умение устанавливать соответствие поставленной цели результатам своей деятельности;
• Воспитательная:
  • привитие навыка аккуратного оформления работы;
  • воспитание ответственности за качество обучения.

Оборудование: мультимедийный проектор, интерактивная доска, диск.

Структура урока:

• Организационный момент.
• Устный счет (работа с мультимедиа)
• Решение упражнений.
• Физкультминутка для глаз.
• Устный счет (работа с интерактивной доской).
• Самостоятельная работа.
• Задание на дом.
• Подведение итогов урока. Обратная рефлексия.

1. Организационный момент (2 мин.)

Цели: способствовать созданию для учащихся рабочей обстановки.

Сформулировать совместно с учащимися цель урока и с какими компетенциями предстоит работа в течение урока. Над данной темой мы уже работали несколько уроков, подумайте и постарайтесь оценить по 5-бальной системе свою компетентность по теме «Смешанные числа», оценку поставьте на полях, ниже записи числа, а в конце урока проверим, насколько точно мы определили свои знания.

; ; ; ; ; .
б) Представить смешанное число в виде неправильной дроби: (Приложение 1, слайд 4)

5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 8 ; 9 .

в) Представить данное число в виде дроби со знаменателем: (Приложение 1, слайд 5)
5 = ; 7 = ; 13 = .

3. Решение упражнений (13 мин.)

В первый день старик поймал кг рыбы, что меньше массы рыбы, пойманной во второй день, на кг. Сколько рыбы поймал старик за два дня?

1-й день – кг, на кг меньше, чем во 2-й день
2-й день – ? кг.

1) + = (кг) – во 2-й день
2) + = (кг) – за два дня поймал старик

Ответ: кг рыбы.

2) Решение уравнений (9 мин.)

а) б) в) х —

(х = ) (у = ) (х = )

4. Физкультминутка для глаз (2 мин.)

Положите руки перед собой на стол.
Крепко зажмурьте глаза на 3-5 секунд. Затем широко их откройте, тоже на 3-5 секунд. Повторите это упражнение 3 раза.
Часто поморгайте глазами, представляя, как порхает бабочка своими красивыми крылышками в течение, пока я досчитаю до тридцати.
Закройте глаза и постарайтесь «рисовать» ими восьмерку пока я досчитаю до десяти.
Продолжаем работу.

5. Устные упражнения: (работа на интерактивной доске) (5 мин )

Задание:

Распределите числа, записанные на доске на три группы:

• правильные дроби
• неправильные дроби
• смешанные числа.

У доски один ученик «перетаскивает» числа, в это время остальные
самостоятельно решают задачу.

Задача 2. (Решается самостоятельно с последующей самостоятельной проверкой по готовому решению) (Приложение 1, слайд 7)
Спица на куполе дворца может выдержать вес кг. Царю подарили петушка массой кг. Выдержит ли спица, если петушок поправится на кг?

1) (кг) будет весить петушок.
2) , значит спица не выдержит

Ответ: спица не выдержит.

Проверяется выполнение задания на интерактивной доске и обсуждаются вопросы:

– Какая дробь называется правильной?
– Какая дробь называется неправильной?
– Дать понятие смешанного числа.

По мультимедиа проверить самостоятельное решение задачи 2.

6. Самостоятельная работа по двум вариантам (10 мин.) (Приложение 1, слайд 8)

I. Сравнить дроби:

а) 1 и ; а) и 1;
б) 4 и 8 ; б) 12 и 21 ;
в) 15 и 15 ; в) 17 и 17 ;

а) 1 – + ; а) 1 – + ;
б) 1 – + 2; б) + 3 – ;

III. Решить уравнение:

х – = 1 х + = 1 .

Работы сдаются на проверку учителю и окончательное соответствие оценки своих знаний каждым ребенком, поставленной в начале данного урока, и результата самостоятельной работы проведем на следующем занятии.

7. Задание на дом (1 мин.)

8. Рефлексия урока (1 мин.)

Соотнесите собственную цель урока с полученными результатами. Выставьте себе оценку за урок и проверьте, соответствует ли она той, которую вы определили в начале урока.