10. Уравнение
Задача. На левой чашке весов лежат арбуз и гиря в 2 кг, а на правой чашке — гиря в 5 кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза?
Решение. Обозначим неизвестную массу арбуза буквой х. Так как весы находятся в равновесии, должно выполняться равенство х + 2 = 5.
Нам надо найти такое значение х, при котором выполняется это равенство. По смыслу вычитания, таким значением будет разность чисел 5 и 2, то есть 3. Значит, масса арбуза равна 3 кг. Пишут: х = 3.
Если в равенство входит буква, то равенство может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других её значениях.
Например, равенство х + 2 = 5 верно при х = 3 и неверно при х = 4.
Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.
Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Например, корнем уравнения х + 2 = 5 является число 3.
Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня).
Пример 1. Решим уравнение х + 12 = 78.
Решение. По смыслу вычитания, неизвестное слагаемое равно разности суммы и другого слагаемого.
Поэтому х = 78 — 12, то есть х = 66.
Число 66 является корнем уравнения х + 12 = 78, потому что 66 + 12 = 78.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (рис. 44, а).
Пример 2. Решим уравнение у — 8 = 11.
Решение. По смыслу вычитания, у является суммой чисел 11 и 8. Значит, у = 11 + 8, то есть у = 19.
Число 19 является корнем уравнения у — 8 = 11, так как верно равенство 19 — 8 = 11.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (рис. 44, б).
Пример 3. Решим уравнение 15 — z = 9.
Решение. По смыслу вычитания, число 15 является суммой z и 9, то есть z + 9 = 15. Из этого уравнения находим неизвестное слагаемое: z = 15 — 9, то есть z = 6.
Число 6 является корнем уравнения 15 — z = 9, так как верно равенство 15 — 6 = 9.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (рис. 44, в).
Вопросы для самопроверки
- Какое равенство называют уравнением?
- Какое число называют корнем уравнения?
- Что значит решить уравнение?
- Как проверить, верно ли решено уравнение?
- Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?
Выполните упражнения
372. Решите уравнение:
- а) x + 37 = 85;
- б) 156 + у = 218;
- в) 85 — 2 = 36;
- г) m — 94 = 18;
- д) 2041 — n = 786;
- е) р — 7698 = 2302.
При чтении уравнений и буквенных выражений помните, что названия букв х, у, z — мужского рода, а названия остальных латинских букв — среднего рода.
Склонять названия букв в математике не принято.
х + 25 = 50 — сумма икс и двадцати пяти равна пятидесяти;
х = 25 — икс равен двадцати пяти;
р — 18 = 20 — разность пэ и восемнадцати равна двадцати;
р = 38 — пэ равно тридцати восьми.
373. Решите с помощью уравнения задачу:
- а) В корзине было несколько грибов. После того как в неё положили ещё 27 грибов, их стало 75. Сколько грибов было в корзине?
- б) В мотке было несколько метров проволоки. После того как отрезали 9 м, осталось 25 м. Сколько метров проволоки было в мотке?
- в) Электропоезд был в пути 1 ч 15 мин. Некоторое время он затратил на остановки, а двигался 46 мин. Сколько времени затрачено на остановки?
- г) В спортивном лагере 322 человека. Когда несколько человек ушли в поход, в лагере осталось 275 человек. Сколько человек ушли в поход?
- д) Скорость автомашины уменьшили на 45 км/ч, и она стала равной 35 км/ч. Какова была скорость машины раньше?
- е) Через 9 лет Вите исполнится 20 лет. Сколько лет ему сейчас?
374. Составьте уравнение по рисунку 45 и решите его.
375. Решить уравнение (у + 64) — 38 = 48 можно двумя способами:
- сначала найти неизвестное уменьшаемое у 4- 64:
у + 64 = 48 + 38, у + 64 = 86,
а потом найти неизвестное слагаемое у:
у = 86 — 64, у = 22
или
сначала упростить выражение, стоящее в левой части уравнения, использовав свойства вычитания:
у + 64 — 38 = 48, у + 26 = 48,
а затем найти неизвестное слагаемое у:
у = 48 — 26, у = 22.
Подобным образом решите двумя способами уравнение:
- а) (л: + 98) + 14 = 169;
- б) (35 + у) — 15 = 31.
376. Решите уравнение и выполните проверку:
- а) (х + 15) — 8 = 17;
- б) (24 + х) — 21 = 10;
- в) (45 — у) + 18 = 58;
- г) (у — 35) + 12 = 32;
- д) 56 — (х + 12) = 24;
- е) 55 — (х — 15) = 30.
377. Решите с помощью уравнения задачу:
- а) Витя задумал число. Если к этому числу прибавить 23 и к полученной сумме прибавить 18, то будет 52. Какое число задумал Витя?
- б) Маша задумала число. Если к этому числу прибавить 14 и от полученной суммы отнять 12, то будет 75. Какое число задумала Маша?
- в) В бензобак, где был бензин, перед поездкой долили ещё 39 л. Во время поездки израсходовали 43 л бензина, после чего в бензобаке осталось 27 л. Сколько литров бензина было в бензобаке первоначально?
- г) В ателье было 60 м ткани. Из неё сшили платья, ещё 16 м израсходовали на детские костюмы, после чего осталось 20 м этой ткани. Сколько метров ткани пошло на платья?
378. Запишите в виде равенства:
- а) У Вани было х яблок, у Пети — на 8 яблок больше, а у Нины — на 3 яблока меньше, чем у Вани. Вместе у них было 41 яблоко.
- б) Один токарь выточил у деталей, другой — на 7 деталей больше, чем первый, а третий — на 8 деталей меньше, чем второй. Вместе они сделали 81 деталь.
- в) У Кости n открыток, у Игоря — на 8 открыток меньше, чем у Кости, а у Наташи — на 15 открыток больше, чем у Кости. У Наташи столько же открыток, сколько у Кости и Игоря вместе.
- г) В первый сосуд налили m л жидкости, во второй — на 7 л меньше, чем в первый, а в третий сосуд — на 10 л больше, чем во второй. В третьем сосуде оказалось столько жидкости, сколько в первом и втором сосудах вместе.
379. Сумма 3986 + 5718 равна 9704. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или корень уравнения:
- а) 9704 — 3986;
- б) 9704 — 5718;
- в) х + 5718 = 9704;
- г) 3986 + у = 9704;
- д) 9704 — х = 3986;
- е) 9704 — v = 5718.
380. Разность 6877 — 2984 равна 3893. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или решите уравнение:
- а) 2984 + 3893;
- б) 6877 — 3893;
- в) х — 3893 = 2984;
- г) 6877 — х = 2984.
381. Вместо звёздочек в записи вычислений цепочкой поставьте необходимые числа.
382. Вычислите устно:
383. На координатном луче даны точки A(18), В(7), С(31), D(27), Е(23), O(0). Какие из этих точек:
- а) левее точки Е и на сколько единичных отрезков;
- б) правее точки А и на сколько единичных отрезков;
- в) расположены между точками В и D?
384. Что больше и во сколько раз:
- а) два часа или сорок минут;
- б) десять центнеров или две тонны;
- в) шесть сантиметров или двадцать миллиметров?
385. В бидоне 24 л молока. Для приготовления завтраков израсходовали четвёртую часть молока, а для приготовления обедов — половину оставшегося молока. Сколько литров молока осталось в бидоне?
386. Найдите пропущенное число:
387. Вместо некоторых цифр поставлены звёздочки. Можно ли сравнить числа:
- а) 32** и 31**;
- б) *1** и 8**;
- в) **** и ***;
- г) *5* и 1**?
388. Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградово — три дороги. Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградово через село Большово?
Решение. Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа:
Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 • 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградово.
389. Немецкого учёного Карла Гаусся называли королём математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Рассказывают, что в трёхлетнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчёты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ, на его грифельной доске было написано: 101 • 50 = 5050.
Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.
390. Из проволоки длиной 15 м делают обручи длиной 2 м. На сколько обручей хватит проволоки? Можно ли изготовить 4 обруча? 8 обручей?
391. Вычислите, выбирая удобный порядок выполнения действий:
- а) 937 — (137 + 793)
- б) (654 + 289) — 254
- в) 854 + (249 — 154)
- г) (747 + 896) — 236;
- д)(348 + 252) — 299;
- е) (227 + 358) — (127 + 258).
392. На одной грядке посадили 30 кустов клубники, а на другой k кустов. Погибло 6 кустов. Сколько кустов клубники осталось на грядках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение при k = 26; 35.
393. Найдите значение выражения, предварительно упростив его:
- а) (b + 179) — 89 при b = 56; 75;
- б) (839 + с) — 239 при с = 37; 98;
- в) (256 — х) — 156 при х = 44; 87;
- г) 238 — (38 + а) при а = 78; 0.
394. Найдите значение выражения:
- 34 • 27 + 1638 : 39;
- 32 • 37 — 3293 : 37;
- (321 — 267) • (361 — 215) : 219;
- (123 + 375) ¦ 24 : (212 — 129).
395. Решите уравнение:
- а) 395 + х = 864;
- б) z + 213 = 584;
- в) 300 — у = 206;
- г) t — 307 = 308;
- д) 166 = m — 34;
- е) 59 = 81 — k.
396. Решите уравнение и выполните проверку:
- а) (х — 87) — 27 = 36;
- б) 87 — (41 + у) = 22.
397. Решите с помощью уравнения задачу:
- а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября?
- б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили ещё сахара, в нём стало 900 г. Сколько граммов сахара добавили в пакет?
- в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей — вышли 12 человек, после чего в автобусе осталось 17 человек. Сколько человек вошли в автобус на первой остановке?
398. Мотоциклист едет из города в село, расстояние до которого 120 км. Сколько километров ему осталось проехать, если он уже проехал а км? Составьте выражение и найдите его значение при а = 40; 60; 80.
399. Купили дюжину (дюжина — 12) бутылок фруктовой воды, а в обмен сдали 8 пустых бутылок. Сколько денег доплатили? Узнайте, сколько стоит бутылка фруктовой воды и сколько пустая бутылка, и решите задачу.
400. Имелось 65 л фруктового сока. Из них 20 л дали детям во время завтрака, а остальной сок разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок для этого потребовалось?
401. Запишите все трёхзначные числа, которые можно записать только с помощью цифр 5, 3 и 0.
402. Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш?
403. Найдите значение выражения:
- а) (37 296 : 37 — 17 780 : 35) : 250;
- б) (504 • 370 — 158 092) : 47 + 1612.
Рассказы об истории возникновения и развития математики
В наше время почти все народы пользуются счётом десятками, сотнями, тысячами, то есть десятичной системой счисления.
В ней, как вы уже знаете, значение цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Поэтому такую систему счисления называют позиционной.
Раньше некоторые народы применяли другие системы счёта. В тёплых странах Африки и Америки, где люди ходили босыми, для счёта применялись не только пальцы рук, но и пальцы ног. Получался счёт двадцатками.
А пять тысяч лет назад в некоторых странах востока пользовались шести-десятеричной системой счисления, то есть системой счисления с основанием 60. Эта система была первой позиционной системой.
На рисунке показано, как в этой системе выглядела запись некоторых чисел.
Следы шестидесятеричной системы счисления сохранились до сих пор: мы и сейчас делим час на 60 минут, а минуту — на 60 секунд.
Использование числа 10 как основания системы счисления связано с тем, что у людей на руках 10 пальцев, которые удобнее всего было использовать при счёте. Но основание системы счисления, конечно, может быть любым числом, например, современные ЭВМ (электронные вычислительные машины) считают в двоичной системе (основание 2), так как при этом используются только два состояния: «есть сигнал» и «нет сигнала».
ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И. часть 1, 2 ФГОС
авторы: Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И..
Издательство: Мнемозина 2018 год.
Убедись в правильности решения задачи вместе с ГДЗ по Математике за 5 класс Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. часть 1, 2. Ответы сделаны к книге 2018 года от Мнемозина ФГОС
ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Виленкин Н.Я. (синий) можно посмотреть тут.
ГДЗ к учебнику по математике за 5 класс Виленкин 1, 2 часть (Просвещение 2021) можно посмотреть тут.
ГДЗ к тестам по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть тут.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Рудницкая В.Н. можно посмотреть тут.
ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Попов М.А. можно посмотреть тут.
ГДЗ к дидактическим материалам по математике за 5 класс Чесноков А.С. можно посмотреть тут.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть тут.
ГДЗ к рабочей тетради Универсальные учебные действия по математике за 5 класс Ерина Т.М. можно посмотреть тут.
ГДЗ к контрольным работам по математике за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть тут.
ГДЗ к математическому тренажёру за 5 класс Жохов В.И. можно посмотреть тут.
ГДЗ к рабочей тетради по математике за 5 класс Лебединцева Е.А. можно посмотреть тут.
ГДЗ Математика 5 класс Виленкин, Жохов, Чесноков — Учебник «Мнемозина»
Математика славится своими сложностями, но не стоит превращать их в непреодолимые препятствия. Если на уроках школьники внимательно относятся к объяснениям учителя, то решения по д/з не должны вызвать особых сложностей. Тем не менее они периодически возникают, из-за чего ребята вынуждены долго сидеть над учебником дома, чтобы понять, что же от них требуется в итоге. Зачастую родители имеют слишком мало свободного времени или знаний, чтобы помочь своим отпрыскам в преодолении этих препятствий. Тут-то на помощь и приходит решебник к учебнику «Математика 5 класс» Виленкин, Жохов, Чесноков.
Что в него включено.
Сборник имеет разделение на две главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Тщательно выверенные ответы к 1849 упражнениям помогут разобраться в малейших нюансах этого предмета. К особо трудным примерам в ГДЗ по математике 5 класс приведены дополнительные комментарии.
Нужен ли решебник.
Трудности в решении задач и уравнений вполне естественны, главное не преувеличивать их серьезность. По большей части школьники должны сами пытаться разобраться в них и найти верное решение. Родители же могут проверить их успехи по решебнику к учебнику «Математика 5 класс» Виленкин и, в случае неудачи, объяснить своему ребенку в чем именно он не прав. Простое списывание ответов может настолько отбить у учеников желание вникать в суть изучаемого предмета, что это лишь снизит успеваемость.
http://megaresheba.net/gdz-matematika/5-class/vilenkin-2018
http://gdz.ltd/5-class/matematika/matematika-5kl-wilenkin/