Математика 6 кл корень уравнения

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

1. Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
2. Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
3. Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
4. В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Подставим в уравнение корень

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Применим распределительный закон для правой части:

Упростим левую и правую части уравнения:

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

Значит, корень уравнения найден верно.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1.Найдите корни уравнения.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

Это и есть корень уравнения.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.

Уравнение и его корни
план-конспект урока по математике (6 класс)

Данный урок разработан по учебнику математика 6 класс Г.В. Дорофеев. На уроке проводится работа с интерактивной доской на сайте LearningApp.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Уравнение и его корни

Данный урок выполнен, по учебнику авторов Г. В.Дорофеев, Н.Ф. Шарыгин, и др. Математика 6 класс, учебник для общеобразовательных организаций, Москва « Просвещение» 2014.

• Ввести понятие уравнения; корня уравнения; способы решения уравнения.

• Развивать логическое мышление и математическую грамотность речи, уметь объективно оценивать свои достижения.

• воспитывать познавательную активность, чувство ответственности, культуру общения и диалога. Развивать интерес к математике

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Интерактивная доска, раздаточный материал, проектор, ноутбук, CD – диск толковый словарь.

Основные термины и понятия:

Уравнение, корень уравнения, решить уравнение.

Психологически настроить учащихся к уроку:

• посмотрите друг другу в глаза, улыбнитесь друг другу и глазками пожелайте хорошего настроения. А про себя повторите:
• Я всё знаю!
• Я умею!
• Я всё сделаю сейчас!

И я тоже желаю вам хорошего настроения. Урок я бы хотела начать с задачи дня.

Маленькому А. Пушкину великий полководец А. В. Суворов, гостивший в доме Ганнибалов (деда Пушкина) предложил задачу « Летела стая гусей, а навстречу им гусь. «Здравствуйте сто гусей!»—говорит он им. «Нас не сто – отвечают они ему, вот, если бы нас было столько , сколько есть, да еще раз столько , да полстолька, да четверть, да ты с нами , тогда было бы сто». Сколько гусей было в стае?» Мальчик долго размышлял над задачей и, только когда карета с гостем почти скрылась, он крикнул вдогонку, называя ответ.

Какой ответ назвал Пушкин? Сможем ли мы сейчас решить эту задачу? Что нам для этого надо уметь?

Учитель: Новые знания нам будет очень трудно осваивать без умения быстро и верно считать, поэтому, как всегда, начнем урок с устного счета:

1)Назвать каким является выражение 2х – 5 ;

2) Составьте выражение по условию задачи: Карандаш стоит х рублей, а блокнот — 25 рублей. Сколько стоят 3 карандаша и 1 блокнот

3) Найдите значение полученного выражения при х = 10.

4) Мяч стоит х р., а скакалка стоит у р., и она дороже мяча. Поясните смысл выражений 2х, 10у, 2х + 4у,

5) Вычислите удобным способом используя свойства (198 + 34) + 2 ; (105 +83) — 5

2. Открываем тетради, записываем число, классная работа. Для того, чтобы определить тему сегодняшнего урока необходимо разделить на группы следующие выражения.

1. Построение проекта выхода из затруднения

На доске в разброс размещены карточки. Необходимо разделить на группы.

3х+ 6, (2+х)+14, (15 – х) + 4, (х + 52) -4;

х + 37 = 85, 156 + у = 218, 85 – z = 36,

m – 94 = 18, (х + 1,1) – 2 =5 ; х + 2х – 5 =40

(буквенные выражения и уравнения)

• По какому признаку были разделены эти выражения? (есть равенство и нет равенства)
• Как можно назвать эти группы? Какая группа будет нас интересовать?
• Значит, какая тема сегодняшнего урока?
• Такие уравнения мы с вами умеем решать?
• Значит, что мы с вами сегодня будем делать на уроке? Какова будет цель нашего урока?

Запишите тему нашего урока в тетради.

Чему же мы с вами тогда будем учиться? (в помощь вам карточки, на которых вы отметите, что вы уже знаете)

• Какие понятия для вас известны, какие новые?

• Что называется уравнением?

• Что называется корнем уравнения?

• Что значит решить уравнение?

1. Первичное усвоение новых знаний

Попробуйте сформулировать определение уравнения.

( Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти ).

Помня определение уравнения, определите, является ли данная запись уравнением:

Дети объясняют свои ответы, подчёркивая, является ли данная запись равенством и содержит ли она переменную.

Разбейте все уравнения на группы.

• Какие группы уравнений вы получили?

( неизвестное слагаемое, неизвестное уменьшаемое, неизвестное вычитаемое )

Работа с интерактивной доской. Сайт LearningApp.

• Как найти неизвестное слагаемое? Вычитаемое? Уменьшаемое?

( устно решить 4 уравнения )

• В карточках, которые вы заполняли в начале урока, есть слово корень. А что корень делает в математике? ( предположение детей ) ( корень уравнения число, которое мы ищем) Давайте обратимся к толковому словарю, узнаем значение этого слова. ( Толковый словарь Д.Н. Ушакова. СD – диск и ноутбук.) Один ученик работает с ноутбуком.

1) Подземная часть растения, служащая, для укрепления его в почве и всасывания из нее воды и питательных веществ. Например: пустить корни.

2) Внутренняя находящаяся в теле часть волоса, зуба, ногтя. Например: покраснеть до корней волос.

3) В русском языке основная часть слова без приставок часть слова без приставок и суффиксов.

4) В математике: корень- это что такое?

Обратимся к учебнику и прочитаем, какое определение нам предлагает автор учебника стр. 59. Как узнать, является ли данное число корнем уравнения или нет? (Надо подставить число в уравнение вместо переменной, посмотреть, обратится ли при этом уравнение в верное равенство или нет.)

• Выясните, является ли число 2 корнем уравнения:

б) 6(3х – 1) = 12х + 6

Учащиеся подставляют число 2 в каждое уравнение, проверяя, обращает ли оно данное уравнение в верное равенство. Делают соответствующий вывод.

• Что мы с вами делаем с уравнением? (решаем)
• Что значит решить уравнение? (найти его корни) интерактивная доска
• Найдите корень уравнения

(запись в тетради)

(на закрытой доске)

• Решите уравнение вместе 24 + (у + 123) = 248 ( один человек у доски )

1. Первичная проверка понимания

Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

а,б – первый вариант, в,г – второй вариант.

физкультминутка слайд презентация.

До сих пор мы решали задачи с помощью рассуждений. Но в математике есть другой способ, суть которого состоит в том, что условие задачи, заданное в словесной форме, переводится на математический язык. Основа такого перевода – введение буквы, для обозначения какой — либо неизвестной величины.

Впервые применил букву для обозначения неизвестной величины Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший в III в. Но только в XVII – XVIII вв. использование букв для обозначения неизвестных величин стало общепринятым.