Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
- повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
- воспитание познавательного интереса к учебному предмету
- формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
I. Метод рассмотрения остатков от деления.
Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
- Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
- Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
y = 0 | не подходит | не подходит |
2x = -4 | не подходит | не подходит |
x = -2 | ||
y = 0 |
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z |
б) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
в) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
г) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z |
д) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
е) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
ж) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
з) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81 | x = 2, y = 1 |
б) 17x + 23y = 183 | x = 4, y = 5 |
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy | (0;0), (2;2) |
б) | (1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) |
Число 3 можно разложить на множители:
a) | б) | в) | г) |
в) | (11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12) |
г) | (24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23) |
д) | (48;0), (24;1), (24;-1) |
е) | x = 3m; y = 2m, mZ |
ж) y = 2x – 1 | x = m: y = 2m – 1, m Z |
з) | x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z |
и) | решений нет |
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4) | |
(x — 3)(xy + 5) = 5 | (-2;3), (2;-5), (4;0) |
(y + 1)(xy – 1)=3 | (0;-4), (1;-2), (1;2) |
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1) | |
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12) | |
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) |
5) Решить уравнения в целых числах.
а) | (-1;0) |
б) | (5;0) |
в) | (2;-1) |
г) | (2; -1) |
Конспект урока по алгебре для 9 класса на тему «Решение уравнений с двумя переменными»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Учитель физики и математики — Давиденко Н. И.
Алгебра. 9 класс
Урок № 45/3 Дата 20.12.18 г
Тема урока Решение уравнений с двумя переменными
Обучающие : выработать умения находить решения уравнений с двумя переменными , читать графики уравнений с двумя переменными.
Развивающие : развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся;
— создать условия для проявления познавательной активности учащихся;
— развивать коммуникативную и информационную компетенцию учащихся;
развивать вычислительную технику , мыслительную активность, интерес к предмету , способствовать формированию ключевых понятий , выполнение заданий различного уровня сложности.
Воспитывающие : воспитывать внимательность, аккуратность, умение чётко организовывать самостоятельную и индивидуальную работу, работу в группе и парах.
Оборудование : мультимедийный проектор, презентации учителя и учащихся, карточки (лист самооценки, ответы для самопроверки, задача для домашнего задания), портрет Диофанта, эпиграфы к уроку, раздаточный материал «Создай новогоднее настроение», ребусы.
Алгебра 9 класс. Учебник Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2016.
Урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления).
1) Организационный этап.
2) Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний.
3) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .
4) Первичное закрепление
в знакомой ситуации (типовые)
в изменённой ситуации (конструктивные)
5) Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации (проблемные задания)
6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению
7) Рефлексия (подведение итогов занятия)
— Прекрасное зимнее утро (слайд 2)
. Ещё один чудесный день начинает свой путь, начнем свой путь и мы.
— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!
— Эпиграф к уроку: «Ум заключается не только в знании, но и в умении прилагать знания на деле» Аристотель . (слайд 3)
-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям, а контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе (слайд 4)
Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний учащихся. Актуализация знаний .
Дома вам нужно было выполнить №395, №397 и решить старинную задачу: «В клетке сидели фазаны и кролики. У них всего было 94 лапки и 35 голов. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?»
Давайте проверим правильно ли вы его выполнили (слайд 5 ) +презентация учащихся «Старинная задача»
Оценили выполнение домашней работы в листе самооценки.
2.1.Фронтальный опрос правил и определений по теме урока. В параллели проводится индивидуальная работа с учащимися, имеющими слабую мотивацию к учебе. (Два человека у доски решают №396 (а, б) учебника стр 111)
Ну, а теперь проверим свою готовность к дальнейшей работе: «Закрыли глаза, вспомнили всё, что вы знаете об уравнениях с двумя переменными и их графиках и привели свои мысли в порядок. Открыли глаза».
Что называют решением уравнения с двумя переменными?
Важен ли в этой паре порядок записи значений переменных?
Дайте определение графика уравнения с двумя переменными.
Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?
Что представляют собой графики уравнений второй степени с двумя переменными?
От чего зависит вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?
Как определить вид графика уравнения второй степени с двумя переменными?
Устно. Найди ошибку в задании «О пределите степень уравнения»
Предлагаемые ответы : 3 1 1 4 1
Самопроверка по образцу на экране (слайд 9)
Устно. Установи соответствие в задании « Составьте уравнения с двумя переменными» (слайд 10)
1.Сумма двух натуральных чисел равна 16 1 балл
Периметр прямоугольника равен 12 см 1 балл
Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой 1 балл
Произведение двух натуральных чисел равно 28
Диагональ прямоугольника равна 5 см 1 балл
Сумма двух натуральных чисел равна 16 х + у = 16
Периметр прямоугольника равен 12 см 2*(а+в) = 12
Одна из сторон прямоугольника на 8 см больше другой а – в = 8
Произведение двух натуральных чисел равно 28 х*у = 28
Диагональ прямоугольника равна 5 см 5 2 =А 2 +В 2
Самопроверка по образцу на доске Оценили свои знания в листе самооценки
Математический диктант (слайд 12) 5 баллов
Выясните, что является графиком уравнения
(х – 3) 2 + (у + 2) 2 = 0
Взаимопроверка по образцу на экране ( слайд 13)
Окружность с центром в точке (0; — 2) и R = 3.
Перенесли баллы за выполнение математического диктанта в лист самооценки.
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся .
(Слайд 14) Чтобы узнать тему нашего урока, давайте отгадаем ребус (на доске)
Правильно, « Решение у равнений с двумя переменными», а сейчас с помощью высказываний знаменитых людей определим цели урока
Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. (Алексей Иванович Маркушевич)
Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню.
Дай мне действовать самому, И я научусь
(Конфуций)
Ребята, запишите число и тему урока в тетради (слайд 15)
(слайд 16) А знаете ли вы, что 20 декабря — Международный день солидарности людей, который учрежден ООН с 2005 года. Солидарность — единство убеждений и действий, взаимопомощь и поддержка членов социальной группы, основывающиеся на общности интересов и необходимости достижения общих групповых целей, совместная ответственность.
“Люди вместе могут совершить то, чего не в силах сделать в одиночку: единение умов и рук, сосредоточение сил может стать почти всемогущим” (Д. Уэбстер)
Давайте же объединим наши умы и двинемся дальше
4. Решение уравнений с двумя переменными. (слайд 17) Работать будем в парах и группах, постараемся действовать под девизом «Создай новогоднее настроение»
Работа в парах ( 4 балла) с комментариями по решению,
1)Упражнение «Елочка» (Приложение 1)
Выразите одну переменную через другую :
Самопроверка по образцу на экране (слайд 18)
Пары размещают отчеты –«елочки» на доске, выстраивая общую «Елку»
(Слайд 19) Гимнастика для глаз фокусируем взгляд на нашей елочке :
1) вертикальные движения глаз вверх-вниз;
2) горизонтальные вправо-влево;
3) вращение глазами по часовой стрелке и против;
4) закрыть глаза и представить по очереди шары на елке- цветов радуги (Каждый охотник желает знать, где сидит фазан»).
Минута волшебства (ученый маг Волосовская Аня)
Мы с вами поработали, а теперь немного отдохнем и посмотрим некоторые математические фокусы.
Есть много математических фокусов. Но самым элегантным математическим фокусом является возведение в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5 (ребята задают примеры, а маг отвечает, например, 65 2 = 4225)
(слайд 20) Работа в группах ( 5 баллов)
1) Укрась новогодний шар правильными ответами (Приложение 2)
(слайд 21) Чтобы проверить это задание учащимся предлагается взять лист самопроверки (с ответами) у соседней (по часовой стрелке) группе, предварительно, поздравив их с Новым годом.
(слайд 22) Оценивание. Шары вешаются на доску. Комментарии.
(слайд 23) Физкультминутка
2) (слайд 24) № 400 стр 111 «В поисках истины» ( 5 баллов)
Проанализируйте графики (рисунки а, б, в) и составьте уравнения. Ваша задача состоит в том, чтобы поставить в соответствие каждому графику его уравнение и узнать имя одного из древнегреческих математиков из нашей «Картинной галереи». Так кто же это такой? Каждая группа должна организовать свою работу так, чтобы уложиться в 5 минут.
(слайд 25) Ответ: а) (х-1)(у-1)=0 →Д
— Итак, вы получили имя ДИОФАНТ . (слайд 26) Чем же знаменит он? Почему именно его имя я зашифровала?
Группа, выполнившая задание первыми может открыть конверт №1 и прочитать его содержимое→ Диофант Александрийский – один из самых своеобразных древнегреческих математиков. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в 3 веке нашей эры. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.
открыть конверт №2 В сохранившихся книгах Диофанта содержится 189 задач с решениями. В пяти книгах содержатся методы решения неопределенных уравнений. Это и составляет основной вклад Диофанта в математику. Старинный сюжет задачи из книги Диофанта и ее решения мы сегодня уже рассмотрели. О чем эта задача?
открыть конверт №3 Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею 5 лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил ,
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
А вот о том, сколько же лет прожил Диофант вы мне ответите на следующем уроке, решив дома задачу текст которой у вас на парте.
5 Самостоятельная работа 5 баллов (слайд 20)
Самопроверка по образцу на экране (слайд 21)
6. Подведение итогов урока. (слайд 22)
Теперь, ребята подсчитайте то количество баллов, которое вы набрали за работу и добавьте количество баллов, которое каждый из вас поставил себе за активность на уроке. Активность оценивается по пятибалльной шкале. По набранному количеству баллов вы должны поставить себе оценку за урок. Я надеюсь, что плохих оценок сегодня нет и у всех у вас хорошее настроение.
Итоги урока. Наши цели были какие в начале урока? Мы достигли их?
Сегодня на уроке мы:
• Выработали критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно ее оценивать.
Рефлексия. (слайд 23)
Я доволен уроком, мне очень понравилось, я всё понял(а).
Мне понравился урок, но в моих знаниях есть пробелы.
Я не доволен уроком, ничего не понял(а) и как решать, я не знаю.
7. Запишите д омашнее задание. (слайд 24)
Выучить п. 17. Выполнить №396, 399, 404 .
Найти интересные формы графиков уравнений с двумя переменными.
Сколько лет прожил Диофант? (задача для тех, кто получил оценку «4» или «5»)
(слайд 25) Великий математик, физик и политик А. Эйнштейн заметил
“ Мне приходиться делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.”
Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении уравнений, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности .
Алгебра. 9 класс
Рассмотрим уравнение 3x 2 + y = 13.
Это уравнение является уравнением с двумя переменными x и y.
При подстановке вместо переменной x числа 2, а вместо переменной y числа 1 мы получим верное равенство.
Значит, пара чисел 2 и 1 является решением данного уравнения. Эту пару чисел записывают в круглых скобках, причём на первом месте записывают значение переменной x, а на втором – значение переменной y: (2; 1).
Итак, сформулируем определение решения уравнения с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая уравнение в верное равенство.
Если все эти пары чисел представить как координаты точек и изобразить на координатной плоскости, то получится график данного уравнения.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.
Вспомним, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.
Вы также знакомы с графиком уравнения второй степени y = x 2 .
Рассмотрим уравнение (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 .
Графиком этого уравнения является окружность с центром в точке с координатами (а; b) и радиусом r.
Все пары чисел, которые будут являться решением данного уравнения, при изображении их на координатной плоскости будут принадлежать окружности с центром в точке с координатами (1; 2) и радиусом, равным 3.
http://infourok.ru/konspekt-uroka-po-algebre-dlya-klassa-na-temu-reshenie-uravneniy-s-dvumya-peremennimi-3482219.html
http://resh.edu.ru/subject/lesson/2740/main/