Математика 9 класс уравнения с параметрами

Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации по математике в 9-х классах
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. В данной работе приведены методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, уравнений с параметрами, содержащими модуль, рассмотрен аналитический и графический способ решения данных задач .

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

«Люльпанская средняя общеобразовательная школа»

«Методика решения задач с параметрами при подготовке учащихся к итоговой аттестации

по математике в 9-х классах»

Выполнила: учитель математики

В последние десятилетия на вступительных экзаменах в вузы стали предлагаться задачи, решить которые, как правило, было можно, пройдя специальную целенаправленную подготовку. К такому типу задач относились и задачи, содержащие параметр. Такие задачи обычно предлагались в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов, с 2002 года были включены и в задания части «С» ЕГЭ, а в дальнейшем стали предлагаться и на государственной итоговой аттестации по математике в 9-х классах.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Рассматриваемый материал не входит в базовый уровень, поэтому решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

В своё время в связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета математики и подготовки учащихся к продолжению образования. Профильность обучения достигалась за счет различных учебных курсов, в том числе элективных курсов. В 2010 году мной был разработан и проведен элективный курс для девятиклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Основными формами его проведения являлись изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, практикумов по решению задач.

В настоящее время, поскольку в базисном учебном плане школы не предусмотрены элективные курсы для 9-х классов, данная тема включена мной в рабочую программу по алгебре в 9 классе в объеме 10 часов: 7 часов после изучения основных тем и 3 часа в рамках итогового повторения.

Задачи с параметрами — это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо, прежде всего, умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению можно объяснить следующими обстоятельствами:

• при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;
• решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;
• происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;
• приобретаются навыки к исследовательским работам;
• помощь при подготовке к экзаменам;
• происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы, которую можно начинать с учащимися 9-х классов.

1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Что такое параметр?

С понятием параметра (без употребления этого термина) учащиеся уже встречаются в 7, 8 классах при введении некоторых понятий:

— функция прямая пропорциональность: y=kx (x и y – переменные; k – параметр, k≠0);

— линейная функция: y=kx+b (x и y – переменные; k и b – параметры);

— линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a и b – параметры);

— квадратное уравнение: ax 2 +bx+c=0 (x – переменная; a, b и c – параметры, a≠0).

Если вспомнить некоторые основные уравнения (например, k x+b=0, a x 2 +bx+c=0), то можно обратить внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, приведу следующий его простейший вариант.

Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|= a –1 не следует неотрицательность значений выражения a –1, и если a –1

1.2 Что означает «решить задачу с параметром»?

Это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

1.3 Основные типы задач с параметрами

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения. Но иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине выделены как основные. Наиболее массовый класс задач с параметром – задачи с одной неизвестной и одним параметром.

1.4 Основные способы (методы) решения задач с параметром?

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

По мнению большинства авторов различных сборников по решению задач с параметром, аналитический способ решения задач есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a ) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a ).

Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ

Как уже говорилось выше, многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Существует множество книг, статей, пособий различных авторов, где рассматриваются различные методы и способы решения задач данного вида. В данной работе я приведу лишь методы решения линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений с параметрами, поскольку именно эти виды уравнений изучаются в основной школе и включаются в часть 2 модуля «Алгебра» ГИА по математике. Вначале рассмотрим аналитический метод решения задач с параметром.

2.1 Линейные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами : ах = b , где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х = .

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

При b = 0 уравнение примет вид: 0· х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0; 2) а=2; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а= 0 уравнение (1) принимает вид 0· х = -2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а= 2 уравнение (1) принимает вид 0· х =0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х= , откуда х= .

Ответ: 1) если а= 0 , то корней нет; 2) если а= 2 , то х – любое действительное число; 3) если а ≠0, а ≠2 , то х = .

2.2 Квадратные уравнения

Квадратное уравнение ах 2 +bx+c=0 можно рассматривать как уравнение с параметрами, где х – неизвестное, а, b, с – параметры.

Уравнение исследуется по следующей схеме.

1) если а=0, то имеем линейное уравнение bx+c=0

2) если а≠0 и дискриминант уравнения D

3) если а≠0 и дискриминант уравнения D=0, то уравнение имеет единственное решение х=- .

4) если а≠0 и дискриминант уравнения D>0, то уравнение имеет два различных решения .

Пример 1 . Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1) х 2 +2 (2а+1)х+(4а+3) =0 (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a =1. Дело в том, что при a =1 уравнение (2) является линейным, а при а 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

Рассмотрим эти случаи.

1) При a =1 уравнение (2) примет вид 6 х +7=0. Из этого уравнения

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=а о , то при переходе значения D через точку а о дискриминант может изменить знак (например, при а о D а о D>0). Вместе с этим при переходе через точку а о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а о корней нет, так как D а о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D =4(2а+ l) 2 — 4(а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D = 4(5а+4).

Из уравнения D=0 находим а= — — второе контрольное значение параметра а. При этом если а , то D a ≥ — и a ≠ 1, то D≥0.

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а и в случае, когда < a ≥ - и a ≠ 1>.

Если а , то уравнение (2) не имеет действительных корней; если же < a ≥ - , a ≠ 1 >, то находим x 1,2 = .

Ответ: 1) если а , то корней нет; 2) если а = 1, то х = — ;

3) a ≥- и a 1 , то x 1,2 = .

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение.

Решение. По условию задачи уравнение необязательно является квадратным, поэтому, как и в примере 2, надо рассмотреть два случая.

1) а+6=0, а=-6. При этом получаем линейное уравнение -12х+1=0, которое имеет единственное решение. Это решение по условию задачи необязательно находить.

2) а -6. В этом случае уравнение (3) является квадратным и имеет единственное решение, если дискриминант D=0, т.е.

D=4а 2 – 4(а+6)=4(а 2 – а – 6)=0 (а 2 – а – 6)=0 а 1 =3, а 2 =-2.

Ответ: уравнение имеет единственное решение при а=-6, а=-2, а=3.

Пример 3. Определить все значения параметра а, при которых уравнения

х 2 +ах+1=0 и х 2 +х+а=0 имеют хотя бы один общий корень.

Решение. Предположим, что уравнения имеют общий корень х=х 0 . Тогда

откуда, вычитая второе уравнение из первого, получаем

1) Если а=1, то последнее уравнение всегда выполняется. При этом оба исходных уравнения совпадают и имеют вид х 2 +х+1=0. Это уравнение действительных корней не имеет.

2) Если а 1, то х 0 =1. Подставив х 0 =1в любое из уравнений системы, находим а=-2. При этом исходные уравнения имеют вид х 2 -2х+1=0 и х 2 +х-2=0. Эти уравнения имеют общий корень х=1.

2.3 Дробно-рациональные уравнения, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е. решать соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Уравнение имеет смысл при х – 2а≠0 и ах – 1≠0, т.е. х ≠2а, ах≠ 1.

Если х 2а, ах 1, то умножив обе части уравнения на (х-2а)(ах-1), получим

ах – 1 =2х – 4а или (а – 2)х = 1 – 4а.

1) Если а — 2 =0 ⇔ а=2, то уравнение имеет вид 0·х= — 7. Это уравнение корней не имеет.

2) Если а – 2  0 ⇔ а 2, то х= .

Теперь найдем те значения параметра а, при которых х=2а или ах=1. Имеем:

= 2а ⇔ 1- 4а=2а 2 – 4а ⇔ а = ±

=1 ⇔ а- 4а 2 = а – 2 ⇔ а = ±

Таким образом, если а = ± , то уравнение не имеет решения.

Ответ: если а = ± ; а=2, то уравнение корней не имеет,

если а  ± ; а≠2, то х= .

Пример 2. Для всех значений параметра а решить уравнение

Решение. Значение а=0 является контрольным. При a=0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а 0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:

х 2 +2 (1 — а) х +а 2 — 2а- 3=0. (5)

Найдем дискриминант уравнения (5)

D =4 (1 — a) 2 — 4(a 2 — 2а — 3) = 16.

Находим корни уравнения (5):

х 1 =а + 1, х 2 = а — 3.

При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому необходима проверка.

Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых х 1 +1=0, х 1 +2=0, х 2 +1=0, х 2 +2=0.

Если х 1 +1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= -2. Таким образом, при а= -2 х 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 1 +2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= -3. Таким образом, при а= -3 x 1 – посторонний корень уравнения (4).

Если х 2 +1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х 2 – посторонний корень уравнения (4)’.

Если х 2 +2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким образом, при а= 1 х 2 – посторонний корень уравнения (4).

Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .

В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х=-3-3= -6;

при a= -2 х= -2 -3= — 5; при a=1 х= 1+1=2; при a=2 х=2+1=3.

Итак, можно записать

Ответ: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= -2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l, то х=2; 5) если а=2, то х=3;

а  0; то х 1 = а + 1,

2.4 Уравнения с параметрами, содержащие знак модуля

Особого рассмотрения требуют уравнения с параметрами, содержащие модуль.

Пример 1. При всех значениях параметра а решить уравнение:

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль, и решим 3 системы:

-x-3+ax-a=4 x= , если а≠1.

Найденный х будет решением, если +3 ⇔  a  (-1;1)

x+3+ax-a=4 x= =1, если а≠-1.

Найденный х удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при а  — 1. Если же а=-1, то решением является любой х[-3;1].

x+3-ax+a=4 x= =1, если а≠1.

Найденный х не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при а 1. Если же а=1, то решением является любой х>1.

Ответ: при a  (-1;1) x= ; при а=-1 х [-3;1]; при а=1 х(1;+∞); х=1 является также решением при всех а.

Пример 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ||2x| — 4| =x+a имеет три различных корня.

Решение. Раскроем внутренний модуль. Имеем

|2x-4| = x+a, 2x-4 = x+a

⇔ x≥0 и х+а ≥0

|2x+4| = x+a, 2x+4 = x+a

х

Полученная совокупность систем и уравнений равносильна совокупности следующих четырех систем.

Уравнения с параметром — алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.

Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.

Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈» — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.

Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.

Классификация уравнений

Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».

Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.

Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.

К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.

Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.

Алгебраический вид

Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.

На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:

1. Линейные.
2. Квадратные (квадратичные).
3. Кубические.
4. Биквадратные.
5. Высших порядков.

Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.

Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.

Линейные и квадратичные

Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:

1. Записывается искомое выражение.
2. При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
3. Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.
4. Правая часть сокращается на коэффициент при неизвестной.
5. Записывается результат.
6. Выполняется проверка посредством подстановки корня в исходное выражение.

Следует отметить, что линейное выражение с переменной может не иметь решений, поскольку иногда невозможно выполнить операцию сокращения. Например, 0t=85. Равенство не имеет корней, поскольку на нулевое значение делить нельзя, так как при этом получается пустое множество.

Следующим типом является уравнение квадратичной формы At 2 +Bt+C=0. Оно может иметь один или два решения. Однако бывают случаи, при которых корней нет вообще. Для получения результата вводится понятие дискриминанта «D=(-B)^2−4*А*С». Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Записать выражение.
2. Выполнить при необходимости математические преобразования по раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
3. Вычислить значение D (D 0 — два решения).
4. При D=0 формула корня имеет такой вид: t=-В/(2А).
5. Если D>0, то решения определяются по следующим соотношениям: t1=[-В-D^(½)]/(2А) и t2=[-В+D^(½)]/(2А).
6. Записать результат.
7. Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.

Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.

Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.

Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v 2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.

Кубичеcкие и биквадрaтные

Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной. Однако в некоторых случаях можно применить формулы понижения степени или разложения на множители. Иными словами, суть решения алгебраических уравнений, степень которых превышает двойку, сводится к ее понижению различными методами.

Замена переменной производится на другую неизвестную величину. В примере (t 3 −2)+2t 3 −4=0 можно ввести следующий элемент — v=t 3 −2. В результате этого получится равенство такого вида: v+2v=0. Оно решается очень просто:

1. Приводятся подобные элементы: 3v=0.
2. Находится корень: v=0.
3. Приравнивается к выражению, которое заменяли: t 3 −2=0.
4. Находится корень (один, поскольку у радикала нечетная степень): t=[2]^(1/3).
5. Проверяется условие: 2^(1/3)^3−2+2*(2^(1/3)^3)-4=4−4=0 (истина).

Биквадратные тождества решаются таким же методом. Однако существует еще один способ — разложение на множители. Его необходимо разобрать на примере решения выражения «4m 4 −324=0». Решать нужно по такому алгоритму:

1. Упростить (вынести четверку за скобки и сократить на нее): 4 (m 4 −81)=m 4 −81=0.
2. Разложить на множители (разность квадратов): (m 2 −9)(m 2 +9)=(m-3)(m+3)(m 2 +9)=0/
3. Решить три уравнения: m1=3, m2=-3, m3=-3 и m4=3.
4. Результат: m1=-3 и m2=3.
5. Проверка: 4*(-3)^4−324=0 (истинно) и 4*(3)^4−324=0 (истинно).

Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.

Пример решения

На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:

1. Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v 4 −32−4p-(v 2 +4)+(v-2)(v+2)-v 4 +16=-4.
2. Выполнить математические преобразования: 2v 4 −32−4p-v 2 +4+v 2 −4-v 4 +16+4=v 4 −16+4p+4=0.
3. Ввести замену v 4 −16=m: m+4p+4=0.
4. Вывести формулу нахождения параметра: р=-(m/4)-1.
5. Подставить величину m: р=-1-(v 4 +16)/4.
6. C учетом соотношения равенство будет иметь такой вид: v 4 −16+4[-(v 4 +16−4)/4]+4=-32+8=0 (корней нет, поскольку -24 4 −12=0.
7. Корни: v1=[12]^(¼) и v2=-[12]^(¼).
8. Отрицательного корня v2 не существует, поскольку показатель радикала — четное число.
9. Результат: v1=[12]^(¼).
10. Проверка: <[12]^(¼)>^4−16+4=16−16=0 (истина).

Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.

Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.