Математика егэ с1 уравнение как решать

Проект «Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике»

В работе рассмотрены методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике, приведены примеры.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Методы решения заданий С1 ЕГЭ по математике Автор: Иримиа Регина , ученица 11 «А» класса МБОУ г.Астрахани «СОШ №57»

Формулы записи решений простейших тригонометрических уравнений. В большинстве учебников для записи решений простейших уравнений используются следующие формулы:

При повторении формул решения уравнений следует обратить внимание на то, что формулы задают множества чисел, которые образованы по закону арифметической прогрессии с разностью 2 π или π . С другой стороны использование общей формулы серий решений не всегда является удобной при отборе корней, в частности, на числовой окружности. В этом случае как раз удобнее не объединять серии решений тригонометрических уравнений, а представлять их совокупностью, выделяя разность 2 π соответствующих прогрессий.

Для тригонометрических уравнений применимы общие методы решения (разложение на множители, замена переменной, функционально-графические) и равносильные преобразования общего характера. Решение тригонометрических уравнений

В данном пункте рассмотрим уравнения, содержащие синус, косинус, тангенс и котангенс степени не выше первой. Уравнения данного вида сводятся к простейшим путем замены f(x)=t . Часто задача осложняется тем, что требуется найти все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку.

Решение . Положив 4x=t , будем искать корни уравнения cost =3 , принадлежащие другому промежутку [0;4 π ] . Решения задаются формулами: В тех случаях, когда промежутки привязаны к четвертям тригонометрической окружности, для отбора корней удобно использовать модель тригонометрической окружности. Так как и  то неравенство справедливо при k=0 и k=1 . Соответственно, неравенство , справедливо при k=1 и k=2 . Возвращаясь к исходной переменной, получим:

На числовой окружности (см. Рис. 21) получаем два числа, удовлетворяющие условию задачи: В некоторых простых случаях замена не обязательна.

Решение. Используя нечетность синуса, перепишем уравнение в виде Последнее равенство выполняется в двух случаях: Отсюда получаем

Тренировочные упражнения 1. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку 3. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Тренировочные упражнения 4. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 5. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию 6. Найдите корни уравнения удовлетворяющие условию

Решение. Среди значений x , для которых cos x = 0 , корней уравнения нет (если cos x = 0 , то из уравнения следует, что и sin x = 0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит, деление обеих частей уравнения на cos x не приведет к потере корней. Разделив, получим уравнение:

Решение. Разделим обе части уравнения на Уравнение примет вид

Тренировочные упражнения Решите уравнения: 1. 2. 3. Дано уравнение а) Решите уравнение. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку 4 . Найдите корни уравнения принадлежащие отрезку [0; 4]. 5. Найдите корни уравнения на отрезке

Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с помощью замены В тех случаях, когда исходное уравнение может быть приведено к виду то заменой уравнение сводится к решению уравнения Далее для каждого полученного корня необходимо решить уравнение

В тех случаях, когда множество значений функции g ( x ) известно, то пишется ограничение на новую переменную.

Иногда при решении уравнений часть «посторонних» решений возникающих в результате замены могут быть удалены по причине несоответствия их области определения или множеству значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Напомним их и покажем на примерах как ограничение, связанное с новой переменной, позволяет проводить проверку на промежуточном этапе решения.

Решение. Обозначим где Полученное квадратное уравнение имеет корни (не удовлетворяет

Решение. Положим arccosx =t . Так как множество значений функции arccosx – отрезок [0; π ] , найдем решения уравнения удовлетворяющие условию Такой корень один: Если , то , откуда

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем замены переменной — одна из наиболее плодотворных идей, используемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько типичных ситуаций введения новой переменной. Уравнения, сводящиеся к многочлену от одной тригонометрической функции. Рассмотрим уравнения, сводящиеся к квадратным относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса. Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к виду:

Заметим, что все решения можно представить одной формулой:

Решение. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде:

Решение уравнений, однородных относительно синуса и косинуса в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во всех членах уравнения одинакова. Например,

В частности, уравнения вида приводятся к однородным путем представления правой части в виде:

Решение. Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами: Заметим, что среди значений x , для которых cos x=0 , корней уравнения нет, поскольку, если cos x=0 , то из уравнения следует, что и sinx=0 , а одновременно эти два равенства выполняться не могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на , не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение Последовательно имеем: Решив его как квадратное относительно tgx , найдем: tg x=0,5 , tgx=3 , откуда

Симметрические уравнения Рассмотрим тригонометрические уравнения f ( x )=0 , левая часть которых представляет собой рациональное выражение от переменных t= sinx+cosx (или t= sinx-cosx ) и v= sinx * cosx . Поскольку Следовательно, исходное уравнение сводится к алгебраическому относительно переменной t . Так как то поиск корней алгебраического уравнения можно ограничить промежутком

Решение. Введем новую переменную С учетом равенства перепишем уравнение в виде или Последнее уравнение имеет два корня из которых только первый удовлетворяет условию Вернемся к переменной x . Получим или откуда

Решение . Воспользовавшись формулой разности кубов Положим Тогда и, значит, Таким образом, после замены получим уравнение

Отсюда Условию удовлетворяет только одно из найденных значений: Возвратимся к исходной переменной. Получим или Откуда или Таким образом, исходное уравнение имеет две серии решений:

Уравнения f ( x ) =0, левая часть которых может быть представлена как многочлен от tg x+ctg x , сводятся к алгебраическим заменой t g x +ct g x=t . Решение. Положим t g x + ctg x=t . Заметим, что Последнее уравнение имеет два корня t=1 и t =2 , из которых только второй удовлетворяет условию t ≥ 2 . Если t=2 , то tg x + ctg x =2 , или sin 2 x =1 , откуда

Применение универсальной тригонометрической подстановки Так как выражаются через , то уравнение вида подстановкой часто удается свести к алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что замена на и на ведет к сужению области определения уравнения, поскольку из рассмотрения исключаются значения x , при которых т.е. при которых

Поэтому при применении универсальной тригонометрической подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются или нет исключаемые из рассмотрения значения x корнями исходного уравнения.

Решение. Преобразовав уравнение к виду введем новую переменную Так как исходное уравнение не определено для то такая замена не может привести к потере корней. Заменив на получим уравнение которое равносильно каждому следующему уравнению: Получаем и, возвращаясь к переменной x , решаем уравнение

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Тренировочные упражнения Решите уравнение: 1. 2. 3. 4. 5.

Метод разложения на множители Один из основных подходов к решению тригонометрических уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения используются тригонометрические формулы. Универсального ответа на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае, нет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при поиске решения.

Довольно часто в результате преобразований удается привести уравнение к виду В этом случае дальнейшее решение сводится к поиску корней уравнений и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат области определения исходного уравнения. Такой подход к решению уравнений, известный как метод разложения на множители, является универсальным (его применяют при решении рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений).

Решение. Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента Так как то последнее уравнение равносильно системе

Решение. Так как общий наименьший период функций tg x и sin x равен 2 π , то отбор корней удобно проводить на промежутке [0;2 π ) . Проведем равносильные преобразования: На промежутке [0;2 π ) из трех корней 0, π /2, π исключаем число π /2, поэтому множество корней данного уравнения задается формулой

Решение. Перепишем уравнение в виде Функции, входящие в последнее уравнение, определены при всех x , кроме На этом множестве последнее уравнение равносильно совокупности уравнений t g x =0 и cos 8 x =1 , решения которых определяются формулами

Теперь необходимо отобрать из полученных значений x те, которые удовлетворяют условию cos x≠0 , т.е., Для первой серии корней условие cos x≠0 выполняется. Для отбора корней второй серии воспользуемся следующим. Представим число n в виде а p принимает значения 0, 1, 2 и 3. Тогда при разных значениях p корни второй серии будут иметь вид:

Значит при p=2 получаются «запрещенные» значения, а все оставшиеся решения можно задать, например, как совокупность серий: причем вторая из этих серий была получена ранее.

В случае тригонометрических уравнений проблема преобразования исходного уравнения к виду уравнения к виду решается, главным образом, путем использования тригонометрических формул. Рассмотрим, как это делается на примерах.

Решение. Так как то данное уравнение равносильно следующим: Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности уравнений

Если уравнение содержит выражения то для разложения на множители можно попробовать применить формулы преобразования этих сумм (разностей) в произведения.

Решение. Перепишем уравнение в виде Далее преобразуем это уравнение, используя формулу Получим

Последнее уравнение распадается на три:

Пример 54. Найти наибольший отрицательный корень уравнения Решение. Последовательно имеем

Продемонстрируем применение различных способов для отбора наибольшего отрицательного корня данного уравнения. Алгебраический способ . Для каждой серии корней решим неравенства относительно соответствующего параметра n , k и l . а) Для первой серии корней имеем Отсюда получаем а наибольшее целое отрицательное значение и корень

б) Второе неравенство выполняется, если или и В) тогда или Выбираем наибольший отрицательный корень уравнения

Арифметический способ. Выполнив перебор значений параметров n , k и l , найдем значения для переменной х.

Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками числа, соответствующие найденным сериям решений (рис. 22). При обходе по тригонометрической окружности в отрицательном направлении первое встретившееся число есть

Тренировочные упражнения 1. Найдите все решения уравнения принадлежащие промежутку 2. Найдите все корни уравнения удовлетворяющие неравенству 3 . Решите уравнение 4. Решите уравнение 5. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку 6. Найдите сумму корней уравнения Принадлежащие промежутку

Задание №1. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №1 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Условие при этом выполняется.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

8. Решите уравнение

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что

Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Именно поэтому мы рекомендуем начинать подготовку к ЕГЭ по математике не с задания 1, а с текстовых задач на проценты, движение и работу и основ теории вероятностей.
Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

Задание 1. Простейшие уравнения. ЕГЭ 2022 по математике профильного уровня

Задачи для практики

Задача 1

Найдите корень уравнения $\log_ <64>= 2$.

Решение

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

$x + 5 = 8$ или $x + 5 = -8$,

$x = 3 $ или $x = -13 $

$x = -13$ — не входит в ОДЗ.

Задача 2

Решение

Откуда: $x=2$ или $x=11/13 — $ второй корень не удовлетворяет ОДЗ,

Задача 3

Найдите корень уравнения $\log_<3> <(4x-15)>=\log_<3><(x+3)>$.

Решение

$log_3 (4x — 15) = log_3 (x + 3)$,

Проверка. При $x = 6$ получаем $log_3 (6 · 4 — 15) = log_3 (6 + 3)$ — верное равенство.

$x = 6$ — корень уравнения.

Задача 4

Найдите корень уравнения $625^= <1>/ <5>$.

Решение

Задача 5

Найдите корень уравнения $9^= <1>/ <3>$.

Решение

Задача 6

Найдите корень уравнения $(x-12)^3=-27$.

Решение

Задача 7

Найдите корень уравнения $\log_<2> <(12+x)>=-2$.

Решение

По определению логарифма $12+x = 2^<-2>, 12+x = 0.25, x = 0.25-12, x = -11.75$.

Задача 8

Найдите корень уравнения $\log_<3> <(4-x)>=5$.

Решение

По определению логарифма если $log_b a=c$, то $b^c=a$

Задача 9

Решите уравнение $(x+7)^2 = x^2+7$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение

Задача 10

Решите уравнение $(5x+11)^2 = (5x-2)^2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.

Решение

Воспользуемся формулами сокращенного умножения:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Таким образом:
$25x^2+110x+121=25x^2-20x+4$,
$ 110x+20x=-117$,
$130x=-117$
$x=-117/130$
$x=-0.9$.

Задача 11

Найдите корень уравнения $√ <14-5x>=-x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Решение

Так как левая часть уравнения неотрицательна, то и правая тоже неотрицательна:

$-x ⩾ 0$, — домножим обе части на -1, в таком случае знак неравенства меняется

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение $14-5x=x^2$,

$ x_2=2$ — не удовлетворяет условию $x⩽ 0$.

Задача 12

Найдите корень уравнения $ / <2x-11>= / <3x-7>$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решение

Удобно домножить обе стороны равенства на знаменатели, проще говоря «крест накрест»

$x_1=-3, x_2=-4$ — оба корня удовлетворяют ОДЗ

Наибольший корень: $x=-3$

Задача 13

Найдите корень уравнения $ <9-5x>/ =x$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.