Math semestr калькулятор дифференциальных уравнений

Решение линейных дифференциальных уравнений

Пример 1 . Общее решение дифференциального уравнения с правой частью: y» + py’ + qy = R(x) получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части y» + py’ + qy = 0 где R(x) = e αx [P₁(x)cos(βx) + P₂sin(βx)]

1. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = 2x+3 корнями характеристического уравнения r 3 – 4r 2 + 5r – 2 = 0 являются r=2 кратности 1 и r=1 кратности 2. Следовательно α+β i=0 и не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0 и частное решение ищем в виде y = cx + d. Так как y’ = 0, y’’ = 0, y’’’ = 0, то, подставляя в уравнение, получаем 5c — 2cx — 2d = 2x + 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем -2c = 2. -5c – 2d = 3. Следовательно, c=-1, d= -4 и y = -x-4 — частное, а y = -x-4+C₁e x + C₂e 2 x — общее решения уравнения.

2. Для уравнения y»’ — 4y» + 5y’ – 2y = (2x+3)e 2 x число α+β i=2 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y = x(cx + d)e 2 x .

3. Для уравнения y’’ + y = cos(x) корнями характеристического полинома r 2 +1 являются числа r = ±i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a₁cosx + a₂ sinx). Тогда
y’ = (a₁ + a₂x)cosx + (a₂ – a₁x)sinx,
y’’ = (2a₂ – a₁x)cosx + (-2a₁-a₂x)sinx
Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 2a₂ cosx – 2a₁sinx = cosx, откуда a₁ = 0;a₂=0,5.

4. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ + 2y = x 2 + 3x
Находим решение однородного уравнения y» — 3y’ + 2y = 0.
Характеристическое уравнение: r 2 -3r+2=0 имеет корни r₁= 1, r₂= 2.
Общее решение уравнения без правой части равно: y_Общ = C₁e x + C₂e 2x
Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 не является корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = Ax 2 + Bx + C Находим y»,y’, которые подставляем в равенство:
2Ax 2 + (2B — 6A)x + 2C — 3B + 2A = x 2 + 3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
2A = 1; 2B — 6A = 3; 2C — 3B + 2A = 0,
из которых находим: A = 1/2, B = 3, C = 4, так что
y * = x 2 /2 + 3x + 4
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = y_Общ + y * = C₁e x + C₂e 2x + x 2 /2 + 3x + 4

5. Найти общее решение уравнения: y» — 3y’ = x 2 + 3x
Характеристическое уравнение: r 2 — 3r = 0 имеет корни r₁= 3, r₂= 0.
Общее решение уравнения без правой части равно: y_Общ = C₁e 3x + C₂e 0 = C₁e 3x + C₂ Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)e αx , причем P(x) = x 2 + 3x и число α = 0 является однократным корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида: y * = x(Ax 2 + Bx + C) Находим y»,y’, которые подставляем в равенство y» — 3y’ = x 2 + 3x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
-9A = 1, -6B + 6A = 3, -3C + 2B = 0,
из которых находим: A = -1/9, B = -11/18, C = -11/27, так что
y * = x 2 /9 — 11x/18 -11/27
Общее решение дифференциального уравнения есть: y = y_Общ + y * = C₁e 3x + C₂ + x 2 /9 — 11x/18 -11/27

Пример 2 . Решить дифференциальное уравнение 8y» +2y’ — 3y = 0.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
8r 2 +2r — 3 = 0
D = 2 2 — 4·8·(-3) = 100
,
Корни характеристического уравнения: r₁ = 1 /₂, r₂ = -3 /₄
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e 1/ 2x , y₂ = e -3/ 4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = -6, y'(0) = 7
Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение:
c₁+c₂ = -6
Находим первую производную:
y’ = 1 /₂•c₁•e 1/ 2•x — 3 /₄•c₂•e -3/ 4•x
Поскольку y'(0) = 1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂, то получаем второе уравнение:
1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂ = 7
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c₁+c₂ = -6
1 /₂•c₁— 3 /₄•c₂ = 7
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c₁ = 2, c₂ = -8
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс