Mathcad решение системы уравнений в символьном виде

Mathcad решение системы уравнений в символьном виде

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Mathcad решение системы уравнений в символьном виде

Глава 4. Решение уравнений

4.4 Решение систем уравнений

Для решения систем уравнений нужно использовать вычислительный блок следующего вида:

1. Начальные приближения для всех переменных.

2. Ключевое слово Given (Дано).

3. Система уравнений (при записи уравнений надо использовать жирный знак равенства– клавиши Ctrl +=, так как это не знак присвоения значения, а оператор отношения).

4. Ограничения на поиск решения в виде неравенств, если они есть.

5. Выражение, содержащее функцию find , с неизвестными в качестве параметров.

Результат расчета – вектор решения системы. Вычислительный блок позволяет решать системы, содержащие от 1 до 200 уравнений.

Mathcad допускает использование двусторонних неравенств типа a ≤ x ≤ b . Операторы ≤ и ≥ выбираются на математической панели.

Решение, выданное функцией find , желательно проверить, подставив в уравнения найденные корни, так как в зависимости от начального приближения Mathcad может вывести корни, не имеющие физического смысла.

На рис. 4.9 показана проверка решения системы трех уравнений путем подстановки корней в уравнения , точка Z — точка пересечения трех поверхностей, координаты которой являются решением системы, обращающим все уравнения в тождества.

начальное приближение

Given

проверка

Рис. 4. 9 Решение системы уравнений с помощью функции Find

При обычном ускоренном построении графика поверхности значения аргументов выбираются Mathcad автоматически в диапазоне от –5 до 5, что в нашем примере приводит к делению на ноль и невозможности построения графика. Пределы значений координат можно изменить. Для этого дважды щелкните мышью в поле графика и в открывшемся контекстном меню выберите страницу Quick Plot Data , на которой введите необходимые пределы для изменения переменных. Функция find реализует градиентные численные методы и предлагает на выбор три метода. Щелкните правой кнопкой мыши на названии функции find . В открывшемся контекстном меню и его подменю выберите нужный метод:

– Linear (Линейный метод) – метод касательной;

– Nonlinear (Нелинейный метод);

– Quadratic (Квадратичный метод).

Нелинейных методов три:

1) Conjiugate Gradient (Метод сопряженных градиентов);

2) Quasi – Newton (Квази – ньютоновский метод);

3) Levenberg – Marquart (Метод Левенберга).

Кроме выбора самого метода, нажав кнопку Advanced Options (Дополнительные параметры), можно выбрать:

1) оценку производной конечными разностями ( Derivate Estimation ):

– Forward (Вперед) – правая двухточечная схема;

– Central (Центральная) – трехточечная симметричная схема;

2) оценку переменной ( Variable Estimation ):

– Tangent (Касательная) – касательная – прямая линия,

– Quadratic (Квадратичная) – касательная – парабола;

3) проверку линейности:

Если вы уверены, что нелинейности всех функций, входящих в уравнения, ало влияют на значения их частных производных, то в пункте о проверке линейности выберите No . В этом случае производные будут приняты постоянными и не будут вычисляться на каждом шаге, что уменьшит время расчета.

К выбору метода расчета стоит обращаться, если вы хорошо разбираетесь в численных методах, и тогда, когда Mathcad не может найти решение. В большинстве же случаев лучше доверить выбор метода Mathcad , отметив пункт AutoSelect (Автоматический выбор).

Градиентные методы, реализованные функцией find , требуют многократного вычисления производных. При работе с достаточно гладкими функциями они обеспечивают быстрый и надежный поиск корня.

Для поиска корня негладких функций одного переменной лучше использовать функцию root , реализующую метод секущих.

Как и функция root , функция find может использоваться в функциях пользователя для нахождения корней системы уравнений при переменных значениях параметров, перечисленных в названии функции пользователя ( рис. 4.10 и 4.11). Для системы уравнений решение выводится в виде массива, каждый столбец которого соответствует вектору решения для одной переменной.

начальные приближения

Given

один из параметров делаем константой, другой варьируем

для графика

для таблицы

Рис. 4. 10 Решение системы уравнений с переменными параметрами

Меняем оба параметра a и b

Диапазон изменения координат a и b задан на странице

Quick Plot Data окна форматирования

Рис. 4. 11 поверхность решений системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравнений не только в скалярной, но и в матричной форме, при этом начальные условия и ограничения задаются в виде векторов (рис. 4.12).

Решение системы алгебраических линейных уравнений

А*Х=В путем обращения матрицы А

Блок решения Given — find

начальное приближение

Given

Функция root с матрицами работать не может

Рис. 4. 12 Решение системы уравнений в матричном виде

Решение систем уравнение в символьном виде возможно с помощью функции find . Функция root в ранних версиях (до Mathcad 11 включительно) допускала символьное решение уравнений. В Mathcad 12,13,14 символьное решение уравнений с помощью функции root запрещено.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга. Каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и одно имя find . Внутри блока решения нельзя использовать оператор присваивания х:=1, а нужно использовать знак логического равенства =(жирный знак равенства).

Mathcad решение системы уравнений в символьном виде

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Символьная алгебра в Mathcad

Символьная алгебра в Mathcad включает в себя упрощение и разложение выражений, приведение подобны и разложение на множители.

Операции символьной алгебры можно рассмотреть в сочетании с командами рабочей панели “Символика”, реализующими данную операцию. Перечень некоторых команд и краткое их назначение в Mathcad приведены в таблице.

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Символьные вычисления в Mathcad

Результатом математических вычислений в Mathcad могут быть как числовые значения, так и символьные (аналитические) выражения, полученные посредством преобразования исходных математических выражений, описывающих условия задачи и алгоритм ее решения в символьном виде. Основными достоинствами символьных вычислений являются отсутствие погрешности вычислений и универсальность использования в различных прикладных задачах.

Выполнение символьных вычислений

В Mathcad есть несколько основных способов выполнения символьных вычислений.

Символьная алгебра

Разложение на множители, разложение и упрощение выражений.

Решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений в символьном виде в Mathcad используется специальный оператор символьного решения.

Выполнение символьных вычислений в Mathcad

Символьные вычисления в математическом пакете Mathcad осуществляется с помощью трёх основных способов:

• при помощи меню “Символика”, обеспечивающего возможность выполнения самых разнообразных символьных вычислений (решение и преобразование символьных выражений, интегрирование, дифференцирование и т.д.);
• при помощи специального оператора символьного ввода, включающего знак символьного равенства [ -> ] , иногда с добавлением операторов панели инструментов “Символика” в Mathcad;
• с использованием стандартных математических функций, в сочетании с символьным знаком равенства.