Mathcad решение уравнений методом итераций

Метод простых итераций

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 7330 ; Нарушение авторских прав

Лабораторная работа №5

Тема: Решение СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Цель: изучение приемов численного решения систем линейных уравнений с помощью функций MathCAD.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с теоретическими положениями.

2. Рассмотреть пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

3. Выполнить практическое задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета

1. Тема, цель работы.

2. Практическое задание:

2.1. Постановка задачи.

2.2. Результаты выполнения.

3. Ответы на контрольные вопросы.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Итерационные методы – это методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными. При использовании итерационных методов, сверх того, добавляется погрешность метода.

Эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса.

Метод простых итераций

Пусть дана линейная система (1).

(1)

Систему (1) коротко можно записать в виде матричного уравнения:

Предполагая, что диагональные коэффициенты

разрешим первое уравнение системы (1) относительно х₁, второе – относительно х₂ и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

(3)

при i ¹ j

Систему (3) можно записать в матричной форме

x = b + ax,

а любое (k + 1) приближение вычисляется по формуле

Напишем формулы приближений в развернутом виде:

(4¢)

Приведем достаточное условие сходимости метода итераций.

Теорема:Процесс итерации для приведенной линейной системы (18) сходится к единственному ее решению, если какая-нибудь каноническая норма матрицы a меньше единицы, т.е. для итерационного процесса (19) достаточное условие есть

(5)

Следствие 1. Процесс итерации для системы (3) сходится, если:

1) (k +1) .

Пример решения СЛАУ итерационным методом в MathCAD.

Решить систему методом простых итераций:

Результат на экране:

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad: Метод. указ. / Сост. , — Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

1.2 Отделение корней

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

1.4 Метод деления отрезка пополам

1.6 Метод Ньютона (касательных)

1.7 Комбинированный метод

1.8 Метод итераций

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

3 Задания к лабораторным работам

Лабораторная № 1. Отделение корней и стандартные инструменты решения нелинейного уравнения

Лабораторная № 2. Сравнение методов уточнения корней нелинейного уравнения

Лабораторная № 3. Решение систем нелинейных уравнений

Лабораторная № 4. Программирование методов решения нелинейных уравнений и систем

4 Вопросы и тесты для самоконтроля

Список рекомендуемой литературы

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x, в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн.

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x, функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ ef, где ef требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [a,b], внутри которого находится корень, т. е. |b–a|≤ ex, где ex требуемая точность по оси абсцисс).

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(х) и любого числа y, отвечающего условию f(a)≤y≤f(b), существует на этом отрезке точка x, в которой функция равна y. Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0.

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)=x3 ‑ 10x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму. На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], [0, 1] и [2, 3]. Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f(x) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f(x), используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x= f(x)=) и график. Цикл можно задать, например, командой x:=-5,-4.5…5. Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 – Ввод значений для использования средств решения уравнения в Excel

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root(….) или блок решения. Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и =.

Рисунок 4 – Решение уравнения с использованием функции root(…) в Mathcad

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x»), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример. Построить таблицу для уточнения корня уравнения x3 –10x+7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y, равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с=(a+b)/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f(a)) и растягиваем (копируем) её для вычисления f(c) и f(b). В последнем столбца вычисляем выражение (b—a)/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню: ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f(a)*f(c)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [a, c] нет), иначе оставляем значение a. Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f(c)*f(b)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c, b] нет), иначе оставляем значение b.

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x= — 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

Рисунок 6 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Excel

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a,b] рассчитывается по любой из следующих формул:

.

1.6 Метод Ньютона (касательных)

Идея, на которой основан метод, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только на каждом шаге кривая f(x) заменяется касательной к ней, проведенной в предыдущей найденной точке. В качестве начальной точки в зависимости от свойств функции берется или левая граница отрезка, содержащего корень – x0 = а (если f(а) f»(х) > 0), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f»(х)>0). Расчет нового приближения на следующем шаге i+1 производится по формуле:

.

Алгоритм применим для монотонных функций, сохраняющих выпуклость или вогнутость в промежутке между начальным приближением и корнем уравнения (т. е. должен сохраняться знак первой и второй производных функции f(x)). работоспособен при выпуклых и монотонных функциях f(x). В расчетах нет необходимости отслеживать две границы отрезка, поэтому достаточно на каждом шаге вычислять значения x, f(x) и f′(x). При этом легко оценить «точность по y», по значению левой части уравнения на очередном шаге. Для оценки «точности по x» нужно отслеживать разницу приближений на предыдущем и последующих шагах, которая связана с разницей между найденным приближением и точным значением корня.

Следует обратить внимание на следующую особенность метода: последовательность x1, x2, x3,… приближается к корню с другой стороны, в отличие от использования метода хорд при прочих равных условиях.

Главным достоинством метода касательных является квадратичная скорость сходимости, что во многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции.

Уточнить корень уравнения tg (0,55x+0,1) – x2=0 на отрезке [0.6, 0.8] методом касательных до точности 0,001.

Точность вычислений можно оценить из соотношения

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2, . xn записывают в виде:

где F1, F2,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X*, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное количество решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.

Численные методы решения системы уравнений носят итерационный характер и требуют задания начального приближения X0.

Рассмотрим две группы таких методов: метод Ньютона с различными его модификациями и методы итераций (простых итераций и Зейделя).

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Будем рассматривать этот метод на примере системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Начальные значения x0 и y0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi+1, yi+1) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi, yi).

,

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

.

Следует обратить внимание, что в последней формуле используется вычисление матрицы, обратной к матрице первых производных.

Расчет останавливают при выполнении одного (а иногда и обоих) из двух условий. Первое из них заключается в том, что на очередном шаге максимальное по модулю из изменений аргументов x и y становится меньше заданная погрешность по аргументам. В соответствии со вторым из условий, на очередном шаге максимальное по модулю значение левых частей уравнений должно отличаться от нуля меньше, чем заданная погрешность по функциям.

В упрощенном методе Ньютона матрица производных и матрица, обратная к ней вычисляются только один раз (в начальной точке) и для расчетов используется матричная формула

.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

.

Для решения такой системы задаются начальным приближением x0, y0. Уточненные решения получают по шагам, подставляя в правые части уравнений значения, найденные на предыдущем шаге. В методе простых итераций для уточнения решения используют формулы:

.

Если одно из решений системы и начальные значения x0 и y0 лежат в области D, задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений:

Численное решение уравнений в MathCAD

Численное решение уравнений в MathCAD

Все задачи, с которыми вам приходилось сталкиваться в школе или изучать в университете, решались символьно. То есть вы тем или иным образом преобразовывали и упрощали выражения, использовали какие-то стандартные формулы и методы, умножали, делили, сокращали — и в результате приходили к какому-то аналитически несложному результату. Так, например, при решении квадратного уравнения вы использовали формулы Виета; пытаясь найти корни кубического уравнения, вы разлагали выражение на линейные множители (или, в крайнем случае, использовали формулу Кардано), для бикубических уравнений прибегали к замене. В общем, для того, чтобы решить даже очень несложное нелинейное уравнение, от вас требовалось знание великого множества разнообразных формул и подходов. Но, увы, как бы вы хорошо ни ориентировались во всех этих методах и подходах, зачастую это мало вам помогало, так как использование большинства из них крайне трудоемко и подходит для решения очень немногих (специально подобранных) уравнений. На практике же, как правило, приходится работать с уравнениями, включающими разнородные функции (что, как правило, автоматически означает невозможность символьного решения) или с очень неудобными коэффициентами. Справиться со многими из них привычным преобразованием или заменами никак не получится. Что же делать?

Естественно, если вам попадется такое «нерешаемое» уравнение, вы попытаетесь просто подобрать корни. Для этого вы будете подставлять какие-то значения переменной (выбор которых, скорее всего, в основном будет определяться вашей интуицией) в надежде на то, что какое-то из них обратит уравнение в нуль. К сожалению, и такой способ весьма малоэффективен на практике: подставив десяток-другой значений, вы почти наверняка предпочтете удовлетвориться мыслью о том, что данное уравнение не имеет решений вовсе, чем продолжать эту чрезвычайно неинтересную работу.

Но если у вас есть компьютер с системой MathCAD, то никаких проблем с поиском решения не будет вне зависимости от сложности уравнения. Конечно, аналитическое решение компьютер вряд ли найдет даже для очень простых уравнений (в этом пока человек значительно превосходит машину), но зато ввиду колоссальной по сравнению с человеческой скоростью обработки данных очень эффективными становятся так называемые численные методы.

В основе всех численных методов решения уравнений лежит принцип подбора. Но, в отличие от подбора возможных корней человеком, в численных методах этот процесс является строго направленным. Основным понятием численных методов является итерация. Итерация — это буквально повторение, то есть все численные методы построены на принципе повторения одного и того же действия или последовательности действий, результатом которых является большее или меньшее приближение некоторого рабочего значения переменной к корню. Поэтому численные методы решения уравнений называются еще итерационными. Число необходимых итераций определяется скоростью сходимости алгоритма (эффективностью). Эффективность различных численных алгоритмов может различаться весьма значительно, но это не значит, что всегда стоит избирать из них наиболее быстрый: чем выше скорость сходимости к решению, тем, как правило, чувствительность алгоритма к различного рода трудностям (многочисленным экстремумам, разрывам или недифференцируемости в некоторых точках) выше. Поэтому очень важно иметь представление (хотя бы самое поверхностное) о том, какие принципы лежат в основе работы той или иной функции: это поможет выбрать наиболее подходящий в рамках данной задачи алгоритм и тем самым избежать лишних ошибок и проблем.

Немного о выборе типа алгоритма. В общем случае, конечно, гораздо лучше получить решение в результате символьных преобразований, так как при этом можно найти сразу все корни (при использовании встроенных функций MathCAD — только один), причем без какой-либо погрешности. Но, увы, аналитическое решение имеет относительно небольшое количество задач, а символьный процессор MathCAD сможет справиться вообще с мизерным процентом уравнений. Так что применение численных методов — это печальная необходимость. Но особо огорчаться по этому поводу не стоит: все недостатки численных алгоритмов MathCAD можно легко преодолеть.

Для численного поиска решений алгебраических уравнений с одним неизвестным в MathCAD существует специальная встроенная функция root (корень). Функция эта может использоваться с различными начальными условиями, при этом реализуются разные численные алгоритмы. Так, если определена только одна точка приближения к корню, поиск решений будет осуществляться так называемым методом секущих. Если же задан интервал, на котором предположительно локализовано решение, то поиск его будет осуществлен с применением метода деления пополам (или метода Больцано).

Если необходимо найти корень некоторого уравнения, причем известен интервал, в котором находится корень, проще всего использовать функцию root с 4 аргументами: root(f(x), x, a, b), где f ( x ) — функция, определяющая уравнение, x — переменная, a и b — границы интервала локализации. Обязательным условием является то, что значения функции на концах интервала должны быть противоположных знаков.

Попробуем протестировать функцию root и для этого найдем корни какого-нибудь уравнения, точное решение которого очевидно. К примеру, возьмем уравнение

все корни которого имеют вид p × N/4 (N=1, 2, . ). Попробуем найти первое положительное решение. Очевидно, что таковым будет x=p /4 (что очень хорошо видно на графике).

Посмотрим, однако, найдет ли этот корень функция root. Интервал локализации определим от 0 до p /3:

MathCAD не подвел на этот раз: решение найдено в точности. Попробуем решить это уравнение с другим интервалом локализации:

Полученный результат отличается от первого решения, хотя корень х =0.25 (находится в данном интервале. Все дело в том, что в этом же промежутке находится еще 4 корня, и заранее предсказать, какой именно из них будет выдан в качестве ответа, совершенно невозможно. Поэтому следует ввести еще одно ограничение для применения функции root в рассматриваемой интерпретации: на промежутке должен быть локализован только один корень. В тех случаях, когда определить границы такой локализации невозможно, следует применять функцию root с одной точкой приближения (то есть перейти от метода Больцано к методу секущих). Хотя практически всегда определить нужный промежуток можно и чисто визуально, предварительно задав график. Вообще, строить график всегда желательно, когда вы используете численные методы: это самый надежный способ избежать ошибок и не потерять корни. Другой вопрос, что в случае систем уравнений это может помочь очень мало (так как сделать какие-то более или менее точные выводы по двум пересекающимся поверхностям совершенно невозможно).

Очень важной характеристикой решения является его точность. В MathCAD можно регулировать величину погрешности решения, изменяя значение специальной системной переменной TOL (от английского tolerance — точность). Строго говоря, TOL — это параметр, определяющий условие прекращения итераций. То есть цикл численного алгоритма остановит свою работу и выдаст последнее значение x, если f ( x ) примет значение, меньшее, чем TOL. Изменить величину этой встроенной переменной можно либо при помощи команды Math/Options/Built-in variables/TOL (Математические/Опции/Системные переменные/TOL), либо выполнив соответствующее присваивание непосредственно слева или сверху функции численного решения. Посмотрим, как влияет изменение величины TOL (по умолчанию равной 10 -3 ) на точность поиска корня. Пусть дана следующая функция:

Для того чтобы определить существование у нее нулей, а также, при их наличии, приблизительные границы интервала локализации корней, построим график:

Один корень вполне очевиден — это 0. Посмотрим, однако, сможет ли найти его функция root. Попробуем провести такой расчет при различных значениях TOL:

Для такой невысокой точности результат получился на удивление неплохим (значение функции в точке, определенной как корень, на 3 порядка меньше TOL — условия остановки цикла алгоритма). Но все равно 0.066 — это довольно далеко от настоящего значения корня. А то, что значение f ( x ) в этой точке весьма близко к нулю, совсем неудивительно: это связано с особенностью поведения функции в окрестности 0, где она буквально «скользит» по оси X .

При уменьшении TOL на три порядка приблизительно во столько же порядков увеличилась и точность решения (что вполне закономерно). Новое значение корня может удовлетворить большинству требований к точности, возникающих на практике. Но все же мы попытаемся получить максимально точное решение. Для этого еще более уменьшим значение TOL:

Значение корня уже крайне близко к нулю. Попробуем задать высшую точность, возможную в MathCAD (TOL=10 -15 ):

Только в этом предельном случае наконец удалось получить правильное решение. Проанализируем, с чем были связаны трудности в поиске нуля этой функции (как вы помните, решения для косинуса находились очень просто и без применения условия особой точности). Для этого построим график, на котором ясно видно прохождение кривой через точку корня. Сделать это проще всего можно при помощи инструмента ZOOM, который позволяет увеличивать отдельные фрагменты графика.

Более 30 раз пришлось повторить операцию с этим инструментом, пока наконец кривая перестала сливаться с осью X ! В результате получился следующий график:

Теперь совсем несложно понять причину возникших трудностей: просто кривая в окрестности 0 слишком близко подходит к оси X . А, как вы помните, корень считается найденным, когда значение функции в некоторой точке меньше TOL. В случае же рассматриваемой функции для стандартной точности (10 -3 ) такие точки появятся на относительно большом расстоянии от точки решения. Поэтому результат получается неверным. Но, с другой стороны, утверждать, что решение в рассмотренных выше случаях находилось ошибочное, совершенно некорректно. Ведь по условию в точке корня значение функции должно быть меньше TOL. Для большинства численных методов это основное, а в случае метода бисекции (схожий с ним алгоритм лежит в основе работы функции root с четырьмя аргументами) — единственное условие определения некоторой точки x как корня. Условие же это при всех значениях точности было выполнено, причем TOL и f ( x ) отличались на несколько порядков. Просто, строго говоря, получаемые значения корней следует округлять до порядка, равного порядку продекларированной точности (ведь значение функции не может быть точнее входных данных). Если бы мы это сделали, то во всех случаях, в том числе и при TOL=10 -1 , ответ получился бы верным (хотя, надо признать, в случае TOL=10 -1 это было бы, скорее, счастливое совпадение).

Из всего вышесказанного можно сделать вывод: нахождение корня функцией root совсем не означает его действительного существования. Очень даже возможна такая ситуация, когда кривая функции очень близко подходит к оси Х, но при этом не пересекает ее. Если же установленный уровень точности окажется больше того расстояния, на которое она приближается к оси, то точку, в которой это сближение происходит, MathCAD определит как корень.

Что же делать, чтобы избежать таких ошибок? Во-первых, всегда строить график. В системе MathCAD это делается предельно быстро и просто, а неприятностей позволяет избежать очень многих. Во-вторых, если вы видите, что график как бы скользит по оси Х (очень неясная ситуация: возможно и пересечение в 2-х точках, и касание в одной, и отсутствие общих точек вообще), попробуйте увеличить точность по максимуму: в большинстве случаев этого бывает вполне достаточно. И в-третьих, если сомнения все равно остаются, используйте инструмент ZOOM в области предполагаемого расположения корня. Пожалуй, способ этот самый надежный: ведь увеличение можно производить практически до бесконечности.

Найти решение уравнения в MathCAD можно применяя другую форму встроенной функции root, имеющую только 2 аргумента (имя функции и переменной). При использовании этого варианта выше или правее самой функции root следует задать начальное приближение для x:

Определить величину начального приближения можно либо чисто интуитивно, либо (лучше) построив график.

Вы можете задать резонный вопрос: если существует весьма верный и простой метод бисекции, зачем использовать другие, менее надежные (как будет показано далее) методы? Тут все дело вот в чем: во-первых, не всегда существованию корня сопутствует интервал с различными по знаку значениями функции в точках его границ (есть возможность простого касания); во-вторых, метод бисекции не очень удобно использовать при программном поиске всех корней уравнения сканированием некоторой широкой области; в-третьих, ввиду того, что построенные при помощи компьютерных программ графики отражают вид функции довольно искаженно, определение при их помощи интервала локализации корня нельзя считать абсолютно надежным.

Однако можно утверждать, что лучше воздержаться от использования метода секущих (то есть функции root в варианте с начальным приближением) в случае периодических функций (особенно сложного вида), очень осторожно следует применять ее при наличии локальных экстремумов (и ни в коем случае не определять начальное приближение вблизи таких точек, а также точек перегиба) и точек разрыва. Также следует учитывать поведение функции на бесконечности. Поэтому во всех сложных случаях куда лучше применять метод бисекции.

Дмитрий Гурский, Юрий Стрельченко, dot@omen.ru

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 07 за 2003 год в рубрике soft :: текст