Mathcad задание системы уравнений с помощью таблицы

Mathcad задание системы уравнений с помощью таблицы

Mathcad дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно пятидесяти. В первой части этого раздела описаны процедуры решения систем уравнений. В заключительной части приведены примеры и проведено обсуждение некоторых часто встречающихся ошибок. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня. Для символьного решения уравнений необходимо использовать блоки символьного решения уравнений. При символьном решении уравнений искомый корень выражается через другие переменные и константы.

Для решения системы уравнений выполните следующее:

• Задайте начальные приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает уравнения при помощи итерационных методов. На основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению.
• Напечатайте ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений. При печати слова Given можно использовать любой шрифт, прописные и строчные буквы. Убедитесь, что при этом Вы не находитесь в текстовой области или параграфе.
• Введите уравнения и неравенства в любом порядке ниже ключевого слова Given. Удостоверьтесь, что между левыми и правыми частями уравнений стоит символ =. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов , , и .
• Введите любое выражение, которое включает функцию Find. При печати слова Find можно использовать шрифт любого размера, произвольный стиль, прописные и строчные буквы.

Функция Find возвращает найденное решение следующим образом:

• Если функция Find имеет только один аргумент, то она возвращает решение уравнения, расположенного между ключевым словом Given и функцией Find.
• Если функция Find имеет более одного аргумента, то она возвращает ответ в виде вектора. Например, Find(z1, z2) возвращает вектор, содержащий значения z1 и z2 , являющиеся решением системы уравнений.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называются блоком решения уравнений.

На Рисунке 5 показан рабочий документ, который использует блок решения уравнений для решения одного уравнения с одним неизвестным. Так как имеется только одно уравнение, то только одно уравнение появляется между ключевым словом Given и формулой, включающей функцию Find. Так как уравнение имеет одно неизвестное, то функция Find имеет только один аргумент. Для решения одного уравнения с одним неизвестным можно также использовать функцию root, как показано ниже:

Рисунок 5: Блок решения уравнений для одного уравнения с одним неизвестным.

Между ключевым словом Given и функцией Find в блоке решения уравнений могут появляться выражения строго определенного типа. Ниже приведен список всех выражений, которые могут быть использованы в блоке решения уравнений. Использование других выражений не допускается. Эти выражения часто называются ограничениями. В таблице, приведенной ниже, через x и y обозначены вещественнозначные скалярные выражения, а через z и w обозначены любые скалярные выражения.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения уравнений:

• Ограничения со знаком .
• Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.
• Неравенства вида a -15 .

Причиной появления этого сообщения об ошибке может быть следующее:

• Поставленная задача может не иметь решения.
• Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число. Если решение задачи комплексное, то оно не будет найдено, если только в качестве начального приближения не взято также комплексное число. На Рисунке 11 приведен соответствующий пример.
• В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Метод поиска решения, который используется в Mathcad, не позволяет в этом случае построить следующее приближение, которое бы уменьшало невязку. Для поиска искомого решения пробуйте использовать различные начальные приближения или добавьте ограничения на переменные в виде неравенств, чтобы обойти точку локального минимума.
• В процессе поиска решения получена точка, которая не является точкой локального минимума, но из которой метод минимизации не может определить дальнейшее направление движения. Метод преодоления этой проблемы — такой же, как для точки локального минимума: измените начальное приближение или добавьте ограничения в виде неравенств, чтобы миновать нежелательную точку остановки.
• Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Если значение встроенной переменной TOL слишком мало, то Mathcad может достигнуть точки, находящейся достаточно близко к решению задачи, но уравнения и ограничения при этом не будут выполнены с точностью, задаваемой переменной TOL. Попробуйте увеличить значение TOL где-нибудь выше блока решения уравнений.

Что делать, когда имеется слишком мало ограничений

Если количество ограничений меньше, чем количество переменных, Mathcad вообще не может выполнить блок решения уравнений. Mathcad помечает в этом случае функцию Find сообщением об ошибке “слишком мало ограничений”.

Задача, аналогичная той, которая приведена на Рисунке 12, называется недоопределенной. Ограничений в ней меньше, чем переменных. Поэтому ограничения не содержат достаточной информации для поиска решения. Поскольку функция Find имеет пять аргументов, Mathcad определяет, что требуется решить два уравнения с пятью неизвестными. Вообще говоря, такая задача обычно имеет бесконечное число решений.

При использовании блока решения уравнений в Mathcad необходимо задать количество уравнений по крайней мере не меньшее, чем число искомых неизвестных. Если зафиксировать значения некоторых переменных, удастся решить уравнения относительно оставшихся переменных. На Рисунке 13 показано, как, зафиксировав часть переменных, решить недоопределенную задачу из Рисунка 12. Поскольку функция Find содержит только два аргумента, z и w, Mathcad определяет переменные x, y и v как имеющие фиксированные значения 10, 50 и 0 соответственно. Блок решения уравнений становится в этом случае корректно определенным, потому что теперь имеются только две неизвестных, z и w, и два уравнения.

Рисунок 12: Функция Find имеет пять аргументов, поэтому Mathcad определяет, что требуется решить два уравнения с пятью неизвестными.

Рисунок 13: Проблема может быть решена, если уменьшить количество аргументов функции Find.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Графический способ решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MathCAD

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Графический способ решения систем алгебраических уравнений

с использованием программного пакета Mat h CAD

Автор работы : Сенашева Юлия Викторовна, ученица 7 класса

Научный руководитель : Несивкина Галина Анатольевна

учитель математики первой квалификационной категории.

Учреждение : МБОУ «Ширинская» средняя общеобразовательная школа №18

Ширинского района Республики Хакасия.

1.1.Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью MathCAD;……4

1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k,

в программе MathCAD . 5.

1.3 Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений

с помощью программы MathCAD………………………………………………………6

Актуальность работы : При изучении следующих разделов математики: взаимное расположение графиков линейных функций , графический способ решения системы линейных уравнений столкнулась с тем, что для глубокого исследования этих тем ,отводиться мало времени. Считаю, что изучение этого материала требует более детального рассмотрения, так как он прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, в задачах математических олимпиад , в заданиях на ОГЭ, на ЕГЭ и вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения.

Мотивация : как увеличить время на изучение тем: взаимное расположение графиков линейных функций, графический способ решения системы линейных уравнений.

Проблема: необходимо найти удобный , наглядный, а самое главное быстрый способ построения графиков уравнений.

Гипотеза : объект исследования «Линейная функция» ( А.Г.Мордкович ,Алгебра 7 класс,глава2),»Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (глава3).

Цель работы : показать графический способ решение систем алгебраических уравнений с применением популярного инженерного программного пакета MathCAD. Исследование предоставляет базовые знания работы с программой MathCAD, как они могут быть применены для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим методом.

Результаты исследования : в процессе исследования:

-из множества программ, позволяющих рисовать графики функций, выполнять построения, была выбрана MathCAD , которая является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран мной для решения данной проблемы;

-изучила алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;

-изучила графический метод решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD и убедилась в том, что графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение.

С помощью программы MathCAD мною были выполнены все задания из задачника Алгебра 7 класс по этой теме, ряд заданий олимпиадного характера и задания для подготовки к ОГЭ. Я смогла за короткий срок выполнить большой объем учебного материала, причем в очень наглядной и доступной форме.В процессе работы не тратила время на составление таблиц и построение графиков в тетради .Получился большой запас времени на отработку заданий повышенной сложности.

Перспективы: использовать программный продукт MathCAD., для дальнейшего изучения алгебры 7 класса (глава 8,параграф38.) ,решения задач повышенной сложности, решения заданий из ОГЭ.

В данной работе были рассмотрены примеры , каким образом решаются на MathCAD разнообразные математические задачи (решение систем линейных уравнений). Данная работа поможет ученикам быстро освоить основные навыки работы с пакетом MathCAD, а примеры и способы решения помогут их закрепить для решения новых задач.

1.1 Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;

№ 7.17. На координатной плоскости хОу постройте график уравнения:

1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения

2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ .

Появиться пустой пустой график

3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = -х+4.

4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная кривая.

№ 8.28. Постройте график линейной функции у = х+4 и у=2х

а) координаты точек пресечения графика с осями координат;

б) значение у, соответствующее значению х=—2;-1;1.

в ) значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.

1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения

2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ

Появиться пустой график.

3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = х+4.

4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная

5.Установить курсор справа от функции. Щелкнуть Добавить кривую .

Появиться новый местозапонитель оси У под текущим местозаполнителем

.

А ) Найти координаты точек пресечения графика с осями координат.

На графике точки пересечения: х=0,у=- 4

Б) Найти значение у, соответствующее значению х = —2;-1;1.

В) Найти значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.

Внесем данные и получим следующее распределение по столбцам .

1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k, в программе MathCAD;

у=3х+4, у=3х, у = -3х,у=2х, у=3х-4,

1.3.Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD;

№ 11.10 .Решить графически систему уравнений (задачник Алгебра7 класс, часть 2)

Ответ: система имеет одно решение (2;2)

Пример1.Решить систему уравнений

Ответ: система не имеет решений

Решить систему уравнений

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

Вывод : графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы:

— графиком обоих уравнений системы линейных уравнений являются прямые;

-эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке,- это значит, что система имеет единственное решение;

-эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений( система несовместна);

-эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (система не определена).

Mathcad задание системы уравнений с помощью таблицы

Глава 4. Решение уравнений

4.4 Решение систем уравнений

Для решения систем уравнений нужно использовать вычислительный блок следующего вида:

1. Начальные приближения для всех переменных.

2. Ключевое слово Given (Дано).

3. Система уравнений (при записи уравнений надо использовать жирный знак равенства– клавиши Ctrl +=, так как это не знак присвоения значения, а оператор отношения).

4. Ограничения на поиск решения в виде неравенств, если они есть.

5. Выражение, содержащее функцию find , с неизвестными в качестве параметров.

Результат расчета – вектор решения системы. Вычислительный блок позволяет решать системы, содержащие от 1 до 200 уравнений.

Mathcad допускает использование двусторонних неравенств типа a ≤ x ≤ b . Операторы ≤ и ≥ выбираются на математической панели.

Решение, выданное функцией find , желательно проверить, подставив в уравнения найденные корни, так как в зависимости от начального приближения Mathcad может вывести корни, не имеющие физического смысла.

На рис. 4.9 показана проверка решения системы трех уравнений путем подстановки корней в уравнения , точка Z — точка пересечения трех поверхностей, координаты которой являются решением системы, обращающим все уравнения в тождества.

начальное приближение

Given

проверка

Рис. 4. 9 Решение системы уравнений с помощью функции Find

При обычном ускоренном построении графика поверхности значения аргументов выбираются Mathcad автоматически в диапазоне от –5 до 5, что в нашем примере приводит к делению на ноль и невозможности построения графика. Пределы значений координат можно изменить. Для этого дважды щелкните мышью в поле графика и в открывшемся контекстном меню выберите страницу Quick Plot Data , на которой введите необходимые пределы для изменения переменных. Функция find реализует градиентные численные методы и предлагает на выбор три метода. Щелкните правой кнопкой мыши на названии функции find . В открывшемся контекстном меню и его подменю выберите нужный метод:

– Linear (Линейный метод) – метод касательной;

– Nonlinear (Нелинейный метод);

– Quadratic (Квадратичный метод).

Нелинейных методов три:

1) Conjiugate Gradient (Метод сопряженных градиентов);

2) Quasi – Newton (Квази – ньютоновский метод);

3) Levenberg – Marquart (Метод Левенберга).

Кроме выбора самого метода, нажав кнопку Advanced Options (Дополнительные параметры), можно выбрать:

1) оценку производной конечными разностями ( Derivate Estimation ):

– Forward (Вперед) – правая двухточечная схема;

– Central (Центральная) – трехточечная симметричная схема;

2) оценку переменной ( Variable Estimation ):

– Tangent (Касательная) – касательная – прямая линия,

– Quadratic (Квадратичная) – касательная – парабола;

3) проверку линейности:

Если вы уверены, что нелинейности всех функций, входящих в уравнения, ало влияют на значения их частных производных, то в пункте о проверке линейности выберите No . В этом случае производные будут приняты постоянными и не будут вычисляться на каждом шаге, что уменьшит время расчета.

К выбору метода расчета стоит обращаться, если вы хорошо разбираетесь в численных методах, и тогда, когда Mathcad не может найти решение. В большинстве же случаев лучше доверить выбор метода Mathcad , отметив пункт AutoSelect (Автоматический выбор).

Градиентные методы, реализованные функцией find , требуют многократного вычисления производных. При работе с достаточно гладкими функциями они обеспечивают быстрый и надежный поиск корня.

Для поиска корня негладких функций одного переменной лучше использовать функцию root , реализующую метод секущих.

Как и функция root , функция find может использоваться в функциях пользователя для нахождения корней системы уравнений при переменных значениях параметров, перечисленных в названии функции пользователя ( рис. 4.10 и 4.11). Для системы уравнений решение выводится в виде массива, каждый столбец которого соответствует вектору решения для одной переменной.

начальные приближения

Given

один из параметров делаем константой, другой варьируем

для графика

для таблицы

Рис. 4. 10 Решение системы уравнений с переменными параметрами

Меняем оба параметра a и b

Диапазон изменения координат a и b задан на странице

Quick Plot Data окна форматирования

Рис. 4. 11 поверхность решений системы уравнений

Mathcad позволяет решать системы уравнений не только в скалярной, но и в матричной форме, при этом начальные условия и ограничения задаются в виде векторов (рис. 4.12).

Решение системы алгебраических линейных уравнений

А*Х=В путем обращения матрицы А

Блок решения Given — find

начальное приближение

Given

Функция root с матрицами работать не может

Рис. 4. 12 Решение системы уравнений в матричном виде

Решение систем уравнение в символьном виде возможно с помощью функции find . Функция root в ранних версиях (до Mathcad 11 включительно) допускала символьное решение уравнений. В Mathcad 12,13,14 символьное решение уравнений с помощью функции root запрещено.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга. Каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и одно имя find . Внутри блока решения нельзя использовать оператор присваивания х:=1, а нужно использовать знак логического равенства =(жирный знак равенства).