Mathus ru материалы по математике тригонометрические уравнения

Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике

Цель данного сайта — содействовать физико-математическому развитию школьников. Автор и разработчик сайта — Игорь Вячеславович Яковлев, преподаватель математики и физики.

Моя специализация — подготовка школьников к олимпиадам по математике и физике (и, как следствие, углублённая подготовка старшеклассников к ЕГЭ и ДВИ МГУ).

В данный момент занятия идут дистанционно.

Кого обучаю

Готовиться к олимпиадам приходят:

матшкольники, желающие совершенствовать навыки решения задач современных олимпиад;
ребята, собирающиеся поступать в хорошую физматшколу;
старшеклассники — абитуриенты МФТИ, Высшей школы экономики и МГУ.

Цели и специфика подготовки могут меняться от класса к классу. Более подробная информация по классам: 6 класс, 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс.

Зачем обучаю

Олимпиадные дипломы дают серьёзные преимущества при поступлении в вуз:

100 баллов по предмету в зачёт ЕГЭ;
100 баллов в МГУ за ДВИ (дополнительное вступительное испытание);
самая мощная льгота БВИ («без вступительных испытаний») — зачисление «первым эшелоном» до зачисления по конкурсу всех остальных.

Олимпиадников сейчас много, и старшеклассники отлично понимают, что без олимпиад — с одними только баллами ЕГЭ за душой — можно запросто остаться за бортом вуза своей мечты.

Цель моей работы с учеником — диплом победителя или призёра на ключевых олимпиадах:

Олимпиадная подготовка с огромным запасом обеспечивает подготовку к ЕГЭ. Когда в конце марта (по окончании олимпиадного сезона) мы с одиннадцатиклассниками переключаемся на ЕГЭ, выясняется, что делать там уже особо нечего — после многомесячной олимпиадной практики задачи ЕГЭ перестают восприниматься всерьёз. Олимпиадники не напрягаясь набирают на ЕГЭ свои 75+ баллов, необходимые для подтверждения льгот (и нередко получают около сотни, хотя это им в принципе уже и не нужно).

Когда обучаю

Дни занятий: понедельник, вторник, среда, четверг и суббота.

Одно занятие длится два астрономических часа (120 минут). В каждый из указанных выше дней я провожу два занятия.

Время занятий всегда одно и то же: с 17 до 19 часов — первое занятие, с 19 до 21 — второе. Время московское.

Период занятий в 2021/22 учебном году — с 06.09.21 по 25.12.21 и с 10.01.22 по 28.05.22. Возможен перерыв (дней десять) на майские праздники. Осенних и весенних каникул нет.

Как обучаю

На занятии я работаю одновременно с несколькими учениками, но при этом с каждым из них — индивидуально. Каждого ученика я веду в его собственном темпе, по персональному графику и независимо от остальных учеников.

Все занятия имеют вид «сеанса одновременной игры»: каждый ученик занимается строго своим делом и никак не связан с другими учениками. При дистанционных занятиях ученик вообще не видит и не слышит других учеников: функционирует только наш с ним персональный канал связи. Работа с группой как с единым целым отсутствует, и поэтому для ученика не существует понятий «отстал от группы» или «пропустил тему».

Наиболее важные оргвопросы обсуждаются на странице Занятия.

На олимпиаде или ЕГЭ моё участие заканчивается: там ученик действует исключительно своим умом (я не оказываю никаких видов «онлайн-помощи» и «поддержки»). Разумеется, никаких гарантий получения олимпиадного диплома или нужного количества баллов на ЕГЭ я также не даю.

Методические материалы

Эффективность занятий в виде «сеансов одновременной игры» обеспечивается моими методическими материалами, которые выложены на страницах Математика и Физика бесплатно для всех желающих.

Все ученики работают по этим материалам. Опыт показывает, что нужды в других пособиях не возникает.

Сколько стоит

Стоимость одного двухчасового (120 минут) занятия в 2021/22 учебном году составляет 3250 рублей. Более подробная информация насчёт оплаты находится в разделе Стоимость и оплата.

Юридическое

Я — индивидуальный предприниматель (ОГРНИП, ИНН). Оплата занятий производится безналично на мой расчётный счёт ИП в Сбербанке.

Новости и объявления

20.02.22 . Турнир Архимеда — два диплома.

20.02.22 . Региональный этап ВсОШ по физике — четыре победителя и пять призёров.

20.02.22 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель.

24.08.21 . Итог поступления 11-классников: 12 человек — МФТИ, 7 — ВШЭ, 9 — МГУ, двое — МИФИ, двое — МГТУ.

05.08.21 . Попытка рассмотреть в общем виде задачу про викторину на ЕГЭ по математике.

24.07.21 . Написано небольшое пособие Векторы в стереометрии. Этот материал необходим на входе в 11 класс и будет использоваться на занятиях уже в сентябре.

13.07.21 . ЕГЭ по физике: 100, 99, 99, 99, 97, 97, 97, 93, 93, 93, 91, 91, 89, 87, 87, 86, 85, 80, 74, 70, 64.

13.07.21 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 99, 99, 98, 96, 96, 96, 94, 92, 90, 88, 88, 88, 86, 84, 84, 82.

03.06.21 . Олимпиада «Курчатов» по физике — шесть призёров.

03.06.21 . Олимпиада «Курчатов» по математике — победитель и два призёра.

26.05.21 . Олимпиада «Росатом» по физике — два победителя и 11 призёров.

26.05.21 . Олимпиада «Росатом» по математике — четыре призёра.

24.05.21 . Городская устная олимпиада по геометрии — три диплома и ПГ.

16.05.21 . Олимпиада Верченко по математике и криптографии — призёр.

16.05.21 . Турнир Ломоносова по математике — призёр.

13.05.21 . Московская математическая олимпиада — пять дипломов и четыре ПГ.

30.04.21 . Заключительный этап олимпиады Максвелла — призёр.

21.04.21 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — победитель и пять призёров.

18.04.21 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике — призёр.

17.04.21 . Олимпиада «Физтех»: 31 диплом. Математика — 3 победителя и 13 призёров, физика — 5 победителей и 10 призёров.

14.04.21 . Олимпиада ЮМШ — призёр.

13.04.21 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — четыре победителя и два призёра.

12.04.21 . Олимпиада СПбГУ по физике — победитель и два призёра.

10.04.21 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель и призёр.

09.04.21 . Всесибирская олимпиада по физике — победитель и три призёра.

09.04.21 . Всесибирская олимпиада по математике — призёр.

26.03.21 . Всеросс по экономике — призёр.

15.03.21 . Городская устная олимпиада по математике для 6–7 классов — диплом III степени.

06.03.21 . Региональный этап ВсОШ по математике — шесть призёров.

27.02.21 . Региональный этап олимпиады Эйлера — победитель и три призёра.

16.02.21 . Региональный этап ВсОШ по физике — восемь призёров.

15.02.21 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель и семь призёров.

02.11.20 . Льготы олимпиадникам 2020/21: МФТИ, ВШЭ, МГУ.

04.09.20 . Итог поступления 11-классников: 17 человек — МФТИ, трое — ВШЭ, пятеро — МГУ, один — КФУ.

06.08.20 . ЕГЭ по физике: 100, 99, 99, 99, 97, 97, 97, 95, 95, 95, 95, 93, 93, 93, 93, 93, 93, 91, 91, 89, 87, 76.

06.08.20 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 98, 98, 98, 96, 94, 94, 94, 92, 92, 90, 88, 88, 86, 86, 84.

12.06.20 . Олимпиада «Курчатов» по физике — 11 призёров.

12.06.20 . Олимпиада «Курчатов» по математике — три призёра.

12.06.20 . Финальный устный тур Турнира городов — призёр.

11.06.20 . Турнир Ломоносова по физике — победитель и призёр.

09.06.20 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — три победителя и два призёра.

09.06.20 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по математике — победитель и два призёра.

06.06.20 . Олимпиада «Росатом» по физике — три победителя и 16 призёров.

06.06.20 . Олимпиада «Росатом» по математике — два призёра.

03.06.20 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — три победителя и восемь призёров.

26.05.20 . Олимпиада «Нанотехнологии — прорыв в будущее!» — победитель.

22.05.20 . Олимпиада «Физтех»: 42 диплома! Математика — 4 победителя и 8 призёров, физика — 16 победителей и 14 призёров.

16.05.20 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель.

17.04.20 . Всесибирская олимпиада по математике — три призёра.

03.04.20 . Олимпиада «Высшая проба» по физике — два призёра.

03.04.20 . Олимпиада «Высшая проба» по математике — три призёра.

02.04.20 . Всесибирская олимпиада по физике — победитель и три призёра.

24.03.20 . Олимпиада СПбГУ по математике: победитель.

22.03.20 . Московская математическая олимпиада — пять дипломов и пять ПГ.

05.03.20 . Олимпиада КФУ по физике: призёр (дистанционная подготовка).

27.02.20 . Региональный этап ВсОШ по математике — 5 призёров.

11.02.20 . Региональный этап ВсОШ по физике — 14 призёров.

11.02.20 . Региональный этап олимпиады Максвелла — победитель и четыре призёра.

09.01.20 . Осенний тур Турнира городов — три победителя и 13 премий.

30.12.19 . Олимпиада ЮМШ — два призёра.

25.12.19 . Олимпиада по математике НИУ ВШЭ для девочек — серебро.

01.10.19 . Иранская олимпиада по геометрии — призёр.

08.08.19 . Итог поступления 11-классников: десять человек — МФТИ, четверо — ВШЭ, двое — МГУ, один — SFU (Канада). Из этих 17 человек 11 имели БВИ.

18.06.19 . ЕГЭ по физике: 98, 96, 96, 96, 96, 96, 94, 94, 92, 92, 90, 88, 84.

11.06.19 . ЕГЭ по математике: 100, 100, 100, 99, 99, 98, 98, 98, 96, 96, 94, 94, 92, 92, 86.

16.05.19 . Олимпиада «Курчатов» по физике — два призёра.

25.04.19 . Олимпиада Максвелла — призёр финала.

18.04.19 . Олимпиада «Физтех»: 23 ученика получили 28 дипломов! Математика — 4 победителя и 6 призёров, физика — 8 победителей и 10 призёров.

16.04.19 . Городская устная олимпиада по геометрии — призёр.

10.04.19 . Всеросс по физике — четыре призёра!

10.04.19 . Олимпиада «Ломоносов» по математике — два призёра.

08.04.19 . Московская математическая олимпиада — два диплома и десять ПГ.

05.04.19 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по физике — победитель и три призёра.

05.04.19 . Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!» по математике — два призёра.

04.04.19 . Всесибирская олимпиада по математике — призёр.

04.04.19 . Олимпиада «Высшая проба» по физике — три призёра.

04.04.19 . Олимпиада «Высшая проба» по математике — победитель и призёр.

01.04.19 . Олимпиада «Росатом» по физике — два победителя и 12 призёров.

01.04.19 . Олимпиада «Росатом» по математике — победитель и призёр.

01.04.19 . Олимпиада «Ломоносов» по физике — четыре победителя и два призёра.

29.03.19 . Олимпиада Эйлера — призёр финала.

28.03.19 . Интернет-олимпиада школьников по физике — победитель.

28.03.19 . Всеросс по экономике — призёр финала.

25.03.19 . Финальный устный тур Турнира городов — два призёра.

26.02.19 . Всеросс по физике — четыре финалиста.

25.02.19 . Олимпиады Эйлера и Максвелла — два финалиста.

16.02.19 . Региональный этап олимпиады Максвелла — пять призёров.

Методические материалы по математике для ЕГЭ. Теория. Игорь Яковлев. ЕГЭ по математике.

Методические материалы для подготовки к ЕГЭ по математике. Теория.

Алгебра и анализ
Метод интервалов
Уравнения и неравенства с модулем
Что такое функция?
Чтение графика функции
Степени и корни
Производная
Геометрический смысл производной
Тригонометрия
Тригонометрический круг
Тригонометрические формулы
Простейшие тригонометрические уравнения. 1
Простейшие тригонометрические уравнения. 2
Тригонометрические уравнения
Планиметрия
О первичных понятиях, или Зачем аксиомы в геометрии?
Стереометрия
Пирамида
Призма
Взаимное расположение прямых в пространстве

ЕГЭ_С1_Тригонометрические уравнения. И. В. Яковлев

Название	И. В. Яковлев
Анкор	ЕГЭ С1 Тригонометрические уравнения.pdf
Дата	05.11.2017
Размер	186.29 Kb.
Формат файла
Имя файла	EGE_S1_Trigonometricheskie_uravnenia.pdf оригинальный pdf просмотр
Тип	Статья #28009
Каталог	dilechka_akhmedova

С этим файлом связано 14 файл(ов). Среди них: EGE-2014_Obschestvoznanie_Trenirov_rabota_1_v.pdf, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S1_Shestakov_S_A.pdf, Zadachnik_c1.pdf, SPISOK_LS_EKZ_2017.pdf, EGE-2014_Obschestvoznanie_Sam_poln_izd_tipov.pdf, B7-2014.pdf, egeC1.pdf, B5-2014.pdf, VOPROSY_EKZAMEN_PROFILAKTIKA_2017.pdf, test_1.xls и ещё 4 файл(а).
Показать все связанные файлы

Однородные уравнения
Рассмотрим уравнение:
sin
2
x + 2 sin x cos x − 3 cos
2
x = 0.
Степень каждого слагаемого в левой части равна двум. Точно так же, как в обычном многочлене a
2
+ 2ab − 3b
2
степень каждого слагаемого равна двум (степень одночлена — это сумма степеней входящих в него сомножителей).
Поскольку степени всех слагаемых одинаковы, такое уравнение называют однородным. Для однородных уравнений существует стандартный приём решения — деление обеих его частей на cos
2

x. Возможность этого деления, однако, должна быть обоснована: а что, если косинус равен нулю?
Следующий абзац предлагаем выучить наизусть и всегда прописывать его при решении однородных уравнений.
Предположим, что cos x = 0. Тогда в силу уравнения и sin x = 0, что противоречит основ- ному тригонометрическому тождеству. Следовательно, любое решение данного уравнения удовлетворяет условию cos x = 0, и мы можем поделить обе его части на cos
2
x.
В результате деления приходим к равносильному квадратному уравнению относительно тан- генса:
tg
2
x + 2 tg x − 3 = 0,
и дальнейший ход решения трудностей не представляет.
1. Рассмотрим уравнение
10 sin
2
x + 5 sin x cos x + cos
2
x = 3.
Если бы в правой части стоял нуль, уравнение было бы однородным. Мы поправим ситуацию изящным приёмом: заменим число 3 на выражение 3(sin
2
x + cos
2
x):
10 sin
2
x + 5 sin x cos x + cos
2
x = 3(sin
2
x + cos
2
x),
7 sin
2
x + 5 sin x cos x − 2 cos
2
x = 0,
и дело сделано.
2. Неожиданным образом сводится к однородному следующее уравнение:
3 cos x + 2 sin x = 1.
Казалось бы, где тут однородность? Переходим к половинному углу!
3 cos
2
x
2
− sin
2
x
2
+ 4 sin x
2
cos x
2
= cos
2
x
2
+ sin
2
x
2
,
4 sin
2
x
2
− 4 sin x
2
cos x
2
− 2 cos
2
x
2
= 0,
2 tg
2
x
2
− 2 tg x
2
− 1 = 0,
tg x
2
=
1 ±
√
3 2
,
откуда x = 2 arctg
1 ±
√
3 2
+ 2πn, n ∈ Z.
(3)
Мы не случайно довели это уравнение до ответа. В следующем разделе оно будет решено другим методом, и ответ окажется внешне непохожим на этот.
4

источники:

http://ctege.info/knigi-po-matematike-dlya-podgotovki-k-ege/metodicheskie-materialyi-po-matematike-dlya-ege-teoriya-igor-yakovlev-ege-po-matematike.html

http://biologo.ru/i-v-yakovlev-v2/index.html