Графический способ решения систем алгебраических уравнений с использованием программного пакета MathCAD
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Графический способ решения систем алгебраических уравнений
с использованием программного пакета Mat h CAD
Автор работы : Сенашева Юлия Викторовна, ученица 7 класса
Научный руководитель : Несивкина Галина Анатольевна
учитель математики первой квалификационной категории.
Учреждение : МБОУ «Ширинская» средняя общеобразовательная школа №18
Ширинского района Республики Хакасия.
1.1.Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью MathCAD;……4
1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k,
в программе MathCAD . 5.
1.3 Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений
с помощью программы MathCAD………………………………………………………6
Актуальность работы : При изучении следующих разделов математики: взаимное расположение графиков линейных функций , графический способ решения системы линейных уравнений столкнулась с тем, что для глубокого исследования этих тем ,отводиться мало времени. Считаю, что изучение этого материала требует более детального рассмотрения, так как он прослеживается в различных заданиях повышенной сложности, в задачах математических олимпиад , в заданиях на ОГЭ, на ЕГЭ и вступительных экзаменов в Высшие Учебные Заведения.
Мотивация : как увеличить время на изучение тем: взаимное расположение графиков линейных функций, графический способ решения системы линейных уравнений.
Проблема: необходимо найти удобный , наглядный, а самое главное быстрый способ построения графиков уравнений.
Гипотеза : объект исследования «Линейная функция» ( А.Г.Мордкович ,Алгебра 7 класс,глава2),»Системы двух линейных уравнений с двумя переменными» (глава3).
Цель работы : показать графический способ решение систем алгебраических уравнений с применением популярного инженерного программного пакета MathCAD. Исследование предоставляет базовые знания работы с программой MathCAD, как они могут быть применены для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными графическим методом.
Результаты исследования : в процессе исследования:
-из множества программ, позволяющих рисовать графики функций, выполнять построения, была выбрана MathCAD , которая является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд. Простота освоения пакета, дружественный интерфейс, относительная непритязательность к возможностям компьютера явились главными причинами того, что именно этот пакет был выбран мной для решения данной проблемы;
-изучила алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;
-изучила графический метод решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD и убедилась в том, что графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение.
С помощью программы MathCAD мною были выполнены все задания из задачника Алгебра 7 класс по этой теме, ряд заданий олимпиадного характера и задания для подготовки к ОГЭ. Я смогла за короткий срок выполнить большой объем учебного материала, причем в очень наглядной и доступной форме.В процессе работы не тратила время на составление таблиц и построение графиков в тетради .Получился большой запас времени на отработку заданий повышенной сложности.
Перспективы: использовать программный продукт MathCAD., для дальнейшего изучения алгебры 7 класса (глава 8,параграф38.) ,решения задач повышенной сложности, решения заданий из ОГЭ.
В данной работе были рассмотрены примеры , каким образом решаются на MathCAD разнообразные математические задачи (решение систем линейных уравнений). Данная работа поможет ученикам быстро освоить основные навыки работы с пакетом MathCAD, а примеры и способы решения помогут их закрепить для решения новых задач.
1.1 Алгоритм построения графика линейного уравнения с помощью программы MathCAD;
№ 7.17. На координатной плоскости хОу постройте график уравнения:
1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения
2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ .
Появиться пустой пустой график
3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = -х+4.
4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная кривая.
№ 8.28. Постройте график линейной функции у = х+4 и у=2х
а) координаты точек пресечения графика с осями координат;
б) значение у, соответствующее значению х=—2;-1;1.
в ) значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.
1.Задать функцию, приведенную выше. Вставить оператор абсолютного значения
2.На вкладке Графики в группе Кривые щелкнуть Вставить график , а затем выбрать График ХУ
Появиться пустой график.
3.В местозаполнителе оси У ,в левой или правой части ввести функцию у = х+4.
4.В местозаполнителе оси Х внизу графика ввести х. Нажать клавишу «Ввод», появиться линейная
5.Установить курсор справа от функции. Щелкнуть Добавить кривую .
Появиться новый местозапонитель оси У под текущим местозаполнителем
.
А ) Найти координаты точек пресечения графика с осями координат.
На графике точки пересечения: х=0,у=- 4
Б) Найти значение у, соответствующее значению х = —2;-1;1.
В) Найти значение х ,которому соответствует значение у, равное-2;2;4.
Внесем данные и получим следующее распределение по столбцам .
1.2. Исследование расположения прямой, в зависимости от изменения значения k, в программе MathCAD;
у=3х+4, у=3х, у = -3х,у=2х, у=3х-4,
1.3.Алгоритм графического метода решения систем линейных уравнений с помощью программы MathCAD;
№ 11.10 .Решить графически систему уравнений (задачник Алгебра7 класс, часть 2)
Ответ: система имеет одно решение (2;2)
Пример1.Решить систему уравнений
Ответ: система не имеет решений
Решить систему уравнений
Ответ: система имеет бесконечно много решений.
Вывод : графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение. С его помощью можно сделать следующие важные выводы:
— графиком обоих уравнений системы линейных уравнений являются прямые;
-эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке,- это значит, что система имеет единственное решение;
-эти прямые могут быть параллельны — это значит, что система не имеет решений( система несовместна);
-эти прямые могут совпасть — это значит, что система имеет бесконечно много решений (система не определена).
Решение нелинейных уравнений и систем уравнений в пакете MathCAD
Решение нелинейных уравнений
Вычисление корней численными методами включает два основных этапа:
· уточнение корней до заданной точности.
Рассмотрим эти два этапа подробно.
Отделение корней нелинейного уравнения
Учитывая легкость построения графиков функций в MathCAD , в дальнейшем будет использоваться графический метод отделения корней.
Пример. Дано алгебраическое уравнение
.
Определить интервалы локализации корней этого уравнения.
Пример. Дано алгебраическое уравнение
.
Определить интервалы локализации корней этого уравнения.
На рисунке приведен график функции , построенный в MathCAD . Видно, что в качестве интервала изоляции можно принять интервал . Однако уравнение имеет три корня. Следовательно, можно сделать вывод о наличии еще двух комплексных корней. ¨
Уточнение корней нелинейного уравнения
Для уточнения корня используются специальные вычислительные методы такие, как метод деления отрезка пополам, метод хорд, метод касательных (метод Ньютона) и многие другие.
Функция root . В MathCAD для уточнения корней любого нелинейного уравнения (не обязательно только алгебраического) введена функция root , которая может иметь два или четыре аргумента, т.е. или , где – имя функции или арифметическое выражение, соответствующее решаемому нелинейному уравнению, – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение, – границы интервала локализации корня.
Пример. Используя функцию , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных.
Заметим, что для вычисления всех трех корней использовался прием понижения порядка алгебраического уравнения, рассмотренный в п. 8.1.1. ¨
Функция root с двумя аргументами требует задания (до обращения к функции) переменной начального значения корня из интервала локализации.
Пример 8.1.5. Используя функцию root , вычислить изменения корня нелинейного уравнения при изменении коэффициента а от 1 до 10 с шагом 1.
Функция polyroots . Для вычисления всех корней алгебраического уравнения порядка (не выше 5) рекомендуется использовать функцию polyroots . Обращение к этой функции имеет вид polyroots (v) , где v – вектор, состоящий из n +1 проекций, равных коэффициентам алгебраического уравнения, т.е. . Эта функция не требует проведения процедуры локализации корней.
Пример. Используя функцию polyroots , найти все три корня уравнения , включая и два комплексных
Блок Given . При уточнении корня нелинейного уравнения можно использовать специальный вычислительный блок Given , имеющий следующую структуру:
Решаемое уравнение задается в виде равенства, в котором используется «жирный» знак равно, вводимый с палитры Логический .
Ограничения содержат равенства или неравенства, которым должен удовлетворять искомый корень.
Функция Find уточняет корень уравнения, вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – переменная, по которой уточняется корень. Если корня уравнения на заданном интервале не существует, то следует вызвать функцию Minerr ( x ), которая возвращает приближенное значение корня.
Для выбора алгоритма уточнения корня необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши на имени функции Find ( x ) и в появившемся контекстном меню (см. рисунок) выбрать подходящий алгоритм.
Аналогично можно задать алгоритм решения и для функции Minerr ( x ).
Использование численных методов в функциях Find ( x ), Minerr ( x ) требует перед блоком Given задать начальные значения переменным, по которым осуществляется поиск корней уравнения.
Пример. Используя блок Given , вычислите корень уравнения в интервале отделения .
Решение систем уравнений
В зависимости от того, какие функции входят в систему уравнений, можно выделить два класса систем:
· алгебраические системы уравнений;
· трансцендентные системы уравнений.
Среди алгебраических систем уравнений особое место занимают системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
В матричном виде систему можно записать как
,
где – матрица размерности , – вектор с проекциями.
Для вычисления решения СЛАУ следует использовать функцию lsolve , обращение к которой имеет вид: lsolve (А, b ), где А – матрица системы, – вектор правой части.
Решение систем нелинейных уравнений
MathCAD дает возможность находить решение системы уравнений численными методами, при этом максимальное число уравнений в MathCAD 2001 i доведено до 200.
Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующие этапы.
Задание начального приближения для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. При небольшом числе неизвестных этот этап можно выполнить графически, как показано в примере.
Пример. Дана система уравнений:
Определить начальные приближения для решений этой системы.
Видно, что система имеет два решения: для первого решения в качестве начального приближения может быть принята точка (-2, 2), а для второго решения – точка (5, 20). ¨
Вычисление решения системы уравнений с заданной точностью . Для этого используется уже известный вычислительный блок Given .
Функция Find вычисляет решение системы уравнений с заданной точностью, и вызов этой функции имеет вид Find ( x ), где x – список переменных, по которым ищется решение. Начальные значения этим переменным задаются в блоке . Число аргументов функции должно быть равно числу неизвестных.
Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:
· ограничения со знаком ¹ ;
· дискретная переменная или выражения, содержащие дискретную переменную в любой форме;
· блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find (или Minerr ).
Пример. Используя блок Given , вычислить все решения системы предыдущего примера. Выполнить проверку найденных решений.
Пример. Используя функцию , вычислите решение системы уравнений
Как построить график в «Маткаде»? Советы и рекомендации
Mathcad является универсальным инструментом у тех людей, которые плотно связали свою жизнь с вычислениями. «Маткад» способен производить сложные математические расчеты и мгновенно выдавать ответ на экране. Студенты или те, кто в первый раз столкнулся с этой программой, задают множество вопросов, на которые не могут дать ответ самостоятельно. Один из них, затрудняющий дальнейшее обучение: как построить график в «Маткаде»? На самом деле, это не так сложно, как может показаться. Постараемся разобраться также в том, как в «Маткаде» построить график функции, как строить несколько функций, узнаем о некоторых элементах отображение графика на экране.
Быстрый график в Mathcad
Вам будет интересно: Пуристы — это. Значение слова
Возьмем одну функцию и будем проводить все ниже перечисленные операции с ней. Допустим, имеем следующее техническое задание: построить график функции f(x) = (e^x/(2x-1)^2)-10 на интервале [-10;10], исследовать поведение функции.
Итак, перед тем как построить график в «Маткаде», нужно переписать нашу функцию в математическую среду. После этого просто прикинем возможный график без масштабирования и всего прочего.
Построение дополнительных графиков
Чтобы понять, как построить несколько графиков в «Маткаде», добавим к нашему техническому заданию небольшое дополнение: построить график производной от заданной функции. Единственное, что нам нужно — в поле графика добавить производную по переменной «x».
График, построенный по набору значений
Перед тем как построить график в «Маткаде» по точкам, необходимо создать диапазон значений. Сразу отметим, что график, построенный по точкам, иногда бывает неточным, так как может найтись такая точка, которая не попадет в диапазон значений, но в оригинальном графике в ней происходит разрыв. В этом примере специально будет показан этот случай.
Нам необходимо задать диапазон значений. Для этого присвоим значения переменной (x:=-10,-8.5.. 10). Когда пользователь будет задавать диапазон, ему следует знать, что двоеточие ставится через символ «;». Теперь для визуального восприятия отобразим все значения «х» и «f(x)» в программе. Для этого необходимо ввести «х=» и, соответственно, «f(x)=». Теперь заново построим график функции, только в этот раз по точкам.
Мы видим, что на графике, построенном по точкам, не отображается та точка, которая осуществляет разрыв на исходном графике. То есть можно сделать вывод о том, что построение по точкам может не учитывать значения функции, которые создают разрыв.
Настройка отображения графика
В этой статье мы уже затрагивали настройки графика. Окно с настройками вызывается двойным нажатием левой кнопкой мыши по графику. В окне форматирования графика есть пять разделов. «Оси X, Y» — содержит информацию про координатные оси, а также отображения вспомогательных элементов. Второй раздел «Трассировка» связан с кривыми линиями построения графика, здесь можно корректировать их толщину, цвет и другое. «Формат числа» отвечает за отображение и расчет единиц. В четвертом разделе можно добавлять подписи. Пятый раздел » По умолчанию» выводит все настройки в стандартную форму.
http://pers.narod.ru/study/mathcad/07.html
http://1ku.ru/obrazovanie/16917-kak-postroit-grafik-v-matkade-sovety-i-rekomendacii/