Матричная форма системы нормальных уравнений
В матричной форме система нормальных уравнений запишется следующим образом [c.248]
Такая система имеет обычно единственное решение. В исключительных случаях, когда столбцы системы линейных уравнений линейно зависимы, она имеет бесконечно много решений или не имеет решения вовсе. Однако данные реальных статистических наблюдений к таким исключительным случаям практически никогда не приводят. Система (6.11) называется системой нормальных уравнений. Ее решение в явном виде наиболее наглядно представимо в векторно-матричной форме. [c.145]
Минимизируемая функция G является квадратичной относительно неизвестных величин at. Необходимым условием ее минимума является равенство нулю всех ее частных производных по аг Частные производные квадратичной функции являются линейными функциями, и, приравнивая их всех к нулю, мы получим систему из (т+1) линейных уравнений с (/я+1) неизвестными. Такая система имеет обычно единственное решение (за исключением особого еду чая, кргда столбцы ее линейно зависимы и решения,»нет или их бесконечно много однако данные реальных статистических наблюдений к такому особому случаю, вообще говоря, никогда не приводят). Данная система называется системой нормальных уравнений. Ее решение в явном виде удобнее всего выписать в векторно-мат-ричной форме, иначе оно становится слишком громоздким. Вектор-но-матричная запись и вывод решения системы нормальных уравнений приведены в Приложении при начальном ознакомлении с проблемой оно может быть опущено. [c.309]
Матричная форма системы уравнений
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Это один из основных разделов в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.
Основные понятия
Общий вид и свойства системы уравнений
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х1, х2, …, xnимеет вид
(16.1) |
Здесь aijи bj— произвольные числа (i = 1, 2, . m; j= 1, 2, . n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (16.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного xi/
Решением системы уравнений (16.1) называется набор п чисел , , …, ,приподстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.
Система уравнений (16.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.
Системы уравнений вида (16.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:
1) вычеркивание уравнения 0х1+ 0x2 + … + 0xn = 0 — нулевой строки;
2) перестановка уравнений или слагаемых aijxj в уравнениях;
3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;
4) удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.
Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбинацию других уравнений, то из него можно сформировать нулевую строку.
Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (16.1) в матрицу
(16.2) |
Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных X и матрицу свободных членов В:
(16.3) |
X и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и т строк и одного столбца.
Тогда систему линейных уравнений (16.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х п а размер X — п х 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:
АХ = В | (16.4) |
Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера mxl, состоящей из левых частей уравнений системы (16.1). Все уравнения этой системы вытекают из уравнения (16.4) в силу определения 2 равенства двух матриц.
Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера т х (n + 1):
(16.5) |
Матрица АВ называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.
Теорема 16.1(теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.
Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды
Определение СЛАУ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
$$\left\<\begin
Упорядоченный набор значений $$\left\
Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:
$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin
Виды систем
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система $\left\<\begin
Система $\left\<\begin
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Система $\left\<\begin
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
Задание. Систему $\left\<\begin
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:
$$A=\left(\begin
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$\left(\begin
Расширенная матрица системы
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin
Решение. Матрица системы $A=\left(\begin
http://poisk-ru.ru/s34913t8.html
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_1.php