Матричная прогонка для уравнения пуассона

Лаборторная работа №1 Решение уравнения Пуассона методом прогонки (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5

Лаборторная работа №1

Решение уравнения Пуассона методом прогонки

Цель работы: Создание подпрограммы для решения уравнения Пуассона методом прогонки в одномерном случае и определение с ее помощью потенциала и напряженности электрического поля для заданного распределения заряда.

1. Краткое описание метода прогонки для решения одномерного уравнения Пуассона.

Рассмотрим одномерное уравнение Пуассона

, (1)

где плотность заряда, — потенциал электрического поля. Уравнение Пуассона представим в виде

, (2)

где .

Будем численно решать краевую задачу для уравнения (2) на отрезке , разбивая его на ячейки с равномерным шагом D (см. рис. 1). Число узлов сетки J=L / D .

Рис. 1. Пространственная сетка для решения уравнения Пуассона.

В конечно-разностном представлении уравнение (2) имеет вид:

, (3)

где , — значения плотности заряда в узлах пространственной сетки, — искомые значения потенциала. Уравнение (3) относится ко всем внутренним точкам рассматриваемого отрезка , а в точках , накладываются требуемые граничные условия.

При моделировании электростатических колебаний в бесстолкновительной плазме используют либо периодические, либо непериодические граничные условия. С помощью периодических граничных условий обычно моделируют неограниченные плазменные системы. Тип граничных условий определяет метод решения уравнения (3).

В общем виде непериодические граничные условия можно представить в следующей форме

, , (4)

где — заданные числа. Например, если , то заданы значения потенциала в крайних точках. Если , то заданы значения электрического поля .

Рассмотрим метод прогонки решения краевой задачи для решения уравнения Пуассона (3) с граничными условиями (4). Для представления (4) в виде, аналогичном (3), аппроксимируем производные от потенциала, входящие в эти условия, следующим образом:

, .

Тогда условия (4) примут вид

, (5а)

, (5b)

где , , ,

, .

Представим теперь уравнения (3) в последовательности узловых точек и уравнения (5a), (5b) в виде системы разностных уравнений

Матрица коэффициентов этой системы содержит ненулевые элементы только на трех центральных диагоналях. В силу того, что большинство элементов такой трехдиагональной матрицы нулевые, решение (6) может быть найдено с помощью некоторой рекуррентной процедуры, называемой методом прогонки.

Будем искать решение в рекуррентной форме так, чтобы, зная значение в точке можно было получить значение в точке . Для этого найдем вспомогательные неизвестные , такие, что