Матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель леонтьева

Модель международной торговли.

Модель международной торговли (кратко: модель обмена) служит для ответа на следующий вопрос: какими должны быть соот­ношения между государственными бюджетами стран, торгующих между собой, чтобы торговля была взаимовыгодной, т. е. не было дефицита торгового баланса для каждой из стран-участниц.

Проблема достаточно важна, так как дефицит в торговле между странами порождает такие явления, как лицензии, квоты, таможен­ные пошлины и даже торговые войны.

Для простоты изложения рассмотрим три страны-участницы торговли с государственными бюджетами Х₁, Х₂, Х₃, которые условно назовем США, Германия и Израиль. Будем считать, что весь госбюджет каждой страны тратится на закупки товаров либо внутри стра­ны, либо на импорт из других стран. Пусть, скажем, США тратят половину своего бюджета на закупку товаров внутри страны, 1/4 бюджета – на товары из Германии, оставшуюся 1/4 бюджета – на товары из Израиля. Германия тратит поровну свой бюджет на закупку товаров в США, внутри страны и у Израиля. Израиль, в свою очередь, тратит 1/2 бюджета на закупку товаров у США, 1/2 бюджета на закупки в Германии и ничего не закупает внутри страны.

Введем структурную матрицу торговли:

, (1.2.4)

где коэффициенты матрицы а_ij – часть госбюджета, которую j-я страна тратит на закупки товаров i-й страны. Заметим, что сумма элементов матрицы А в каждом столбце равна единице.

Для того чтобы торговля была сбалансированной, необходимо потребовать бездефицитность торговли для каждой страны:

Справедливо следующее утверждение: условием бездефицитной торговли являются равенства P_i =Х _i, i = 1, 2, 3.

В матричной форме это утверждение выглядит следующим образом

АХ=Х или (А – Е)Х=0, (1.2.5)

где .

Решая систему (1.2.5) с матрицей (1.2.4) методом Гаусса, получим бесконечное множество решений:

где Х₃ принимает произвольное значение.

Это означает, что для сбалансированности торговли этих трех стран госбюджет США должен быть в 2 раза, а госбюджет Германии в полтора раза больше госбюджета Израиля.

Практический блок

Пример

1) Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

2) Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и -ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

3) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

4) Рассчитать матрицу полных затрат.

Исходные данные:

, , .

0) Проверим матрицу А на продуктивность:

Матрица А является продуктивной матрицей.

1) (I-A) =

J – единичная матрица;

A – заданная матрица прямых затрат;

– вектор (план) выпуска продукции, подлежащей определению;

– вектор конечного спроса.

Произведем расчеты, используя метод Гаусса.

; ;

;

;

;

Решая систему, получим:

;

;

3) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объем выпуска своей продукции, более чем на 2 единицы.

Подставляя значение в исходную систему уравнений, получим:

;

;

;

Решаем систему уравнений методом Гаусса:

4) Рассчитаем матрицу полных затрат.

Произведем обращение матрицы:

.

Тесты

1. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:

a) (E – A)*X = C; б) A*X = X; в) A*X = E.

2. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:

a) (E – A)*X = Y; б) A*X = B; в) |A — lE| = 0.

3. В основе математического обеспечения статической модели МОБ лежит:

а) математическая статистика;

б) линейная алгебра;

в) теория графов.

4. Коэффициент прямых затрат а_ij характеризует:

а) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество валовой продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

в) количество конечной продукции i-й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

5. Матрица прямых затрат А характеризует в экономике:

а) динамику финансовых процессов;

б) динамику технологических процессов;

в) воспроизводственные процессы.

6. Коэффициент полных затрат b_ij показывает:

а) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы конечной продукции j- й отрасли;

б) количество конечной продукции i -й отрасли, которое необходимо для производства единицы валовой продукции j- й отрасли.

в) объём валовой продукции i -й отрасли, необходимый для производства единицы валовой продукции j- й отрасли;

7. Коэффициенты прямых материальных затрат рассчитываются:

a) ; б) ; в) .

8. Экономико–математическая модель Леонтьева в матричной форме имеет вид:

а) Х = ВХ + Y; б) Х = (Е-А) -1 Y; в) Х = АХ + Y.

9. Межотраслевой баланс отражает:

а) производство и распределение валового национального продукта по отраслям;

б) межотраслевое распределение национальной валюты;

в) использование материальных и трудовых ресурсов.

10. Первый квадрант МОБ отражает:

а) отраслевую материальную структуру национального дохода;

б) межотраслевые потоки валовой продукции;

в) конечное распределение и использование национального дохода.

Ответы к тестам

Контрольные вопросы

1.Основные положения межотраслевого баланса.

2. Основные элементы межотраслевого баланса.

3. Балансовые соотношения межотраслевого баланса.

4. Матрица прямых затрат межотраслевого баланса.

5. Модель межотраслевого баланса Леонтьева: постановка.

6. Матрица полных затрат межотраслевого баланса.

7. Особенности модели Леонтьева многоотраслевой экономики.

8. Записать матрицы прямых и полных затрат в модели Леонтьева.

9. При каких условиях модель Леонтьева продуктивна?

10. Что такое векторы конечного и валового продукта в модели Леонтьева?

11. Опишите методику решения прямой и обратной задачи в модели Леонтьева.

12. Какой смысл имеют коэффициенты технологической матрицы А модели Леонтьева?

13. Условия продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

14. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса.

15. Модель равновесных цен.

16. Модель международной торговли.

Задания и задачи

Задача 1. Плановый межотраслевой баланс.

Общественное производство состоит из восьми отраслей. Задана матрица коэффициентов прямых затрат:

0,01 0 0,12 0,03 0,07 0,14 0,12 0,01

0,22 0,08 0,06 0,13 0,14 0 0,18 0,03

0,03 0,09 0,14 0 0,02 0,05 0 0,04

0 0,08 0,07 0,05 0,03 0,09 0,08 0,04

0,08 0,04 0 0,14 0,01 0,03 0,08 0,09

0,03 0 0,02 0,13 0,12 0,4 0,03 0

0,19 0,3 0,15 0,09 0 0,09 0,14 0,06

0 0,04 0,07 0,08 0,17 0,04 0,18 0

Задание 1. По заданной конечной продукции рассчитать валовую.

Задание 2. В таблице заданы валовые продукты отраслей.

Рассчитать конечные продукты отраслей. Для этого в системе уравнений все величины X₁ . X₈ необходимо заменить на значения из приведенной выше таблицы, а численные значения конечной продукции – на символы y₁, . , y₈. Решение полученной системы уравнений дает значения конечных продуктов отраслей.

Задача 2. Модель межотраслевого баланса

а) Найти объемы выпуска продукции по каждой из отраслей, предварительно обосновав сущность нестандартного решения.

б) Рассчитать новый план выпуска продукции, при условии, что конечный спрос на продукцию U-ой и V-ой отраслей возрос соответственно на 85 и 97 единиц. Вычислить абсолютные и относительные приросты объема, выполненные по каждой из отраслей.

в) Скорректировать новый план, с учетом того, что отрасль не может увеличить объемы выпуска своей продукции более чем на 2 единицы.

г) Рассчитать матрицу полных затрат.

A =

0.02 0.01 0.01 0.05 0.06

0.03 0.05 0.02 0.01 0.01

0.09 0.06 0.04 0.08 0.05

0.06 0.06 0.05 0.04 0.05

0.06 0.04 0.08 0.03 0.05

C =

, V=2, .

Задача 3.Оптимизационная модель межотраслевого баланса.

Зная запасы дополнительных ресурсов (r), нормы их затрат (D) на производство продукции каждой отрасли и цены реализации конечной продукции (p), рассчитать объемы производства продукции, обеспечивающие максимальный фонд конечного спроса. Вычислить конечный спрос и провести анализ полученного решения:

1) относительно оптимальности;

2) статуса и ценности ресурсов;

Рассчитать объем производства.

D =

0.3 0.6 0.5

0.6 0.6 0.9

0.5 0.8 0.1

0.9 0.4 0.8

1.1 0.2 0.7

= 564

р= (121 164 951 254 168).

Требуется максимизировать цену конечного спроса.

Задача 4. Дан вектор

Y= конечного продукта и матрица,

A= межотраслевого баланса.

Найти вектор валового выпуска Х.

Задача 5. Разработка межпродуктового баланса производства и распределения продукции предприятия

В трех цехах приборостроительного завода изготовляются датчики, приборы и их узлы, основная часть которых идет на внутреннее потребление, остальная является конечным продуктом и поставляется внешним приборостроительным и машиностроительным организациям, а также в ремонтные мастерские.

Требуется составить межпродуктовый баланс производства и распределения продукции, если известны коэффициенты прямых затрат и конечный продукт.

Задача 6. На основании данных, приведенных в нижеследующей таблице, восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

Задача 7. Рассчитать коэффициенты полных материальных затрат

А =

Задача 8. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых материальных затрат

А =

Задача 9. Убедиться, что модель Леонтьева продуктивна. Для нового вектора валового выпуска X = найти вектор конечного продукта. Найти вектор валового выпуска для нового вектора конечного продукта

Значения

Y = .

1.2.5. Самостоятельная работа студентов

Вопросы с ответами по дисциплине «математические методы в экономике»

1. Что является объектом и языком исследования в экономико-математическом моделировании:

A) различные типы производственного оборудования и методы его конструирования;

B) экономические процессы и специальные математические методы;

C) компьютерные программы и языки программирования.

2. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:

3. Какое допущение постулируется в модели Леонтьева многоотраслевой экономики:

A) выпуклость множества допустимых решений;

B) нелинейность существующих технологий;

C) линейность существующих технологий.

4. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:

5. Множество n – мерного арифметического точечного пространства называется выпуклым, если:

A) вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит и весь отрезок АВ;

B) счетно и замкнуто;

C) равно объединению нескольких конечных множеств.

6. Какая задача является задачей линейного программирования:

A) управления запасами;

B) составление диеты;

C) формирование календарного плана реализации проекта.

7. Задача линейного программирования называется канонической, если система ограничений включает в себя:

A) только неравенства;

B) равенства и неравенства;

C) только равенства.

8. Тривиальными ограничениями задачи линейного программирования называются условия:

A) ограниченности и монотонности целевой функции;

B) не отрицательности всех переменных;

C) не пустоты допустимого множества.

9. Если в задаче линейного программирования допустимое множество не пусто и целевая функция ограничена, то:

A) допустимое множество не ограничено;

B) оптимальное решение не существует;

C) существует хотя бы одно оптимальное решение.

10. Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования:

A) в стандартном виде;

B) в каноническом виде;

C) в тривиальном виде.

11. Неизвестные в допустимом виде системы ограничений задачи линейного программирования, которые выражены через остальные неизвестные, называются:

12. Правильным отсечением в задаче целочисленного программирования называется дополнительное ограничение, обладающее свойством:

A) оно должно быть линейным;

B) оно должно отсекать хотя бы одно целочисленное решение;

C) оно не должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план.

13. Какой из методов целочисленного программирования является комбинированным:

C) метод ветвей и границ.

14. Какую особенность имеет динамическое программирование как многошаговый метод оптимизации управления:

A) отсутствие последействия;

B) наличие обратной связи;

C) управление зависит от бесконечного числа переменных.

15. Вычислительная схема метода динамического программирования:

A) зависит от способов задания функций;

B) зависит от способов задания ограничений;

C) связана с принципом оптимальности Беллмана.

16. Какую задачу можно решить методом динамического программирования:

A) транспортную задачу;

B) задачу о замене оборудования;

C) принятия решения в конфликтной ситуации.

17. Метод скорейшего спуска является:

A) методом множителей Лагранжа;

B) градиентным методом;

C) методом кусочно-линейной аппроксимации.

18. Множители Лагранжа в экономическом смысле характеризуют:

A) доход, соответствующий плану;

B) издержки ресурсов;

C) цену (оценку) ресурсов.

19. Функция нескольких переменных называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде:

A) суммы функций одной переменной;

B) произведения функций нескольких переменных;

C) суммы выпуклых функций.

20. Платежной матрицей называется матрица, элементами которой являются:

A) годовые прибыли отраслевых предприятий;

B) выигрыши, соответствующие стратегиям игроков;

C) налоговые платежи предприятий.

21. Верхней ценой парной игры является:

A) гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В;

B) гарантированный выигрыш игрока В;

C) гарантированный проигрыш игрока В.

22. Чистой ценой игры называется:

A) верхняя цена игры;

B) нижняя цена игры;

C) общее значение верхней и нижней ценой игры.

23. Возможно ли привести матричную игру к задаче линейного программирования:

C) возможно, если платежная матрица единичная.

24. Кооперативные игры – это игры:

A) с нулевой суммой;

B) со смешанными стратегиями;

C) допускающие договоренности игроков.

25. Какие математические методы можно применять для принятия хозяйственных решений в условиях неопределенности:

A) линейного программирования;

B) массового обслуживания;

C) динамического программирования.

26. Главными элементами сетевой модели являются:

A) игровые ситуации и стратегии;

B) состояния и допустимые управления;

C) события и работы.

27. В сетевой модели не должно быть:

A) контуров и петель;

B) собственных векторов;

C) седловых точек.

28. Критическим путем в сетевом графике называется:

A) самый короткий путь;

B) самый длинный путь;

C) замкнутый путь.

29. Математической основой методов сетевого планирования является:

A) аналитическая геометрия;

B) теория электрических цепей;

C) теория графов.

30. Какая из данных экономико-математичеких моделей является однофакторной:

A) модель материализованного технического прогресса;

Вопросы по ЭММ

КОНТРОЛЬНО-ТЕСТИРУЮЩИЕ ВОПРОСЫ
по дисциплине «Математические методы в экономике»

1. Что является объектом и языком исследования в экономико-математическом моделировании:
2. различные типы производственного оборудования и методы его конструирования;
3. экономические процессы и специальные математические методы;
4. компьютерные программы и языки программирования.

1. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:
2. (E – A)*X = C;
3. A*X = X;
4. A*X = E.

1. Какое допущение постулируется в модели Леонтьева многоотраслевой экономики:
   1. выпуклость множества допустимых решений;
   2. нелинейность существующих технологий;
   3. линейность существующих технологий.

1. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:
   1. (E – A)*X = Y;
   2. A*X = B;
   3. |A – lE| = 0.

1. Множество n – мерного арифметического точечного пространства называется выпуклым, если:
   1. вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит и весь отрезок АВ;
   2. счетно и замкнуто;
   3. равно объединению нескольких конечных множеств.

1. Какая задача является задачей линейного программирования:
   1. управления запасами;
   2. составление диеты;
   3. формирование календарного плана реализации проекта.

1. Задача линейного программирования называется канонической, если система ограничений включает в себя:
   1. только неравенства;
   2. равенства и неравенства;
   3. только равенства.

1. Тривиальными ограничениями задачи линейного программирования называются условия:
   1. ограниченности и монотонности целевой функции;
   2. не отрицательности всех переменных;
   3. не пустоты допустимого множества.

1. Если в задаче линейного программирования допустимое множество не пусто и целевая функция ограничена, то:
   1. допустимое множество не ограничено;
   2. оптимальное решение не существует;
   3. существует хотя бы одно оптимальное решение.

1. Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования:
   1. в стандартном виде;
   2. в каноническом виде;
   3. в тривиальном виде.

1. Неизвестные в допустимом виде системы ограничений задачи линейного программирования, которые выражены через остальные неизвестные, называются:
   1. свободными;
   2. базисными;
   3. небазисными.

1. Правильным отсечением в задаче целочисленного программирования называется дополнительное ограничение, обладающее свойством:
   1. оно должно быть линейным;
   2. оно должно отсекать хотя бы одно целочисленное решение;
   3. оно не должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план.

1. Какой из методов целочисленного программирования является комбинированным:
   1. симплекс-метод;
   2. метод Гомори;
   3. метод ветвей и границ.

1. Какую особенность имеет динамическое программирование как многошаговый метод оптимизации управления:
   1. отсутствие последействия;
   2. наличие обратной связи;
   3. управление зависит от бесконечного числа переменных.

1. Вычислительная схема метода динамического программирования:
   1. зависит от способов задания функций;
   2. зависит от способов задания ограничений;
   3. связана с принципом оптимальности Беллмана.

1. Какую задачу можно решить методом динамического программирования:
   1. транспортную задачу;
   2. задачу о замене оборудования;
   3. принятия решения в конфликтной ситуации.

1. Метод скорейшего спуска является:
   1. методом множителей Лагранжа;
   2. градиентным методом;
   3. методом кусочно-линейной аппроксимации.

1. Множители Лагранжа в экономическом смысле характеризуют:
   1. доход, соответствующий плану;
   2. издержки ресурсов;
   3. цену (оценку) ресурсов.

1. Функция нескольких переменных называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде:
   1. суммы функций одной переменной;
   2. произведения функций нескольких переменных;
   3. суммы выпуклых функций.

1. Платежной матрицей называется матрица, элементами которой являются:
   1. годовые прибыли отраслевых предприятий;
   2. выигрыши, соответствующие стратегиям игроков;
   3. налоговые платежи предприятий.

1. Верхней ценой парной игры является:
   1. гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В;
   2. гарантированный выигрыш игрока В;
   3. гарантированный проигрыш игрока В.

1. Чистой ценой игры называется:
   1. верхняя цена игры;
   2. нижняя цена игры;
   3. общее значение верхней и нижней ценой игры.

1. Возможно ли привести матричную игру к задаче линейного программирования:
   1. возможно;
   2. невозможно;
   3. возможно, если платежная матрица единичная.

1. Кооперативные игры – это игры:
   1. с нулевой суммой;
   2. со смешанными стратегиями;
   3. допускающие договоренности игроков.

1. Какие математические методы можно применять для принятия хозяйственных решений в условиях неопределенности:
   1. линейного программирования;
   2. массового обслуживания;
   3. динамического программирования.

1. Главными элементами сетевой модели являются:
   1. игровые ситуации и стратегии;
   2. состояния и допустимые управления;
   3. события и работы.

1. В сетевой модели не должно быть:
   1. контуров и петель;
   2. собственных векторов;
   3. седловых точек.

1. Критическим путем в сетевом графике называется:
   1. самый короткий путь;
   2. самый длинный путь;
   3. замкнутый путь.

1. Математической основой методов сетевого планирования является:
   1. аналитическая геометрия;
   2. теория электрических цепей;
   3. теория графов.

1. Какая из данных экономико-математичеких моделей является однофакторной:
   1. модель материализованного технического прогресса;
   2. модель расширенного воспроизводства;
   3. модель естественного роста.