Матричный способ решения невырожденной системы линейных уравнений

Решение произвольных систем линейных уравнений

Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. Матрицы. Сложение матриц; умножение матрицы на число; произведение матриц. Обратная матрица.

2. Определители n-го порядка и их свойства. Методы вычисления определителей.

3. Обратная матрица.

5. Решение невырожденных систем линейных уравнений.

6. Теорема Кронекера – Капелли. Решение произвольных линейных систем.

Решение невырожденных систем линейных уравнений

Пусть задана система линейных уравнений

(1.1)

где – заданные числа, – неизвестные, .

Решением системы (1.1) называется такое множество значений неиз­вестных , при которых каждое уравнение обра­щается в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая решений – несовместной.

и

называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.

Рассмотрим случай, когда число уравнений m системы совпадает с числом неизвестных n (m = n). Тогда матрица системы А является квадратной матрицей порядка n.

Система n уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель матрицы системы А отличен от нуля ( ).

Невырожденная система имеет единственное решение. Существует два метода решения таких систем.

1. Правило Крамера. Если определитель Δ отличен от нуля, то решение системы находится по формулам

, (1.2)

где – определитель, полученный из определителя Δ заменой j–го столбца столбцом свободных членов.

2. Матричный метод. Введем матрицу столбец свободных членов системы и матрицу-столбец неизвестных .

Тогда систему n уравнений с n неизвестными можно записать в виде

. (1.3)

Эта форма записи системы называется матричной.

Матрицей , обратной к матрице А размера , называется такая матрица, для которой справедливо равенство

,

где Е – единичная матрица n-го порядка.

Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной.

Для того чтобы данная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть А – невырожденная матрица. Тогда решение системы можно найти по формуле

. (1.4)

Пример 1.1. Проверить невырожденность системы линейных уравне­ний и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

Решение. Запишем матрицу системы . Проверим невы­рожденность системы. Для этого вычисляем определитель Δ матрицы А:

.

Так как , то система невырождена. Решаем ее

а) по формулам Крамера.

.

По формулам (1.2) находим решение системы:

Делаем проверку: .

б) матричным методом.

Находим обратную матрицу

,

где – союзная матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

, ,

где – определитель, полученный из определителя Δ вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Имеем:

,

,

.

.

По формуле (1.4) находим решение:

.

Ответ: .

Решение произвольных систем линейных уравнений

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений (1.1).

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

а) перестановка местами любых двух строк;

б) умножение строки на некоторое число ;

в) прибавление к одной строке матрицы любой другой строки, умноженной на некоторое число;

г) удаление нулевой строки.

Решение системы методом Жордана–Гаусса основано на следующем утверждении: элементарные преобразования расширенной матрицы системы не изменяют множества решений системы.

Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести расширенную матрицу к наиболее простому виду.

С помощью операции в) можно исключить какое-либо неизвестное из всех уравнений, кроме одного.

Переменная называется базисной в i–м уравнении, если при .

Матрица системы с помощью элементарных преобразований приводит­ся к так называемому базисному виду, если в каждом уравнении системы есть базисная переменная.

Если матрица системы приведена к базисному виду, то переменные, не являющиеся базисными, называются свободными.

Решение системы, полученное после приравнивания нулю всех свободных переменных, называется базисным.

Опишем одну итерацию метода Жордана–Гаусса.

В первой строке расширенной матрицы находим ненулевой элемент . Если таковых нет, то в случае вычеркиваем данную нулевую строку; если , то система несовместна.

Элемент называют ведущим элементом.

Если , то делим первую строку расширенной матрицы на этот элемент . Ко всем строкам, кроме первой, прибавляем первую строку, умноженную на ( ), где i – номер изменяемой строки.

После этой операции коэффициент при в первом уравнении будет равен единице, а во всех остальных уравнениях – нулю. Следовательно, переменная станет базисной.

Описанную итерацию проводим для остальных строк расширенной матрицы, пока не получим m базисных неизвестных ( в каждом уравнении – по одной базисной переменной).

После этого находим общее решение и базисное (приравнивая свободные неизвестные нулю).

Пример 1.2. Решить систему линейных уравнений

методом Жордана–Гаусса. Найти общее и базисное решения.

Решение. Вычисления будем производить в таблице. В исходной части таблицы записываем расширенную матрицу системы.

В первой строке выберем элемент ведущим. Выделим ведущий элемент рамкой. Изменяем вторую, третью и четвертую строки: ко второй строке по элементам прибавляем первую строку, умноженную на (-3), к третьей – первую строку, умноженную на (-1), и к четвертой – первую строку, умноженную на (-3). В результате получим таблицу, в которой переменная стала базисной.

Выбираем элемент ведущим. С помощью элементарных преобразований получаем таблицу, в которой переменная стала базисной.

Выбираем, например, элемент ведущим и делим на него элементы третьей строки. Получаем таблицу

.

Теперь делаем нули в остальных строках четвертого столбца. Получаем таблицу, в которой переменная стала базисной.

Удаляем вторую нулевую строку, получаем таблицу

.

Поскольку каждое уравнение теперь содержит по одной базисной переменной, то оставшаяся небазисная переменная является свободной.

Полагаем . Из последней строки таблицы получаем .

Из второй строки следует , откуда находим или .

Из первой строки следует , откуда получаем или .

Выписываем общее решение: .

Найдем базисное решение. Положим . Тогда имеем .

Сделаем проверку, подставляя найденное решение в исходную систему

Ответ. Общее решение: , базисное решение: .

Задание 1. Проверить невырожденность системы линейных уравне­ний и решить ее: а) по формулам Крамера; б) матричным методом.

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5 1.6.

1.7 1.8. 1.9

1.10. 1.11. 1.12.

1.13. 1.14. 1.15

1.16. 1.17 1.18.

1.19. 1.20. 1.21.

1.22. 1.23. 1.24.

1.25. 1.26. 1.27.

1.28. 1.29. 1.30.

Задание 2. Решить систему линейных уравнений методом Жордана–Гаусса. Найти общее и базисное решения.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Матрицы и системы линейных уравнений

Содержание:

Матрицы и системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений

Одно из важных применений матриц связано с системами линейных уравнений. Рассмотрим систему

(1)

и соответствующие ей матрицы

Тогда систему (1) можно заменить единственным уравнением АХ = В.

Уравнение (2) называют матричной записью системы (1). Например, система

в матричной записи выглядит так:

Заметим, что матричную запись систем линейных уравнений применяли древнекитайские математики во в. до н.э., а в европейской науке она применяется с XIX

Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы

Рассмотрим вопросы, связанные с умножением квадратных матриц порядка . Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В . Мы уже вводили понятие единичной матрицы

и говорили о том, что для любой квадратной матрицы А выполняется свойство АЕ = ЕА = А.

Известно, что любого числа существует обратное число , для которого .

Нечто подобное имеет место и для квадратных матриц, причем роль условия играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.

Определение 1. Пусть А — квадратная матрица порядка . Квадратная матрица того же порядка называется обратной для А, если .

Для обратных матриц выполняется свойство: .

Заметим, что строки матрицы А — это арифметические векторы из , поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Определение 2. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

В лекции 1 мы указывали, что линейно независимая система векторов не может содержать нулевой вектор. Т.о., в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Над строками матрицы можно совершать элементарные преобразования:

1) переставлять строки;

2) вычеркивать нулевую строку;

3) умножать строку на число ;

4) прибавлять к одной из строк другую строку, умноженную на любое число. Заметим, что речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, которые используются в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь это строки матрицы, а не уравнения системы.

Теорема 1. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарные преобразования, то получим снова невырожденную матрицу.

Теорема 2. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение

, (3)

где А и В — две данные матрицы, X — искомая матрица. Существенно, что А — квадратная матрица порядка . В частном случае, когда В = Е, искомая матрица X будет обратной к А , т.е.

Эффективным методом решения матричных уравнений (3) является метод полного исключения Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса. Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) матрицу В и далее будем работать уже со «сдвоенной» матрицей:

Если, выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, привести ее левую часть к единичной матрице , то правая часть приведется к искомой матрице X. Фактически, метод Жордана-Гаусса можно представить следующей схемой:

В частном случае, когда нужно найти обратную матрицу надо совершить переход:

.

Пример №26

Методом Жордана-Гаусса для матрицы

найти обратную матрицу

Решение:

Составим «сдвоенную» матрицу

С помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице :

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица :

Замечание 1. При нахождении обратной матрицы методом Жордана-Гаусса возможны вычислительные ошибки. Поэтому желательно делать проверку:

.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений с неизвестными:

Запишем эту систему матричным уравнением АХ — В,

Теорема 3. Пусть квадратная матрица А является невырожденной. Тогда решением матричного уравнения АХ = В будет

.

Доказательство. Используя очевидные преобразования, получим

. Теорема доказана.

Замечание 2. Результат, полученный при доказательстве теоремы 3, часто называют методом обратной матрицы.

Пример №27

Решить систему методом обратной матрицы:

Решение:

Этой системе соответствуют матрицы:

Подобно тому, как это делалось в примере 1, найдем обратную матрицу к матрице А:

Используя теорему 3, получим

Итак, наша система имеет решение: . Проверкой убеждаемся в том, что оно правильное.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.