Матрица гурвица для характеристического уравнения

Критерий Гурвица

Назначение сервиса . С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Пример . Исходные данные:

Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a_ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Выбираем из (4; 7; 6) максимальный элемент max=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r_ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r₁₁ = 8 — 8 = 0; r₂₁ = 8 — 7 = 1; r₃₁ = 8 — 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r₁₂ = 12 — 4 = 8; r₂₂ = 12 — 7 = 5; r₃₂ = 12 — 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r₁₃ = 8 — 6 = 2; r₂₃ = 8 — 7 = 1; r₃₃ = 8 — 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r₁₄ = 20 — 20 = 0; r₂₄ = 20 — 7 = 13; r₃₄ = 20 — 10 = 10

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Выбираем из (8; 13; 10) минимальный элемент min=8
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма — оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s_i)
где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s_i.
s₁ = 0.5•4+(1-0.5)•20 = 12
s₂ = 0.5•7+(1-0.5)•7 = 7
s₃ = 0.5•6+(1-0.5)•12 = 9

Выбираем из (12; 7; 9) максимальный элемент max=12
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ₁=1-λ, λ2=λ3=…=λ_n-1=0, λ_n=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A_i по Гурвицу есть:
G_i=(1-λ)min a_ij + λmax a_ij
Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G₁ = 0.304 • 4+(1-0.304) • 20 = 15.143; G₂ = 0.304 • 7+(1-0.304) • 7 = 7; G₃ = 0.304 • 6+(1-0.304) • 12 = 10.179;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G₁ = 0.696 • 4+(1-0.696) • 20 = 8.857; G₂ = 0.696 • 7+(1-0.696) • 7 = 7; G₃ = 0.696 • 6+(1-0.696) • 12 = 7.821

Выбираем из (15.143; 7; 10.179) максимальный элемент max=15.14
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 17 + 21 + 25 + 39 = 102
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста



Подход оптимиста

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.

IV. 2. 2. Критерий устойчивости Гурвица

Наиболее распространенная в технической практике форма алгебраического критерия устойчивости известна под названием критерия Гурвица (1895). Этот критерий может быть применен для определения устойчивости как разомкнутых, так и замкнутых САР в зависимости от того, характеристическое уравнение какой из вышеназванных САР принято для исследования.

Ниже рассматриваемый критерий приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (IV. 1. 3) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строк и n столбцов (матрицу Гурвица)

(IV. 2. 1)

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от a₁ до a _n._.Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими слева направо индексами так, чтобы чередовались строки с нечётными и чётными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а так же если индекс его меньше нуля или больше n, на месте его пишется нуль. Можно заметить, что индексы в столбцах нарастают снизу вверх, поэтому нетрудно понять, что в правом крайнем столбце единственным элементом, отличном от 0, будет нижний элемент a_n .

Главные диагональные миноры или определители матрицы Гурвица

(IV. 2. 1) имеют вид

,

,

,

.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица обычно дается в следующем виде:

Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы при a₀>0 все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были бы больше нуля (i=1, 2, …n).

Условие нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравняв нулю последний минор при положительности всех остальных главных диагональных миноров. Это условие распадается на два условия: и . Первое условие свидетельствует о том, что характеристическое уравнение имеет один нулевой корень, это соответствует границе устойчивости апериодического типа, а второе говорит о наличии пары чисто мнимых корней и существовании колебательной границы устойчивости.

Если нас интересует граничное значение какого-то параметра (например, коэффициента усиления k_гр), при котором САР становится нейтральной, то его можно найти из выражения

. ( IV. 2. 2)

Для часто встречающихся на практике конкретных случаев условия устойчивости Гурвица имеют следующий вид.

Уравнение первого порядка.

Характеристическое уравнение САР в этом случае представляется следующим образом

.

Здесь матрица Гурвица совпадает с ее первым диагональным минором .

Следовательно, необходимым и достаточным условием устойчивости по Гурвицу является положительность коэффициентов a₀ и a₁.

Уравнение второго порядка.

Характеристическое уравнение здесь таково

,

поэтому матрица Гурвица имеет вид

.

Запишем необходимые и достаточные условия устойчивости Гурвица

.

Поскольку , то будет положительным только при и, значит, САР будет устойчива при положительности всех коэффициентов а₀, a₁ и a₂.

Как уже говорилось выше, для САР первого и второго порядков необходимые условия устойчивости Стодолы (т.е. положительность коэффициентов характеристических уравнений) является, как следует из критерия Гурвица, и достаточными.

Уравнение третьего порядка.

Для характеристического уравнения третьего порядка

матрица Гурвица имеет вид

.

Необходимые и достаточные условия устойчивости Гурвица таковы:

Поскольку по Гурвицу для устойчивости системы все миноры должны быть положительными, из последнего неравенства (если ) обязательно следует . Обратимся теперь ко второму главному диагональному минору . Так как мы установили, что , и , то в этом выражении второе слагаемое всегда положительное, а сам минор может быть положительным только при . Итак, для устойчивости САР третьего порядка мы получили необходимые условия, выражающиеся в положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Однако, этих условий недостаточно, т. к. из второго минора видно, что при положительности всех коэффициентов рассматриваемый минор будет положительным только тогда, когда первое слагаемое больше второго. Таким образом, в САР третьего порядка для устойчивости к необходимым условиям добавляется еще условие достаточности

. (IV. 2.3)

Уравнение четвертого порядка.

Для САР четвертого порядка уравнение (IV. 1.3) имеет вид

и тогда матрица Гурвица выглядит следующим образом

.

Выпишем, как обычно, условия устойчивости по Гурвицу

При всех положительных минорах последнее неравенство выполняется лишь при и тогда в предпоследнем неравенстве второе слагаемое положительно. При минор будет положительным только при . Отсюда следует, что будет положительным при , и , только при .

Итак, необходимые условия устойчивости , , , и мы установили. Сюда необходимо добавить достаточное условие

,

которое включает в себя требование

.

Применение критерия Гурвица для исследования устойчивости САР пятого и больших порядков нецелесообразно, т. к. приводит к громоздким вычисления по разрешению миноров, т.е. раскрытию определителей больших порядков. В таких случаях рекомендуется использовать частотные критерии.

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица и Михайлова
(геометрический критерий устойчивости)

Пусть имеем линейное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами:

Нулевое решение уравнения (1) асимптотически устойчиво, если все корни характеристического уравнения

имеют отрицательные вещественные части.

Критерий Рауса—Гурвица . Для того чтобы все корни уравнения (2) имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

Матрица Гурвица составляется так. По главной диагонали выписываются коэффициенты многочлена (2), начиная с и оканчивая . Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, причем в число последних включается коэффициент . Все остальные элементы матрицы, отвечающие коэффициентам с индексами, большими или меньшими , полагаются равными нулю. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица имеют вид

Таким образом, условие Гурвица гласит: для устойчивости решения уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения

Так как , то условие 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> может быть заменено требованием 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADoAAAATBAMAAAAzNgPlAAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAhgFdwNcQoTBBIfCwcRgyobwAAADiSURBVCjPY2AgD7DNwicrKuKGW1J5G8MRBTQx4wQYS7WAYd4EdB2BMOk+ARBiYBMpM0OWXgBh2Akw6DkwMKQWdb9A1u0OkZYDyjoxMIUwsGxCNpzTvQEmG8DA+5hB+wCK3ZxHGuB6VZ4x9F1AkeUqaYDbqxfEcK+BoY0N7npOFzBzngDDvAKQgnOKk6XvCkIlNaGu0gb614CBJ4D5CaviuoYpEEnmcKiPGLcxlCowcIUftD7MYMogDpGEhwZDqWEEyBEKbA0MhQzBYD2GcEkGDmE4O5jjWQHuGNnGFd5AcgoAAPGxMydfDSoLAAAAAElFTkSuQmCC» style=»vertical-align: middle;» />.

Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Здесь . Выписываем диагональные миноры Гурвица

\Delta_4=\begin5&1&0&0\\19&13&5&1\\0&10&19&13\\0&0&0&10\end=4240>0,» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />

\Delta_4>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Следовательно, тривиальное решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Вычисление можно, например, организовать так. Составляем сначала старший минор Гурвица . По нему легко выписываются все младшие миноры . Затем начинаем вычислять последовательно и т.д. Если встретился отрицательный минор, решение неустойчиво и дальнейший подсчет не нужен.

Геометрический критерий устойчивости (критерий Михайлова)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами