Матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных ($x_1,x_2,\ldots,x_n$). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры $a_$ ($i=\overline<1,m>$, $j=\overline<1,n>$) называют коэффициентами, а $b_i$ ($i=\overline<1,m>$) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «$m\times n$ система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит $m$ уравнений и $n$ неизвестных.

Если все свободные члены $b_i=0$ ($i=\overline<1,m>$), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных $x_1,x_2,\ldots,x_n$, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую $3$ уравнения и $5$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$. Можно, сказать, что задана система $3\times 5$ линейных уравнений.

Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3, -4, 1, 7, -1. Свободные члены системы представлены числами 11, -65, 0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.

Упорядоченная совокупность $(4;-11;5;-7;1)$ является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить $x_1=4$, $x_2=-11$, $x_3=5$, $x_4=-7$, $x_5=1$ в уравнения заданной системы:

Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.

Система (3) является СЛАУ, содержащей $5$ уравнений и $3$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность $(0;0;0)$ является решением данной СЛАУ. Подставляя $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство:

$$4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0.$$

Подстановка в иные уравнения делается аналогично.

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица $A$ называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица-столбец $B$ называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец $X$ – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: $A\cdot X=B$.

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).

Записать СЛАУ $ \left \ < \begin& 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end \right. $ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Матрица неизвестных будет такой: $\left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end \right)$.

Свободные члены данной системы выражены числами -5, 0, -11, посему матрица свободных членов имеет вид: $B=\left( \begin -5 \\ 0 \\ -11 \end \right)$.

Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2, 3, -5, 1.

Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4, 0, -1, 0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных $x_2$ и $x_4$ во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).

В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0, 14, 8, 1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной $x_1$ (эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:

$$ A=\left( \begin 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end \right) $$

Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:

В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид $A\cdot X=B$. В развернутой записи:

$$ \left( \begin 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end \right) \cdot \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end \right) = \left( \begin -5 \\ 0 \\ -11 \end \right) $$

Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы $ A=\left( \begin 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end \right) $ допишем столбец свободных членов (т.е. -5, 0, -11). Получим: $\widetilde=\left( \begin 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end \right) $.

Записать СЛАУ $ \left \ <\begin& 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4. \end\right.$ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: $a$, $y$, $c$, однако в третьем уравнении: $c$, $y$, $a$. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.

Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит $3!=6$). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.

Введём такой порядок: $c$, $y$, $a$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \ <\begin& 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4. \end\right.$

Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end \right) $. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin c \\ y \\ a \end \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ \left( \begin 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end \right) \cdot \left( \begin c \\ y \\ a \end \right) = \left( \begin 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end \right) $$

Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end \right) $.

Введём такой порядок: $a$, $c$, $y$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \ < \begin& 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y=25; \\ & 5a-c=-4. \end\right.$

Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end \right)$. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin a \\ c \\ y \end \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ \left( \begin 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end \right) \cdot \left( \begin a \\ c \\ y \end \right) = \left( \begin 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end \right) $$

Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & -1 & 0 & -4 \end \right) $.

Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Система линейных алгебраических уравнений

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:

Индексы коэффициентов ( a_ij ) формируются следующим образом:

• i – номер линейного уравнения;
• j – номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ – такие числа c₁, c₂,…, c_n , при постановке которых вместо x₁, x₂,…, x_n , все уравнения системы превратятся в тождества.

Виды СЛАУ

1. Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b₁ = b₂ = … = b_m = 0 ).
   

В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:

1. Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
   
   СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 .
2. Несовместная – система не имеет решений.
   
   Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.

Матричная форма записи системы

СЛАУ можно представить в матричной форме:

• A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
  
• X – столбец переменных:
  
• B – столбец свободных членов:
  

Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:

Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.

Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:

Расширенная матрица СЛАУ

Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B , разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.

Для примера выше получается так:

– обозначение расширенной матрицы.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.