Матрица решение систем линейных уравнений реферат

Линейные системы уравнений — реферат

Тема: «Линейные системы уравнений»

1. Уравнения, векторы, матрицы, алгебра

2. Умножение матриц как внешнее произведение векторов

3. Нормы векторов и матриц

4. Матрицы и определители

5. Собственные значения и собственные векторы

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

7. Функции с матричным аргументом

8. Вычисление проекторов матрицы

Пример использования числовых характеристик матриц

10. Оценка величины и нахождение собственных значений

1. Уравнения, векторы, матрицы, линейная алгебра

Многие из рассмотренных нами задач сводились к формированию систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений, которые требовалось решить. Пока системы включали в себя не более трех-четырех переменных, их несложно было решать известными классическими методами: методом определителей (Крамера) или методом исключения переменных (Гаусса). С появлением цифровых вычислительных машин порядок алгебраических уравнений, решаемых методом исключений вырос в несколько десятков раз. Однако выявилось множество причин, по которым решение таких систем получить не удавалось. Появившиеся различные модификации метода исключения не привели к существенным улучшениям ситуации с получением решений. Появление же систем с количеством переменных более многих сотен и тысяч заставили обратиться и развивать итерационные методы и методы эквивалентных векторно-матричных преобразований применительно к решению линейных систем алгебраических уравнений.

Основные теоретические результаты были получены путем обобщения известных классических методов функционального анализа и алгебры конечномерных линейных пространств на векторно-матричные представления систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Общая форма записи линейной системы алгебраических уравнений с n неизвестными может быть представлена следующим образом:

Здесь – неизвестные,

– заданные числа,

– заданные числовые коэффициенты.

Последовательность записи уравнений в системе и обозначение неизвестных в последней не играет роли. В этом плане удобно при анализе и исследованиях системы использовать упорядоченную индексацию натурального ряда для неизвестных, значений правых частей и коэффициентов в уравнениях, однозначно привязывая, тем самым, каждое слагаемое и каждое уравнение к определенной позиции в общей записи. В результате можно выделить в данной записи уравнений три позиционно упорядоченных неделимых объекта:

список переменных – ,

список правых частей – и

матрицу коэффициентов – .

Первые два объекта в линейной алгебре называют вектором-строкой , а второй – квадратной матрицей.

Операции с векторами, матрицами должны быть определены так, чтобы однозначно отображать допустимые эквивалентные преобразования исходной системы алгебраических уравнений. В предельных случаях задания векторов и матриц: , – аддитивные и мультипликативные операции должны переходить в аналогичные операции со скалярными величинами.

Если рассмотреть i- тую строку исходной системы

,

то в ней кроме упорядоченного расположения компонент присутствует упорядоченное по индексу j размещение коэффициентов , которые могут рассматриваться как вектор-строка . Результатом суммы покомпонентного перемножения двух векторов-строк должно быть число. В линейной алгебре такая операция с векторами определена и названа скалярным или внутренним произведением векторов:

.

Скалярное произведение линейно, так как обладает основными свойствами линейных преобразований , и коммутативно.

Определение скалярного произведения позволяет переписать исходную систему уравнений в виде вектора с компонентами из скалярных произведений:

.

Вторая форма представления векторов в форме столбцов более наглядна в смысле зрительного установления покомпонентного равенства двух векторов: стоящего слева от знака равенства и справа. Эта форма, форма вектора-столбца принята за каноническую (основную).

Левый вектор-столбец в записи каждой строки содержит вектор неизвестных и естественно желание вынести его за прямые скобки. Оставшиеся коэффициенты упорядочены, как в матрице . Теперь для представления исходной системы уравнений в виде несложно определить векторно-матричную операцию , результатом которой является вектор с i- той компонентой, равной .

Аксиоматическое построение линейной (векторной) алгебры с рассмотренными базовыми операциями позволило установить важные и полезные свойства, как самих объектов алгебры, так и их алгебраических выражений.

2. Умножение векторов и матриц

Среди n- мерных векторов и векторных операций над ними важно выделить сумму n векторов, умноженных на числовые константы:

,

которая при произвольном выборе в частности может оказаться нулевым вектором (с нулевыми компонентами) или одним из суммируемых векторов . Если нулевой вектор при суммировании не нулевых векторов можно получить лишь в случае, когда все , то такие векторы в наборе называют линейно независимыми . Такими векторами в частности будут единичные векторы , у которых все компоненты нулевые, кроме единичной компоненты, расположенной на j- строке.

Линейно независимый набор единичных векторов с геометрической точки зрения можно рассматривать как n- мерную систему координат. Набор компонент любого вектора в этой n- мерной системе определяет координаты точки конца вектора, исходящего из начала координат, а также являются длинами проекций вектора на координатных осях.

Среди матриц размера и операций с ними в первую очередь необходимо отметить операцию умножения матрицы на матрицу. Необходимость введения операции умножения матриц возникает уже при первом взгляде на полученную векторную форму записи линейного уравнения . Векторы слева и справа имеют равные компоненты. Так как коэффициенты в строках матрицы в общем произвольны по величине, то соответствующие компоненты вектора x не обязаны быть равными компонентам вектора y . Последнее означает, что умножение вектора x на матрицу A вызвало изменение длины и направления вектора x . Если аналогичное преобразование выполняется над вектором правой части до решения уравнения, то вектор левой части должен быть преобразован так же:

.

Фактически мы имеем дело с заменой системы координат. Рассмотрим методику вычисления коэффициентов результирующей матрицы уравнения:

,

где – элемент матрицы С , равный скалярному произведению вектор-строки матрицы В на вектор-столбец матрицы А .

Произведение матриц в общем случае не коммутативно. Ассоциативный и распределительный законы в матричных выражениях выполняются.

3. Нормы векторов и матриц

Интерпретация упорядоченного набора чисел, как вектора в многомерном пространстве, позволяет говорить и о его длине. В прямоугольной системе координат по известным длинам проекций на координатные оси длину самого вектора вычисляют, как корень квадратный из суммы квадратов проекций:

,

где – компоненты вектора ,

– евклидова норма вектора, его длина.

В качестве нормы в литературе иногда используют квадрат длины вектора или другое выражение с компонентами вектора, лишь бы оно обладало свойствами расстояния: было положительным, линейным и удовлетворяло неравенству треугольника.

Деление вектора на величину его нормы называют нормированием , т.е. приведением вектора к единичной длине.

Норма матрицы в принципе тоже может быть определена в виде корня квадратного из суммы квадратов ее элементов или другими выражениями со свойствами расстояний. Однако в ряде случаев работы с векторно-матричными выражениями нормы векторов и матриц должны быть согласованными ввиду того, что результатом произведения матрицы на вектор является опять же вектор. Если выражение для нормы вектора принято, то

,

где функция sup говорит о том, что из всех отношений норм, стоящих в числителе и знаменателе, взятых при любом векторе x , кроме нулевого, выбирается наименьшее, т.е. это функция выбора нижней границы значений. Согласованная матричная норма для евклидовой нормы вектора удовлетворяет неравенству

.

Нормы вектора и матрицы служат, в основном, для сопоставительной оценки матриц и векторов, указывая на возможный диапазон представления строгих числовых характеристик. К числу последних, в первую очередь, нужно отнести определители матриц, собственные значения и собственные векторы матриц и ряд других.

4. Матрицы и определители

Упорядоченный набор коэффициентов из системы линейных алгебраических уравнений используется для получения числовой характеристики, величина которой инвариантна по отношению к эквивалентным преобразованиям системы. Речь идет об определителе матрицы. Важное свойство определителей матрицы обнаруживается в связи с вычислением произведения матриц:

Учитывая это свойство и зная, что определитель единичной матрицы det(E )=1, можно найти матрицу B и ее определитель из уравнения:

откуда следует, что и .

Из свойств определителей нелишне помнить и такие:

где – транспонированная матрица A ,

n – размер квадратной матрицы A ,

– матрица перестановки строк или столбцов,

s, c= 0,1,…, n – число выполненных перестановок строк и / или столбцов.

Если обратная матрица исходной системы уравнений определена, то, используя эквивалентные преобразования их векторно-матричной записи, решение уравнений можно представить в следующем виде:

Умножив вектор правых частей на обратную матрицу, получим вектор решения.

Классический способ вычисления обратной матрицы использует определители и осуществляется по формуле:

,

где – алгебраическое дополнение, а – минор матрицы A , получаемый вычислением определителя матрицы A , в которой вычеркнуты j- тая строка и i- тый столбец.

Такой способ вычисления определителя представляет в основном теоретический интерес, так как требует выполнения неоправданно большого числа операций.

Очень просто вычисляется определитель, если матрица диагональная или треугольная. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов. Кстати и решения уравнений, имеющих такие матрицы коэффициентов, получаются тривиально. Поэтому основные усилия разработчиков методов решения алгебраических уравнений направлены на поиск и обоснование эквивалентных преобразований матрицы с сохранением всех ее числовых характеристик, но имеющих в конце преобразований диагональную или треугольную форму.

5. Собственные значения и собственные векторы

Рассмотрим теоретические основы и методы, позволяющие выполнять эквивалентные матричные преобразования.

Найдем вектор, который под воздействием матрицы A изменяет только свою величину, но не направление. Для системы уравнений это означает, что вектор решения должен быть пропорционален с некоторым коэффициентом вектору правой части:

В результате несложных преобразований получены однородные векторно-матричные уравнения в столбцовой и в строчной формах с некоторым числовым параметром и неизвестным вектором-столбцом x и вектором-строкой , представляющих собственное состояние системы. Однородная система может иметь отличное от нуля решение лишь в том случае, когда определитель ее равен нулю. Это следует из формул получения решения методом определителей (Крамера), в которых и определитель знаменателя, и определитель числителя оказываются равными нулю.

Полагая, что решение все же существует, т.е. и , удовлетворить уравнению можно только за счет приравнивания нулю определителя однородной системы:

Раскрыв определитель и сгруппировав слагаемые при одинаковых степенях неизвестного параметра, получим алгебраическое уравнение степени n относительно :

Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы и имеет в общем случае n корней, возможно комплексных, которые называются собственными значениями матрицы и в совокупности составляют спектр матрицы . Относительно n корней различают два случая: все корни различные или некоторые корни кратные.

Важным свойством характеристического уравнения матрицы A является то, что согласно теореме Гамильтона-Кели, матрица A удовлетворяет ему:

где – k- тая степень матрицы.

Подставляя каждое в однородную систему, получим векторно-матричные уравнения для нахождения векторов или векторов-строк . Эти векторы называются соответственно правыми собственными векторами и левыми собственными векторами матрицы.

Решение однородных уравнений имеет некоторую специфику. Если (как в равной мере и ) является решением, то, будучи умноженным на произвольную константу, оно тоже будет являться решением. Поэтому в качестве собственных векторов берут такие векторы, которые имеют норму, равную единице, и тогда:

Если все собственные числа различны, то собственные векторы матрицы A образуют систему n линейно независимых векторов таких, что

6. Ортогональные матрицы из собственных векторов

Из правых собственных векторов можно составить матрицу T, а из левых – матрицу , которые обладают уникальными свойствами по отношению к матрице A .

Умножив матрицу A слева на матрицу , а справа – на матрицу T , после несложных преобразований получим:

.

Каждое скалярное произведение в матрице, принимая во внимание линейную независимость собственных векторов, полученных для различных собственных значений, можно преобразовать так:

Поэтому, результатом преобразования матрицы A будет диагональная матрица с собственными значениями, расположенными на диагонали:

Если вместо A взять единичную матрицу и проделать аналогичные преобразования, то станет очевидным равенство , откуда следует . Последнее позволяет для преобразования матрицы A в диагональную обходиться только системой правых собственных векторов-столбцов:

Последнее показывает, что умножение матрицы A на слева и на S справа, где S – произвольная не особая матрица, преобразует ее в некоторую матрицу B , которая имеет определитель, равный определителю матрицы A . Такие преобразования матриц называют эквивалентными (подобными ).

Продолжая использовать T- матрицу, несложно получить следующие важные результаты:

.

7. Функции с матричным аргументом

Пусть теперь задана некоторая матричная функция от матрицы A :

.

С другой стороны очевидно и обратное

,

где – матрица с одной единицей на i -том месте диагонали ( ).

где – проекторы матрицы A , образуемые умножением одноименных правых и левых собственных векторов по правилам умножения прямоугольных матриц с размерами соответственно и . Сумма проекторов .

Проекторы обладают свойствами идемпотентных матриц , т.е. матриц, все степени которых равны первой. Для невырожденных проекторов ( ) матрицы A ( ) справедливо:

Представление функции от матрицы A в виде взвешенной суммы проекций называется спектральным разложением матричной функции по собственным значениям матрицы A :

.

Если в качестве матричных функций взять и , то их спектральные разложения будут следующими:

8. Вычисление проекторов матрицы

Проекторы матрицы можно также вычислить, воспользовавшись интерполяционным многочленом Лагранжа с матричным аргументом:

По известному спектру проекторы матрицы можно найти и методом неопределенных коэффициентов. Для чего выбирают такие функции от матрицы A , которые вычисляются очевидным образом, например, такие:

Записывая разложение для каждой функции, получим следующую систему линейных уравнений относительно проекторов:

В случае, когда в спектре матрицы имеются кратные собственные значения, вычисление проекторов осуществляется по интерполяционным формулам Лагранжа, учитывающим еще и заданные значения производных в отдельных точках. Разложение матричной функции по значениям ее на спектре в этом случае имеет вид:

где – значения i -тых произ-водных функции в точках, соответствующих различным (не кратным) корням характеристического многочлена,

– число кратных корней ,

– проекторы кратных корней, в выражении которых содержатся

– проекторы различных корней.

9. Пример использования числовых характеристик матриц

Знание собственных значений матрицы и ее проекторов позволяет выполнять вычисления аналитических функций получающихся, например, при решениях систем линейных дифференциальных уравнений, при исследованиях эквивалентных матричных преобразований и пр.

Для примера построим матрицу с заданными собственными значениями и собственными векторами, основанными на векторах .

Сначала необходимо убедиться в линейной независимости исходных векторов и добиться того, чтобы левые и правые одноименные собственные векторы оказались ортогональными, т.е. . Проверка линейной независимости может быть объединена с процессом ортогонализации заданной системы векторов методом Грама-Шмидта .

Для заданных векторов построим систему векторов таких, что , следующим образом:

Откуда последовательно находятся коэффициенты :

Взаимной ортогональности векторов v можно было бы добиваться и так, чтобы каждый был ортогонален каждому , положив и приравняв нулю скалярные произведения :

Определитель этой системы называют определителем Грама :

,

где — матрица, в общем случае комплексно сопряженная с матрицей

, составленной из заданных векторов.

Если грамиан положителен, а он всегда неотрицателен, то векторы линейно независимы, а если равен нулю, то зависимы. Это один из способов проверки конкретного набора векторов на их линейную независимость.

Для заданного выше набора векторов определитель произведения матрицы X на транспонированную X * будет равен

Таким образом, заданная система векторов линейно независима. Для построения ортонормированной системы векторов последовательно вычислим коэффициенты и ортогональные векторы:

После нормирования векторы образуют правую систему собственных векторов. Транспонированная Т -матрица с этими векторами есть -матрица ( ); ее строки являются собственными левосторонними векторами:

.

Внешнее (матричное) произведение каждого нормированного вектора самого на себя дает нам проекторы искомой матрицы:

Умножая каждое собственное значение из заданного набора на свой проектор и суммируя, получим:

.

Аналогично получается обратная матрица:

.

С помощью этих же проекторов вычисляется любая аналитическая функция, аргументом которой является матрица A :

.

10. Оценка величины и нахождение собственных значений

Краткое рассмотрение основных теоретических положений линейной алгебры позволяет сделать следующие выводы: для успешного решения систем линейных алгебраических уравнений и вычислений матричных функций необходимо уметь находить ее собственные значения и собственные векторы.

Для любой матрицы A с действительными компонентами и любого ненулевого вектора v существует отношение Рэлея, связывающее скалярное произведение векторов v и Av с минимальным и максимальным собственными значениями:

.

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.

Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем можно записать в виде

.

На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение , для которого матрица A также является корнем:

.

Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах ( ). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n- го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме :

,

где A – произвольная матрица размера ;

– жорданов блок размера ;

V – некоторая невырожденная матрица размера .

Характеристическое уравнение жорданова блока размера независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных корней:

.

Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов , то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение

.

Здесь в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.

При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:

.

Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением , оказывается больше, чем у матрицы A .

Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.

Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.

2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.

4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.

Реферат: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

по дисциплине: «Математика»

«Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Основные определения

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. — симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

матрица алгебраический линейный уравнение

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить едини чная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:

(АВ) Т = В Т А Т , где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А Т =;

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC) T = C T B T A T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А Т В+aС.

A T = ; A T B = × = = ;

aC = ; А Т В+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .

Определители.(детерминанты)

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ± d₂ , e = e₁ ± e₂ , f = f₁ ± f₂ , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152 = -26.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Миноры

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополните льный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁ , …,i_s , то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ, i=(1,n), j=(1,n),

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Таким образом, А -1 =.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где М_ji — дополнит ельный минор элемента а_ji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Таким образом, А -1 =.

Cвойства обратных матриц

Укажем следующие свойства обратных матриц:

Пример. Дана матрица А = , найти А 3 .

А 2 = АА = = ; A 3 = = .

Отметим, что матрицы и являются перестановочными.

Пример. Вычислить определитель .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы

Ранг матрицы

Как было сказано выш е, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких — либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарны х преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы — понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

, RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

, Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

, Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A -1 ×A×X = A -1 ×B,

т.к. А -1 ×А = Е, то Е×Х = А -1 ×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А -1 .

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A -1 = ;

A×A -1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А -1 В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера)

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i .

D_i =

A = ; D₁ = ; D₂ = ; D₃ = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выш е матричным методом.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А * = называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁ , b₂ , …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

. RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Пример. Определить сов местность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

, где d_1j = a_1j /a₁₁ , j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Список используемой литературы

1. Курс высшей математики. Краткий конспект лекций. Ó Ларин Александр Александрович 2000 год.

2. Высшая математика для менеджеров Л.Г. Корсакова

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матричный способ решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:

Числа $a_ (i=1..n,j=1..n)$ — коэффициенты системы, числа $b_ (i=1..n)$ — свободные члены.

В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае — неоднородной.

Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.

Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.

Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.

Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.

Описанные выше матрицы имеют вид:

Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $A\cdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.

Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.

Примеры решения системы с помощью обратной матрицы

Дана СЛАУ: $\left\<\begin <3x_<1>-2x_ <2>+x_ <3>-x_ <4>=3> \\ -12x_ <2>-x_ <3>-x_ <4>=7> \\ <2x_<1>-3x_ <2>+x_ <3>-3x_ <4>=5> \end\right. $. Записать систему в матричном виде.

Решение:

В случае, когда матрица системы является квадратной, СЛАУ можно решить уравнения матричным способом.

Имея матричное уравнение $A\cdot X=B$, можно выразить из него $X$ следующим способом:

$A^ <-1>\cdot A\cdot X=A^ <-1>\cdot B$

$A^ <-1>\cdot A=E$ (свойство произведения матриц)

$E\cdot X=A^ <-1>\cdot B$

$E\cdot X=X$ (свойство произведения матриц)

Алгоритм решения системы алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:

• записать систему в матричном виде;
• вычислить определитель матрицы системы;
• если определитель матрицы системы отличен от нуля, то находим обратную матрицу;
• решение системы вычисляем по формуле $X=A^ <-1>\cdot B$.

Готовые работы на аналогичную тему

Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.

Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.

Дана СЛАУ: $\left\<\begin +3x_ <3>=26> \\ <-x_<1>+2x_ <2>+x_ <3>=52> \\ <3x_<1>+2x_ <2>=52> \end\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

Нахождение определителя матрицы системы:

$\begin <\det A=\left|\begin <1>& <0>& <3>\\ <-1>& <2>& <1>\\ <3>& <2>& <0>\end\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0> \end$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. Полученное решение будет единственным.

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:

Искомая обратная матрица:

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin <2>\\ <23>\\ <8>\end\right)$ — искомое решение системы уравнений.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 18 11 2021