Матрица вырождена то система уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений

Содержание:

Матрицы и системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений

Одно из важных применений матриц связано с системами линейных уравнений. Рассмотрим систему

(1)

и соответствующие ей матрицы

Тогда систему (1) можно заменить единственным уравнением АХ = В.

Уравнение (2) называют матричной записью системы (1). Например, система

в матричной записи выглядит так:

Заметим, что матричную запись систем линейных уравнений применяли древнекитайские математики во в. до н.э., а в европейской науке она применяется с XIX

Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы

Рассмотрим вопросы, связанные с умножением квадратных матриц порядка . Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В . Мы уже вводили понятие единичной матрицы

и говорили о том, что для любой квадратной матрицы А выполняется свойство АЕ = ЕА = А.

Известно, что любого числа существует обратное число , для которого .

Нечто подобное имеет место и для квадратных матриц, причем роль условия играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.

Определение 1. Пусть А — квадратная матрица порядка . Квадратная матрица того же порядка называется обратной для А, если .

Для обратных матриц выполняется свойство: .

Заметим, что строки матрицы А — это арифметические векторы из , поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Определение 2. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

В лекции 1 мы указывали, что линейно независимая система векторов не может содержать нулевой вектор. Т.о., в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Над строками матрицы можно совершать элементарные преобразования:

1) переставлять строки;

2) вычеркивать нулевую строку;

3) умножать строку на число ;

4) прибавлять к одной из строк другую строку, умноженную на любое число. Заметим, что речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, которые используются в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь это строки матрицы, а не уравнения системы.

Теорема 1. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарные преобразования, то получим снова невырожденную матрицу.

Теорема 2. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение

, (3)

где А и В — две данные матрицы, X — искомая матрица. Существенно, что А — квадратная матрица порядка . В частном случае, когда В = Е, искомая матрица X будет обратной к А , т.е.

Эффективным методом решения матричных уравнений (3) является метод полного исключения Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса. Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) матрицу В и далее будем работать уже со «сдвоенной» матрицей:

Если, выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, привести ее левую часть к единичной матрице , то правая часть приведется к искомой матрице X. Фактически, метод Жордана-Гаусса можно представить следующей схемой:

В частном случае, когда нужно найти обратную матрицу надо совершить переход:

.

Пример №26

Методом Жордана-Гаусса для матрицы

найти обратную матрицу

Решение:

Составим «сдвоенную» матрицу

С помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице :

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица :

Замечание 1. При нахождении обратной матрицы методом Жордана-Гаусса возможны вычислительные ошибки. Поэтому желательно делать проверку:

.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений с неизвестными:

Запишем эту систему матричным уравнением АХ — В,

Теорема 3. Пусть квадратная матрица А является невырожденной. Тогда решением матричного уравнения АХ = В будет

.

Доказательство. Используя очевидные преобразования, получим

. Теорема доказана.

Замечание 2. Результат, полученный при доказательстве теоремы 3, часто называют методом обратной матрицы.

Пример №27

Решить систему методом обратной матрицы:

Решение:

Этой системе соответствуют матрицы:

Подобно тому, как это делалось в примере 1, найдем обратную матрицу к матрице А:

Используя теорему 3, получим

Итак, наша система имеет решение: . Проверкой убеждаемся в том, что оно правильное.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Обозначения матрицы:

где а_ij – элемент матрицы, расположенный в i-й строке, j-м столбце;

m – количество строк матрицы;

n – количество столбцов матрицы.

Числа m, n определяют размеры матрицы (m – размер матрицы по вертикали, n – размер по горизонтали).

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.

Квадратную матрицу, у которой все элементы, стоящие по главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю, называют единичной матрицей и обозначает Е или Е_n , где n – порядок матрицы. Например,

Е₃ = 0 1 0 — единичная матрица 3-го порядка.

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, элементы которой находят путем алгебраического сложения соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы с одинаковыми размерами. Например, если

а₁₁ а₁₂ в₁₁ в₁₂ а₁₁+в₁₁ а₁₂+в₁₂

Произведением матрицы А на число а называется матрица В с теми же размерами, что и матрица А. Элементы матрицы В получают умножением числа а на соответствующие элементы матрицы А. Например, если

а₁₁ а₁₂ аа₁₁ аа₁₂

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С. Покажем вначале, как умножается матрица-строка на матрицу-столбец.

в₁₁

В этом случае матрица С = с₁₁ состоит из одного элемента, который равен сумме произведений элементов строки 1-й матрицы на соответствующие элементы столбца 2-й матрицы:

В дальнейшем будем называть такое действие умножением строки на столбец.

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃

Матрицы могут быть перемножены только в том случае, если их размеры согласованы:

Размеры, неподчеркнутые, должны быть одинаковыми. Размеры, подчеркнутые одной черточкой, являются одновременно размерами матрицы С. В рассматриваемом ниже примере матрицы согласованы и могут быть перемножены:

Элемент с₁₁ матрицы С получается умножением 1-й строки матрицы А на соответствующие элементы 1-го столбца матрицы В:

Элемент с₁₂ получается умножением 1-й строки матрицы А на 2-й столбец матрицы В:

Элемент с₁₃ получается аналогично умножением 1-й строки матрицы А на 3-й столбец матрицы В. Таким образом, элементы первой строки матрицы С получаются умножением первой строки матрицы А сначала на 1-й столбец матрицы В, затем на 2-й и на 3-й столбцы этой матрицы.

Элементы второй строки матрицы С получаются умножением второй строки матрицы А последовательно на 1-й, 2-й и 3-й столбцы матрицы В, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ в₁₁ в₁₂ в₁₃ с₁₁ с₁₂ с₁₃

Особенности операции умножения матрицы на матрицу является то, что она в общем случае не обладает перестановочным свойством:

Операция транспонирования матрицы А сводится к переписыванию каждой i-й строки матрицы А в i-й столбец матрицы А Т . Здесь А Т – обозначение транспонированной матрицы.

Пример: Выполнить указанные действия: (C – 2E₃) 2 + RQ T .

(матрицы C, Q, R взять из задания 1).

Решение: (C – 2E₃) 2 + RQ T =

2

3 2 0 1 0 0 7 0 6 3 Т

= -4 5 1 — 2× 0 1 0 + 2 -4 × 2 0 =

-2 3 4 0 0 1 1 3 1 -4

1 2 0 1 2 0 7 0 6 2 1

= -4 3 1 × -4 3 1 + 2 -4 × 3 0 -4 =

-2 3 2 -2 3 2 1 3

-7 8 2 42 14 7 35 22 9

= -18 4 5 + 0 4 18 = -18 8 23

-18 11 7 15 2 -11 -3 13 -4 .

Определители.

Для квадратных матриц любого порядка вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы.

Определителем матрицы второго порядка А =

Для обозначения определителей используют символы:

а₁₁а₁₂

Несмотря на то, что определитель, по определению, одно число, говорят о порядке, строках, столбцах и элементах определителя, имея при этом в виду порядок, строки, столбцы и элементы матрицы, для которой вычисляется определитель. Например,

2 -1

определитель 2-го порядка, который имеет две строки и два столбца. Элементами определителя являются числа 2, -1, 0, 3. Его значение равно 2×3 – 0×(-1) = 6.

Минором какого-либо элемента определителя называют определитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится указанный элемент.

Минор элемента а_ij определителя обозначается M_ij.

а₁₁ а₁₂ а₁₃

Например, для определителя третьего порядка а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃

Алгебраическое дополнение элемента а_ij определяется равенством А_ij = (-1) i + j M_ij.

Например, для определителя третьего порядка:

а₂₂ а₂₃

а₂₁ а₂₃

Определителями третьего и более высоких порядков называются числа, которые могут быть найдены по следующему алгоритму:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

2 4 6 3 0 1 0 1 3

1 3 0 = 2×(-1) 1+1 + 4×(-1) 1+2 + 6×(-1) 1+3 =

-5 2 0 2 0 -5 0 -5 2

Здесь определитель найден разложением по первой строке. Однако вычисления становятся существенно проще, если этот же определитель разложить по третьему столбцу:

2 4 6 1 3

1 3 0 = 6×(-1) 1+3 + 0 + 0 = 102.

Второе и третье слагаемые равны нулю, так как равны нулю соответствующие элементы в третьем столбце. Таким образом, определитель лучше всего раскладывать по той строке или тому столбцу, где больше нулей.

Перечислим некоторые свойства определителей (они справедливы для определителей любого порядка). Эти свойства могут быть использованы при выполнении индивидуального задания.

1. det A = det A T .

2. Если в определителе, не равном нулю, поменять местами две строки (два столбца), то значение определителя изменит знак, например:

3. Умножение всех элементов какой-либо одной строки (столбца) определителя на число k равносильно умножению определителя на число k, например:

а) все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю или

б) элементы каких-либо двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

5. Определитель не изменит своего значения, если к элементам какой-либо строки определителя прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, например:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃

Аналогичное правило справедливо для столбцов определителя.

Покажем на примерах, как применяются некоторые перечисленные свойства.

а₁ в₁ с₁ а₁ а₂ а₃

Решение: Очевидно, что первый определитель может быть получен из второго заменой строк на столбцы. Если обозначить

а₁ а₂ а₃ а₁ в₁ с₁

Пример 2: Вычислить 64 5

Решение: Вынесем из 1-го столбца множитель «32», из 2-го столбца – множитель «5»:

64 5 2 1

Раздел 2.Системы уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.

В данном разделе рассматриваются системы, для которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений (при этом матрица коэффициентов является квадратной):

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ +…+ а_1nх_n = в₁

В матричной форме система, уравнений (1) имеет вид:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n х₁ в₁

где A – матрица коэффициентов при неизвестных;

В– матрицасвободных членов.

Определителем систем уравнений называется определитель матрицы коэффициентов:

а₁₁ + а₁₂ +…+ а_1n

= …………………

Теорема о решениях систем уравнений:

— Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

— Если определитель равен нулю, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.

В типовых расчетах рассмотрены три метода решения систем линейных алгебраических уравнений:

— по формулам Крамера;

Если ≠ 0, то система (1) может быть решена любым из трех методов. Если = 0, то систему удобнее решать методом Гаусса, так как применение первых двух методов в этом случае невозможно без предварительного преобразования системы.

Формулы Крамера

Если ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

х₁= 1 , х₂= 2 , … ,х_n= n .

Определитель ₁ получается из определителя системы (4) заменой 1-го столбца на столбец свободных членов; аналогично находят определители ₂ , ₃ и т. д.:

в₁а₁₂ … а_1n а₁₁в₁… а_1n а₁₁а₁₂… в₁

₁= ………….. , ₂= ………….. , _n = …………

Прежде чем рассмотреть пример, отметим, что если неизвестных немного, то вместо обозначений х₁, х₂, х₃, … удобнее использовать обозначения х, у, z, … .

x + 2y + 3z = 14

Пример: Решить систему уравнений 2x + y =13 .

1 2 3 14 2 3 1 14 3 1 2 14

= 2 1 0 =24; _Х = 13 1 0 =96; _У= 2 13 0 =120; _Z= 2 1 13 =0.

2 3 -4 23 3 -4 2 23 -4 2 3 23

Так как = 24 ≠ 0, то существует единственное решение системы:

х = х = 96/24 =4; у = y = 120/24 = 5; z = z = 0/24 = 0.

Таким образом, х = 4; у = 5; z = 0.

Метод Гаусса.

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Напомним, что две системы уравнений называются равносильными, если решения одной системы совпадают с решениями другой либо обе системы несовместны.

Здесь рассмотрена одна из разновидностей метода Гаусса – метод Жордано-Гаусса, или метод полного исключения, отличающийся, тем, что матрица коэффициентов преобразуется не к треугольному виду, а к единичной матрице, что позволяет сразу записать решение системы, если, конечно, оно существует.

Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

1 – перестановка уравнений в системе;

2 – умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю;

3 – прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

4 – отбрасывание уравнений в которых все коэффициенты и свобод­ный член равны нулю (уравнения вида 0 = 0).

Цель преобразований (метод Жордано-Гаусса) – свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

3х – у + 4z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х + у – z = 5 .

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

3 -1 4 5

Расширенная матрица включает в себя элементы матрицы коэффициентов, записанные слева от вертикальной черты, и столбецсвободных членов, записанный справа от черты. Эта матрица является, по существу, сокращенной записью системы уравнений. Применяяэквивалентные преобразования к строкам расширенной матрицы, сводим матрицу коэффициентов к единичной матрице:

3 -1 4 5 1 2 2 4 1 2 2 4

2 1 -1 5 (1) 2 1 -1 5 (2) 0 -3 -5 -3 (3)

1 2 2 4 3 -1 4 5 0 -7 -2 -7

1 2 2 4 1 2 2 4 1 2 2 4

0 3 5 3 (4) 0 3 5 3 (5) 0 1 -8 1 (6)

0 7 2 7 0 1 -8 1 0 3 5 3

1 0 18 2 1 0 18 2 1 0 0 2

0 1 -8 1 (7) 0 1 -8 1 (8) 0 1 0 1

0 0 29 0 0 0 1 0 0 0 1 0

(1) – поменяем местами 1-ю и 3-ю строки (т.е. поменяем местами 1-е и 3-е уравнения в системе);

(2) – получим два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3» (т.е. ко 2-му уравнению системы прибавим 1-е, умноженное на «-2», а к 3-му уравнению прибавим 1-е, умноженное на «-3»);

(3) – умножим 2-ю и 3-ю строки на «-1»;

(4) – получим единицу во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке при­бавим 2-ю, умноженную на «-2»;

(5) – поставим единицу во 2-м столбце на «свое» место. Для этого поменяем местами 2-ю и 3-ю строки;

(6) – получим два нуля во 2-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 2-ю, умноженную на «-3»;

(7) – получим единицу в 3-м столбце, 3-й строке. Для этого разделим 3-ю строку на «29»;

(8) – с помощью полученной единицы получим два нуля в 3-м столбце. Для этого к 1-й строке прибавим 3-ю, умноженную, на «-18», а ко 2-й строке прибавим 3-ю, умноженную на «8».

Таким образом, получили расширенную матрицу с единичной матрицей коэффициентов. Перепишем теперь найденную эквивалентную систему уравнений в обычном виде:

1

Отсюда следует х = 2; у = 1; z = 0.

Матричный метод

Введем понятие обратной матрицы:

Матрица, обозначаемая А -1 , для которой выполняются равенства А×А -1 = А -1 ×А = Е, где Е – единичная матрица, называется обратной по отношению к квадратной матрице А.

Если Det А ≠ 0,то существует единственная обратная матрица А -1 ,

если Det A = 0, то обратная матрица А -1 не существует.

Обратную матрицу находят по формуле А -1 = (1/det А)×(А ٧ ) Т , где

A v — матрица, составленная из алгебраических дополнений:

А₁₁ А₁₂…А_1n

Система уравнений (1) может быть записана в матричной форме:

где А,В – известные матрицы, причем матрица А — квадратная;

X – матрица неизвестных.

Если det А ≠ 0, то существует обратная матрица А -1 . Умножим обе части матричного уравнения (5) на А -1 слева:

Так как А -1 × А = Е, Е × Х = X , то получим следующую формулу

для нахождения матрицы X:

Матричный метод решения может быть применен, если det А ≠ 0, так как, в противном случае обратная матрица не существует.

2х + 3у – z = 8

Пример: Решить систему уравнений 2y – z = 3

2 3 -1 х 8

Решение: В матричном виде система запишется как 0 2 -1 × у = 3

или А×Х = В. Решение имеет вид Х = А -1 ×В, где

А -1 =(1/det А)×( А ٧ ) Т , det А = 0 2 -1 = 7, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ .

Определитель det А ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица и единственное решение системы. Найдем алгебраические дополнения:

А₁₁ = 4; А₁₂ = -1; А₁₃ = -2; А₂₁ = -7; А₂₂ = 7; А₂₃ = 7; А₃₁ = -1; А₃₂ = 2; А₃₃ = 4;

4 -1 -2 4 -7 -1 4 -7 -1

А ٧ = -7 7 7 ; ( А ٧ ) Т = -1 7 2 ; А -1 =1/7 -1 7 2 ;

-1 2 4 -2 7 4 -2 7 4

4 -7 -1 8 32 – 21 + 3 2

Х = 1/7 -1 7 2 × 3 = 1/7 -8 + 21 – 6 = 1 .

-2 7 4 -3 -16 +21 – 12 -1

Отсюда следует: х = 2, у = 1, z = -1.

Матричные уравнения.

Пусть задано матричное уравнение АХ = В, причем матрица А – квадратная и существует обратная матрица А -1 . Решение ищут, умножая исходное уравнение на А -1 слева. Решение имеет вид:

Аналогично решается уравнение Y×С = В в том случае, когда матрица С квадратная и существует обратная матрица С -1 . Обе части уравнения умножаются на С -1 справа. Получаем формулу для нахождения неизвестной матрицы Y:

Для решения уравнения А×Х×С = В нужно обе его части умножить на А -1 слева и на С -1 справа. Получим:

X = А -1 В С -1 .

Пример: Решить уравнение 2 2 0 × Х = 4 8 -2

Решение. Запишем уравнение в виде А×Х=В. Неизвестную матрицу Х найдем по формуле Х=А -1 ×В.

А -1 = (1/det А)×( А ٧ ) Т , где det A = 2 2 0 = 12, А ٧ = А₂₁ А₂₂ А₂₃ ;

4 -4 4 4 2 2 4 2 2 2 1 1

А ٧ = 2 4 -10 ; ( А ٧ ) Т = -4 4 -2 ; А -1 = 1/12 -4 4 -2 = 1/6 -2 2 -1 ;

2 -2 8 4 -10 8 4 -10 8 2 -5 4

2 1 1 -2 -9 2 12 6 0 2 1 0

Х = 1/6 -2 2 -1 × 4 8 -2 = 1/6 0 18 -6 = 0 3 -1 .

2 -5 4 12 16 -2 24 6 6 4 1 1

Системы уравнений с вырожденной матрицей коэффициентов.

Матрица А называется вырожденной, если ее определитель detA=0.

В соответствии с теоремой о решениях, систем уравнений, если
главный определитель системы det A = 0, то система либо не имеет решений (несовместна), либо имеет бесконечное множество
решений.

В этом случае (когда det А = 0) формулы Крамера х_j = _j не

могут быть использованы (на ноль делить нельзя). Неприменим и матричный метод, поскольку обратная матрица А -1 не существует. Систему можно решить методом Гаусса.

х + у + 3z = 5

Пример: Решить систему уравнений 2х – 2у + z = -3 .

1 1 3

Решение. = 2 -2 1 = 0.

1 5 8

Поскольку = 0, матрица коэффициентов системы вырождена. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 3 5 1 1 3 5 1 1 3 5

2 -2 1 -3 (1) 0 -4 -5 -13 (2) 0 -4 -5 -13 ;

1 5 8 10 0 4 5 5 0 0 0 -4

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-2», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – нужно получить два нуля во 2-м столбце. Для этого к 3-й строке прибавим 2-ю. При этом замечаем, что 3-е уравнение в системе противоречиво: 0х + 0у + 0z = -4.

Третье уравнение в системе не выполняется ни при каких x, y, z. Следовательно, система уравнений не имеет решений (несовместна).

х + у – 3z = 4

Пример: Решить систему уравнений 3х – у – z = 16 .

1 1 -3

Решение. = 3 -1 -1 = 0.

1 -2 3

Так как = 0, матрица коэффициентов системы вырожденная. Для решения используем метод Гаусса:

1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 1 -3 4 1 0 -1 5

3 -1 -1 16 (1) 0 -4 8 4 (2) 0 1 -2 -1 (3) 0 1 -2 -1 ;

1 -2 3 7 0 -3 6 3 0 1 -2 -1 0 0 0 0

(1) – нужно получить два нуля в 1-м столбце. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-3», а к 3-й строке прибавим 1-ю, умноженную на «-1»;

(2) – разделим 2-ю строку на «-4», а 3-ю на «-3»;

(3) – нужно получить два нуля во 2-ом столбце. Для этого к 1-й и 3-й строкам прибавим 2-ю, умноженную на «-1».

Перепишем полученную систему уравнений в обычном виде:

Поскольку третье равенство выполняется при любых х, у, z, его можно не рассматривать. Таким образом, имеем систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Перепишем ее в виде:

х = z +5

Примем z = t, где t принадлежит R (множество действительных чисел). Получим бесконечное множество решений:

х = t +5

Проверим правильность найденного решения подстановкой:

(t +5) + (2t – 1) – 3t = 4

3(t +5) – (2t – 1) – t = 16

(t +5) – 2(2t – 1) + 3t = 7.

Подставляем численные значения t, получим частные решения:

х = 5 х = 6

например, при t = 0 y = – 1, при t = 1 y = 1 и т. д.

Линейные уравнения. Решение систем линейных уравнений матричным методом.

Матричный метод решения СЛАУ применяют к решению систем уравнений, у которых количество уравнений соответствует количеству неизвестных. Метод лучше применять для решения систем низкого порядка. Матричный метод решения систем линейных уравнений основывается на применении свойств умножения матриц.

Этот способ, другими словами метод обратной матрицы, называют так, так как решение сводится к обычному матричному уравнению, для решения которого нужно найти обратную матрицу.

Матричный метод решения СЛАУ с определителем, который больше или меньше нуля состоит в следующем:

Предположим, есть СЛУ (система линейных уравнений) с n неизвестными (над произвольным полем):

Значит, её легко перевести в матричную форму:

AX=B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A −1 — обратную матрицу к матрице A: A −1 (AX)=A −1 B.

Т.к. A −1 A=E, значит, X=A −1 B. Правая часть уравнения дает столбец решений начальной системы. Условием применимости матричного метода есть невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого есть неравенство нулю определителя матрицы A:

Для однородной системы линейных уравнений, т.е. если вектор B=0, выполняется обратное правило: у системы AX=0 есть нетривиальное (т.е. не равное нулю) решение лишь когда detA=0. Эта связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений называется альтернатива Фредгольма.

Т.о., решение СЛАУ матричным методом производится по формуле . Либо, решение СЛАУ находят при помощи обратной матрицы A −1 .

Известно, что у квадратной матрицы А порядка n на n есть обратная матрица A −1 только в том случае, если ее определитель ненулевой. Таким образом, систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными решаем матричным методом только в случае, если определитель основной матрицы системы не равен нулю.

Не взирая на то, что есть ограничения возможности применения такого метода и существуют сложности вычислений при больших значениях коэффициентов и систем высокого порядка, метод можно легко реализовать на ЭВМ.

Пример решения неоднородной СЛАУ.

Для начала проверим, не равен ли нулю определитель матрицы коэффициентов у неизвестных СЛАУ.

Далее вычисляем алгебраические дополнения для элементов матрицы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных. Эти коэффициенты нужны будут для вычисления обратной матрицы.

Теперь находим союзную матрицу, транспонируем её и подставляем в формулу для определения обратной матрицы.

Подставляем переменные в формулу:

Теперь находим неизвестные, перемножая обратную матрицу и столбик свободных членов.

При переходе от обычного вида СЛАУ к матричной форме будьте внимательными с порядком неизвестных переменных в уравнениях системы. Например:

НЕЛЬЗЯ записать как:

Необходимо, для начала, упорядочить неизвестные переменные в кадом уравнении системы и только после этого переходить к матричной записи:

Кроме того, нужно быть внимательными с обозначением неизвестных переменных, вместо x₁, x₂, …, x_n могут оказаться другие буквы. К примеру:

в матричной форме записываем так:

Матричным методом лучше решать системы линейных уравнений, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы не равен нулю. Когда в системе более 3-х уравнений, на нахождение обратной матрицы потребуется больше вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.