Матрицы и системы линейных уравнений

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Матрицы и системы линейных уравнений

Содержание:

Матрицы и системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений

Одно из важных применений матриц связано с системами линейных уравнений. Рассмотрим систему

(1)

и соответствующие ей матрицы

Тогда систему (1) можно заменить единственным уравнением АХ = В.

Уравнение (2) называют матричной записью системы (1). Например, система

в матричной записи выглядит так:

Заметим, что матричную запись систем линейных уравнений применяли древнекитайские математики во в. до н.э., а в европейской науке она применяется с XIX

Обратная, вырожденная и невырожденная матрицы

Рассмотрим вопросы, связанные с умножением квадратных матриц порядка . Тогда произведение АВ имеет смысл для любых матриц А и В . Мы уже вводили понятие единичной матрицы

и говорили о том, что для любой квадратной матрицы А выполняется свойство АЕ = ЕА = А.

Известно, что любого числа существует обратное число , для которого .

Нечто подобное имеет место и для квадратных матриц, причем роль условия играет своеобразное условие невырожденности матрицы А.

Определение 1. Пусть А — квадратная матрица порядка . Квадратная матрица того же порядка называется обратной для А, если .

Для обратных матриц выполняется свойство: .

Заметим, что строки матрицы А — это арифметические векторы из , поэтому можно ставить вопрос об их линейной зависимости или независимости.

Определение 2. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и вырожденной в противном случае.

В лекции 1 мы указывали, что линейно независимая система векторов не может содержать нулевой вектор. Т.о., в невырожденной матрице не может быть нулевых строк. Над строками матрицы можно совершать элементарные преобразования:

1) переставлять строки;

2) вычеркивать нулевую строку;

3) умножать строку на число ;

4) прибавлять к одной из строк другую строку, умноженную на любое число. Заметим, что речь идет о тех же самых элементарных преобразованиях, которые используются в методе Гаусса, с той лишь разницей, что теперь это строки матрицы, а не уравнения системы.

Теорема 1. Если над строками невырожденной матрицы А проделать элементарные преобразования, то получим снова невырожденную матрицу.

Теорема 2. Для любой невырожденной матрицы А существует обратная матрица .

Метод Жордана-Гаусса решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение

, (3)

где А и В — две данные матрицы, X — искомая матрица. Существенно, что А — квадратная матрица порядка . В частном случае, когда В = Е, искомая матрица X будет обратной к А , т.е.

Эффективным методом решения матричных уравнений (3) является метод полного исключения Жордана-Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса. Пусть А — невырожденная матрица. Припишем к ней (например, справа) матрицу В и далее будем работать уже со «сдвоенной» матрицей:

Если, выполняя элементарные преобразования над строками этой матрицы, привести ее левую часть к единичной матрице , то правая часть приведется к искомой матрице X. Фактически, метод Жордана-Гаусса можно представить следующей схемой:

В частном случае, когда нужно найти обратную матрицу надо совершить переход:

.

Пример №26

Методом Жордана-Гаусса для матрицы

найти обратную матрицу

Решение:

Составим «сдвоенную» матрицу

С помощью элементарных преобразований приведем ее левую часть к единичной матрице :

Правее вертикальной черты получилась обратная матрица :

Замечание 1. При нахождении обратной матрицы методом Жордана-Гаусса возможны вычислительные ошибки. Поэтому желательно делать проверку:

.

Решение системы с помощью обратной матрицы

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений с неизвестными:

Запишем эту систему матричным уравнением АХ — В,

Теорема 3. Пусть квадратная матрица А является невырожденной. Тогда решением матричного уравнения АХ = В будет

.

Доказательство. Используя очевидные преобразования, получим

. Теорема доказана.

Замечание 2. Результат, полученный при доказательстве теоремы 3, часто называют методом обратной матрицы.

Пример №27

Решить систему методом обратной матрицы:

Решение:

Этой системе соответствуют матрицы:

Подобно тому, как это делалось в примере 1, найдем обратную матрицу к матрице А:

Используя теорему 3, получим

Итак, наша система имеет решение: . Проверкой убеждаемся в том, что оно правильное.

Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:

Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Используя этот онлайн калькулятор для решения систем линейных уравнений (СЛУ) матричным методом (методом обратной матрицы), вы сможете очень просто и быстро найти решение системы.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для решения систем линейных уравнений матричным методом (методом обратной матрицы), вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на решения систем линейных уравнений, а также закрепить пройденный материал.

Решить систему линейных уравнений матричным методом

Изменить названия переменных в системе

Заполните систему линейных уравнений:

Ввод данных в калькулятор для решения систем линейных уравнений матричным методом

• В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
• Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа.
• Если в уравнение отсутствует какая-то переменная, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите ноль.
• Если в уравнение перед переменной отсутствуют числа, то в соответствующем поле ввода калькулятора введите единицу.

Например, линейное уравнение x ₁ — 7 x ₂ — x ₄ = 2

будет вводится в калькулятор следующим образом:

Дополнительные возможности калькулятора для решения систем линейных уравнений матричным методом

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «влево», «вправо», «вверх» и «вниз» на клавиатуре.
• Вместо x ₁, x ₂, . вы можете ввести свои названия переменных.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.