Механическая волна уравнение вектор умова

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

ЛЕКЦИЯ №2

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. АКУСТИКА

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В широком смысле, под волной понимают процесс распространения в пространстве колебаний или возмущений состояния вещества или поля с течением времени. Математически этот процесс выражается функцией, описывающей распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные. Рассмотрим механические волны, т.е. процессы распространения механических возмущений в упругой среде.

Механические колебания, возбужденные в какой-либо точке пространства вследствие взаимодействия между упруго связанными частицами среды будут распространяться в ней с некоторой конечной скоростью. Частицы среды последовательно вовлекаются в колебательное движение около своих положений равновесия, но не перемещаются вместе с волной. Таким образом, в волновом процессе не происходит переноса массы. От частицы к частице передается только колебательное движение, а значит, и энергия.Перенос энергии без переноса вещества – это основное свойство всех волн, независимо от их природы.

Волны бывают продольные, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения, и поперечные, если направление колебаний перпендикулярно вектору скорости волны. Очевидно, что в случае продольных волн в среде возникают деформации сжатия и разрежения, которые в свою очередь приводят к образованию локальных областей сгущения и разрежения вещества, т.е. области повышенного и пониженного давления. Такие волны могут возникать в любых средах: в газах, жидкостях и твердых телах. Поперечные механические волны обусловлены деформациями сдвига. Это означает, что они могут существовать только в твердых телах.

В общем случае, волны представляют собой пространственное образование. Геометрическое место точек (поверхность), до которых колебания дошли к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны бывают: плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Поверхность, точки которой имеют одно и то же значение фазы, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей

бесчисленное множество, а фронт волны всегда один.

УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Получим уравнение плоской волны в однородной среде вдоль оси 0х, совпадающей с направлением её распространения. Т.к., в этом случае фронт волны перпендикулярен 0х, то смещения s частиц среды будут зависеть только от координаты х и момента времени t, т.е. уравнение волны будет представлять собой функцию – s = f(x,t). Пред-положим, что в точке 0 (рис.1) частица совершает колебания по гармоническому закону: s = Acosωt. Тогда, очевидно, что колебания в некоторой точке М, удаленной от точки 0 на расстояние 0М = х, будут совершаться по тому же закону, но с некоторым отставанием по времени τ от колебаний в точке 0:

Если обозначить скорость волны через u, то время запаздывания, за которое волна добежит от точки 0 до точки М: τ = х/u, и уравнение колебаний в произвольной точке М на расстоянии х от источника примет вид:

s= A cos ω( t-τ ) = A cos ω( t — ). (2)

Это и есть искомое уравнение плоской бегущей волны. Здесь: А – амплитуда смещения частиц среды от положения равновесия, ω – циклическая частота колебаний частиц, ω( t — ) – фаза колебаний в точке с координатой х, u – скорость плоской волны.

Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис.1).

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период колебаний частиц среды. Тогда λ = u·T = u/ν. Т.к. ω = 2πν, то (2) можно переписать в виде:

s = Acosω( t — ) = Acos2π(vt — ) = Acos(ωt — 2π ). (3)

Покажем, что скорость распространения волны u – это скорость перемещения фиксированного значения фазы. Положим ω( t – ) = С, т.е. const. Выразим х: х = ut — Cu/ω. Продифференцировав это выражение по t, получим: (С, u, ω – величины постоянные для данной среды). Т.е. u – это скорость, с которой перемещается данное значение фазы. По этой причине скорость волны называют также фазовой скоростью.

Скорость распространения механических волн зависит от физических свойств среды. Скорость распространения продольных волн определяется формулой: . Для поперечных волн – . Здесь r – плотность недеформированной среды, Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига. Е и G – параметры упругости среды.

Основные свойства волн: прямолинейность распространения в однородной среде, отражение и преломление на границе раздела сред, дисперсия, интерференция и дифракция.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Аналогично тому, как уравнение колебаний является решением дифференциального уравнения, описывающего процесс колебаний, так и уравнение волны представляет собой решение дифференциального уравнения, описывающего процесс распространения волн в среде. Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных называется волновым. Найдем его вид. Запишем первые и вторые производные уравнения волны (2) по переменным t и х:

; ;

; ; (4)

; . (5)

В трехмерном случае:

.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим в качестве примера проявления волновых свойств механизм образования стоячих волн. Они возникают в результате наложения (интерференции) двух встречных плоских когерентных волн с одинаковой амплитудой. Например, волны падающей и этой же волны отраженной от границы раздела сред. Запишем уравнения двух плоских волн, движущихся навстречу друг другу в виде (3).

s ₁= Acos(ωt – 2π ) = А(cosωt cos2π + sinωt sin2π ) . (6)

s₂ = Acos(ωt + 2π ) = А(cosωt cos2π – sinωt sin2π ). (7)

Складывая эти равенства, получим уравнение результирующего процесса – уравнение стоячей волны:

(8)

Из (8) видно, что в каждой точке среды происходит колебание той же частоты ω, что и у интерферирующих волн. Однако амплитуда колебаний каждой частицы зависит от координаты точки среды, в которой она расположена: А_х = 2А cos2π . В точках, где аргумент 2π = ±nπ (при n = 0, 1, 2…) и |cos2π | = 1, амплитуда имеет максимальное значение –2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, где аргумент 2π = ±(n + )π, амплитуда минимальна и равна нулю, т.к. в этом случае cos2π = 0. Эти точки называются узлами стоячей волны.

На рис.2 показано как меняется расположение частиц среды в стоячей волне в течение периода.

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

Последовательное вовлечение в колебательное движение частиц среды означает, что волна передает от частицы к частице некоторую механическую энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Найдем выражение для энергии, переносимой плоской волной. Для этого рассмотрим некоторый объем V среды, все частицы которой вовлечены волной в колебательное движение (рис.3). В момент времени t каждая частица массой m₀ имеет определенные значения смещения и скорости. Однако, как мы установили ранее, полная механическая энергия частицы от этого не зависит и равна Е_м = , где m₀ – масса одной частицы. Полагая, что все частицы среды одинаковы, а их число в объеме V равно N, получим для энергии этого объема:

, (9)

где m = m₀·N масса вещества в объеме V. Разделив правую и левую часть этого равенства на V , получим количество энергии в единице объема волны. Эта величина называется объемной плотностью энергии:

, (10)

где ρ = m / V – плотность вещества среды, в которой распространяется волна. Объемная плотность энергии измеряется в Дж / м 3 .

Определим энергию, переносимую волной через площадку площадью S перпендикулярную (рис.3). За время t волна удалится от S на расстояние Δl = u·t и вовлечет в колебательное движение частицы в объеме V = S·u·t, перенеся при этом через площадку S энергию W = w∙V = w∙S∙ut.

Количество энергии, перенесенное через площадку S за единицу времени называется потоком энергии волны:

Ф = = w∙ S∙u. (11)

Поток энергии измеряется в Дж / с = Вт.

Количество энергии переносимое через единицу площади за единицу времени называется интенсивностью (или плотностью потока) энергии волны и измеряется в Вт / м 2 или Дж / (с·м 2 ):

. (12)

Т.к. скорость величина векторная, а w скалярная, то справа в этом равенстве стоит вектор. Это означает, что и левая величина дол-жна быть векторной, т.е. интенсивность энергии волны в направлении переноса – это некий вектор:

. (13)

Эта величина для упругих волн называется вектором Умова, который определяет количество энергии переносимое механической волной через единицу площади за единицу времени в направлении .

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем (приёмником волны) вследствие движения источника волны и наблюдателя относительно среды.

Рассмотрим простейший случай, когда источник волны и наблюдатель движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость распространения волны в рассматриваемой среде будем считать равной u, скорость источника – , скорость наблюдателя (приёмника) – , частота колебаний источника – ν_0, период колебаний источника – Т = 1/ ν₀. Все скорости определены относительно среды. Скорость источника будем считать положительной, если он движется по направлению к приёмнику, и отрицательной, если источник удаляется от приёмника. Аналогичное правило знаков скоростей примем и для приёмника.

В исходном состоянии источник находится в начале координат (точка 0), а приёмник в точке А. Скорость распространения колебаний зависит только от свойств среды, поэтому при неподвижном источнике за одну секунду волна пройдет в направлении к приемнику расстояние u. На этом расстоянии уложится ν₀ колебаний. Соответственно, длина волны – λ₀ = u / ν₀ (рис.4а).

Пусть наблюдатель неподвижен и находится на расстоянии u от источника, а источник волны движется с постоянной скоростью по направлению к наблюдателю. Будем считать, что

Вектор Умова-Пойнтинга

Вы будете перенаправлены на Автор24

Вектор потока электромагнитной энергии, определяемый как:

называют вектором Умова — Пойнтинга (вектором Пойнтинга). Понятие вектора как потока энергии в разных веществах было введено Н.А. Умовым, а математическое выражение (1) получено Пойнтингом.

В электромагнитной волне векторы $\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ перпендикулярны, следовательно, модуль вектора $\overrightarrow

$ имеет выражение:

Направление вектора Умова — Пойнтинга перпендикулярно к векторам $\overrightarrowи\ \overrightarrow$, и со направленно с направлением распространения волны ($\overrightarrow$).

Для плоской электромагнитной волны выражение для модуля вектора Умова — Пойнтинга имеет вид:

и между мгновенными значениями напряженности магнитного и электрического полей в электромагнитной волне существует соотношение:

Модуль вектора Умова — Пойнтинга можно выразить как:

В диэлектрике объемная плотность электромагнитного поля равна:

Следовательно, сравнивая равенства (6) и (7), имеем:

В уравнения (2) -(8) входят мгновенные значения величин. Векторы в световой волне совершают колебания с частотами около $<10>^<15>Гц$, следовательно, весьма затруднительно следить за изменением величин во времени. Поэтому обращаются к средним значениям, переходя от мгновенных величин. Если электромагнитная волна является плоской, то среднее значение по времени вектора Умова — Пойнтинга равно:

Вектор Умова — Пойнтинга связан с энергией, которую несет электромагнитная волна соотношением:

где $\frac<\partial W><\partial t>$ — энергия, проходящая через площадку $S$ в единицу времени, $P_n=Pcos\alpha $ — проекция вектора $\overrightarrow

$ на нормаль $\overrightarrow$ к площадке $S$. Направление вектора Умова — Пойнтинга дает характеристику движения энергии в электромагнитном поле.

Готовые работы на аналогичную тему

Если представить линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлениями вектора $\overrightarrow

$, то такие линии есть пути распространения энергии электромагнитного поля. В оптике подобные линии называют лучами.

Теорема Пойнтинга

Для теории электромагнитных полей формулировки законов сохранения энергии и импульса имеет весьма важное значение. Теорема Пойнтинга — один из видов формулировок закона сохранения энергии: Скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, которая вытекает за единицу времени через поверхность, ограничивающую тот же объем, равна полной работе, которую совершает поле над источниками внутри заданного объема, если взять ее со знаком минус.

Поясним данную формулировку. Выделим внутри некоторой среды объем $V$, который ограничивает поверхность $S$ (рис.1). Допустим, что полная энергия, которая заключена внутри объема, равна $W$. Тогда можно записать:

где $P_n$ — нормальная составляющая вектора Умова — Пойнтинга. Интегрирование в (4) производят по всей замкнутой поверхности $S$. Положительным считают направление внешней нормали $\overrightarrow$, что означает поток вектора $\overrightarrow

$ (выражение, которое стоит в формуле (4) в правой части) считают большим нуля, если линии потока энергии $\overrightarrow

$ выводят наружу из объема.

При этом $-\frac<\partial W><\partial t>$- величина, на которую уменьшатся, полная энергия внутри объема $V$ за единицу времени. По закону сохранения энергии она должна быть равна энергии, которая выходит через поверхность $S$ за единицу времени наружу. Следовательно, энергия, покидающая объем $V$ через поверхность $S$, выражена потоком вектора Умова — Пойнтинга.

Задание: Напишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга, если энергию переносит волна, уравнение изменения вектора напряженности электрического поля которой задано как: $\overrightarrow=10cos\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow<_z\ >(\frac<В><м>).$ Учесть, что амплитуда вектора напряженности магнитного поля имеет вид: $H_m\overrightarrow$, частота волны $\omega \ при\ ней\ \varepsilon =2,\ \mu \approx 1\ .$

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Из условий видим, что колебания вектора напряженности электрического поля происходят по $оси Z$, колебания вектора напряженности магнитного поля по $оси X$, следовательно, вектор Умова — Пойнтинга колеблется по $оси Y$.

Модуль искомого вектора можно найти как:

Найдем амплитуду вектора $\overrightarrow$, если знаем, что амплитудные значения в нашем случае связаны соотношением:

Выразим из (1.3) искомую амплитуду $H_m$, имеем:

При этом уравнение колебаний вектора напряженности запишем в виде:

Используя уравнения (1.1), (1.5) и уравнение колебаний вектора напряжённости электрического поля из условий задачи, запишем выражение для вектора Умова — Пойнтинга:

Ответ: $\overrightarrow

=\sqrt<\frac<\varepsilon <\varepsilon >_0><\mu <\mu >_0>>^2c^2\left(\omega t-kx+\alpha \right)\overrightarrow.$

Задание: Плоский конденсатор, имеющий круглые обкладки заряжен постоянным током за время $t_0$ до напряжения $U$. Расстояние между пластинами конденсатора равно $d$. Запишите выражение для вектора Умова — Пойнтинга для точек воображаемой цилиндрической поверхности радиуса $r$, которая находится между обкладками конденсатора. Считайте, что радиус пластин конденсатора много больше, чем радиус воображаемого цилиндра.

Решение:

За основу решения задачи, примем определение вектора Умова — Пойнтинга:

Переменное электрическое поле, возникающее в результате разрядки конденсатора, вызывает переменное магнитное поле. Запишем уравнение из системы Максвелла, учитывая, что между обкладками конденсатора токов проводимости нет:

и материальное уравнение:

Возьмем производную от $\overrightarrow$ по времени:

Возьмём интеграл от $rot\overrightarrow$ по поверхности цилиндра радиуса $r$, применим теорему Стокса:

Приравняем правые части выражений (2.6), (2.7), согласно тому, что выполняется (2.5):

Найдем модуль вектора Умова — Пойнтинга согласно выражениям (2.1) и (2.8):

Задание: Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме по $оси X$. Чему равна средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности в единицу времени?

Решение:

сли мы имеем плоскую электромагнитную волну, то модули напряженности полей $\overrightarrow\ $и $\overrightarrow$ в произвольной точке $x$ могут быть выражены как:

где $k=\frac<2\pi ><\lambda >$. Следовательно, мгновенное значение вектора $\overrightarrow

$ можно записать в виде:

\[P=E_0^2 \left(\omega t-kx\right)\ >\left(1.3\right).\]

По условию задачи волна распространяется в вакууме, следовательно, $\varepsilon =1,\ \mu =1\ $, имеем следующее соотношение между амплитудами полей:

Кроме того, известно, что среднее значение $\left\langle ^2\alpha \right\rangle =\frac<1><2>,$ тогда используем (1.3), (1.4) получаем среднее значение вектора Умова — Пойнтинга ($\left\langle P\right\rangle $) равно:

Ответ: Средняя энергия, которая проходит через единицу поверхности за единицу времени (интенсивность волны), равна $\left\langle P\right\rangle =\sqrt<\frac<<\varepsilon >_0><<\mu >_0>>\frac<2>.$

Задание: Вычислите среднее значение вектора Умова — Пойнтинга в стоячей волне.

Решение:

Колебания электрического и магнитного полей можно представить в стоячей волне с использованием следующих гармонических законов:

где $<\varphi >_E,\ \varphi_H$- запаздывание по фазе отраженной волны соответствующего поля, то есть:

здесь $\theta ,\vartheta $ — изменение фазы при отражении, они равны или $\pi ,\ $или 0. $l-$длина линии (если рассматривается свободная волна, то это расстояние от излучателя до поверхности отражения). Обозначим:

тогда колебания, исходя из (2.1) и (2.2) в точке $x$ можно записать как:

при этом очевидно, что $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Допустим, что $\theta =\pi $, тогда:

Исходя из (2.9) и (2.10), для вектора Умова — Пойнтинга получим:

Из формулы (2.11) следует, что колебания модуля вектора $\overrightarrow

$ происходят с частотой $2\omega $, при этом периодически изменяется знак. Следовательно, среднее значение вектора по времени равно $0$ ($\left\langle P\right\rangle =0$).

Ответ: В стоячей волне течения энергии нет, $\left\langle P\right\rangle =0$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 02 2021

Вектор Пойнтинга стоячей волны

Вектором Умова — Пойнтинга ($\overline$) называют векторную физическую величину, определяющую поток энергии волной, равную:

где $\overline$ — напряженность электрического поля; $\overline$ — напряженность магнитного поля. Направлен $\overline$ перпендикулярно $\overline$ и $\overline$ и совпадает с направлением распространения электромагнитной волны. Пойнтинг ввел этот вектор для электромагнитных волн, Умов распространил на другие типы волн.

Модуль вектора Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова — Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

где $\alpha $ — угол между векторами $\overline$ и $\overline$, для электромагнитной волны$\ \overline\bot $ $\overline\ $следовательно:

Вектор $\overline\ $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

где $w$ — объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Стоячие волны

Стоячими волнами называют волны, которые образуются при наложении двух бегущих волн, которые распространяются друг навстречу другу и имеют одинаковые амплитуды и частоты.

Если мы имеем дело с двумя плоскими волнами, распространяющимися навстречу друг другу по оси X без затухания, то уравнение стоячей волны можно записать как:

где $k=\frac<2\pi ><\lambda >$ — волновое число. Уравнение (5) получено при учете, что начало координат выбирается точка, в которой обе встречные волны имеют одинаковую фазу, начало отсчета такое, что при $t=0,\ $ фазы волн равны нулю. Формула (5) показывает, что в стоячей волне амплитуда зависит от координаты ($x$).

К особенностям стоячих волн в сравнении с бегущими волнами, относят то, что:

• в стоячей волне амплитуды колебаний различны в разных точках; система имеет узлы и пучности колебаний;
• на отрезке участка системы от одного узла до соседнего, все точки вещества совершают колебания в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний изменяются на противоположные;
• в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, но на каждом отрезке линии, равном $\frac<\lambda ><4>$ запасена некоторая электромагнитная энергия, и она периодически переходит из энергии электрического поля в энергию магнитного поля.

Примеры задач на вектор Пойнтинга стоячей волны

Задание. Вычислите вектор Пойнтинга для стоячей электромагнитной волны.

Колебания полей в стоячей электромагнитной волне можно представить при помощи формул:

где $<\varphi >_E=2\pi \frac<2l><\lambda >+?$ и $<\varphi >_H=2\pi \frac<2l><\lambda >+\eta $\textit < >— запаздывание по фазе отраженной волны соответствующих полей; $?$ и $\eta $ — изменения фазы при отражении, они равны нулю или $\pi ;;$ $l$ — для свободных волн расстояние между излучателем и отражающей поверхностью.

Решение.Прежде всего, введем обозначения:

Тогда заданную систему уравнений (1.1) можно переписать как:

где амплитуды $E_1$ и $H_1$ не зависят от времени. Предположим, что $?=\pi ,\ $тогда $\eta =0$ в результате имеем:

Для электромагнитной волны, в которой $\overline\bot $ $\overline\ $следовательно:

Задание. Чему равна средняя величина по времени вектора Пойнтинга в стоячей электромагнитной волне?

Решение. Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся ответом предыдущего примера:

Мы получили, что поток электромагнитной энергии в стоячей волне описывает выражение (2.1). Из формулы (2.1) видно, что величина $S$ совершает колебания с частотой $2\omega $ и периодически изменяет знак, следовательно, среднее от вектора Пойнтинга равно:

Формула (2.2) означает, что в стояче волне нет течения энергии. Периодическое изменение знака вектора Пойнтинга показывает, что направление движения энергии периодически изменяется. Энергия совершает колебания между пучностями электрического и пучностями магнитного полей.