Механические волны уравнение волны вектор умова

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

ЛЕКЦИЯ №2

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ. АКУСТИКА

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В широком смысле, под волной понимают процесс распространения в пространстве колебаний или возмущений состояния вещества или поля с течением времени. Математически этот процесс выражается функцией, описывающей распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Выделяют три типа волн: волны на поверхности жидкости, упругие (иначе механические) и электромагнитные. Рассмотрим механические волны, т.е. процессы распространения механических возмущений в упругой среде.

Механические колебания, возбужденные в какой-либо точке пространства вследствие взаимодействия между упруго связанными частицами среды будут распространяться в ней с некоторой конечной скоростью. Частицы среды последовательно вовлекаются в колебательное движение около своих положений равновесия, но не перемещаются вместе с волной. Таким образом, в волновом процессе не происходит переноса массы. От частицы к частице передается только колебательное движение, а значит, и энергия.Перенос энергии без переноса вещества – это основное свойство всех волн, независимо от их природы.

Волны бывают продольные, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения, и поперечные, если направление колебаний перпендикулярно вектору скорости волны. Очевидно, что в случае продольных волн в среде возникают деформации сжатия и разрежения, которые в свою очередь приводят к образованию локальных областей сгущения и разрежения вещества, т.е. области повышенного и пониженного давления. Такие волны могут возникать в любых средах: в газах, жидкостях и твердых телах. Поперечные механические волны обусловлены деформациями сдвига. Это означает, что они могут существовать только в твердых телах.

В общем случае, волны представляют собой пространственное образование. Геометрическое место точек (поверхность), до которых колебания дошли к некоторому моменту времени, называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны бывают: плоские, сферические, цилиндрические и т.д.

Поверхность, точки которой имеют одно и то же значение фазы, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей

бесчисленное множество, а фронт волны всегда один.

УРАВНЕНИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

Получим уравнение плоской волны в однородной среде вдоль оси 0х, совпадающей с направлением её распространения. Т.к., в этом случае фронт волны перпендикулярен 0х, то смещения s частиц среды будут зависеть только от координаты х и момента времени t, т.е. уравнение волны будет представлять собой функцию – s = f(x,t). Пред-положим, что в точке 0 (рис.1) частица совершает колебания по гармоническому закону: s = Acosωt. Тогда, очевидно, что колебания в некоторой точке М, удаленной от точки 0 на расстояние 0М = х, будут совершаться по тому же закону, но с некоторым отставанием по времени τ от колебаний в точке 0:

Если обозначить скорость волны через u, то время запаздывания, за которое волна добежит от точки 0 до точки М: τ = х/u, и уравнение колебаний в произвольной точке М на расстоянии х от источника примет вид:

s= A cos ω( t-τ ) = A cos ω( t — ). (2)

Это и есть искомое уравнение плоской бегущей волны. Здесь: А – амплитуда смещения частиц среды от положения равновесия, ω – циклическая частота колебаний частиц, ω( t — ) – фаза колебаний в точке с координатой х, u – скорость плоской волны.

Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис.1).

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период колебаний частиц среды. Тогда λ = u·T = u/ν. Т.к. ω = 2πν, то (2) можно переписать в виде:

s = Acosω( t — ) = Acos2π(vt — ) = Acos(ωt — 2π ). (3)

Покажем, что скорость распространения волны u – это скорость перемещения фиксированного значения фазы. Положим ω( t – ) = С, т.е. const. Выразим х: х = ut — Cu/ω. Продифференцировав это выражение по t, получим: (С, u, ω – величины постоянные для данной среды). Т.е. u – это скорость, с которой перемещается данное значение фазы. По этой причине скорость волны называют также фазовой скоростью.

Скорость распространения механических волн зависит от физических свойств среды. Скорость распространения продольных волн определяется формулой: . Для поперечных волн – . Здесь r – плотность недеформированной среды, Е – модуль Юнга, G – модуль сдвига. Е и G – параметры упругости среды.

Основные свойства волн: прямолинейность распространения в однородной среде, отражение и преломление на границе раздела сред, дисперсия, интерференция и дифракция.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Аналогично тому, как уравнение колебаний является решением дифференциального уравнения, описывающего процесс колебаний, так и уравнение волны представляет собой решение дифференциального уравнения, описывающего процесс распространения волн в среде. Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных называется волновым. Найдем его вид. Запишем первые и вторые производные уравнения волны (2) по переменным t и х:

; ;

; ; (4)

; . (5)

В трехмерном случае:

.

СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим в качестве примера проявления волновых свойств механизм образования стоячих волн. Они возникают в результате наложения (интерференции) двух встречных плоских когерентных волн с одинаковой амплитудой. Например, волны падающей и этой же волны отраженной от границы раздела сред. Запишем уравнения двух плоских волн, движущихся навстречу друг другу в виде (3).

s ₁= Acos(ωt – 2π ) = А(cosωt cos2π + sinωt sin2π ) . (6)

s₂ = Acos(ωt + 2π ) = А(cosωt cos2π – sinωt sin2π ). (7)

Складывая эти равенства, получим уравнение результирующего процесса – уравнение стоячей волны:

(8)

Из (8) видно, что в каждой точке среды происходит колебание той же частоты ω, что и у интерферирующих волн. Однако амплитуда колебаний каждой частицы зависит от координаты точки среды, в которой она расположена: А_х = 2А cos2π . В точках, где аргумент 2π = ±nπ (при n = 0, 1, 2…) и |cos2π | = 1, амплитуда имеет максимальное значение –2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. В точках, где аргумент 2π = ±(n + )π, амплитуда минимальна и равна нулю, т.к. в этом случае cos2π = 0. Эти точки называются узлами стоячей волны.

На рис.2 показано как меняется расположение частиц среды в стоячей волне в течение периода.

ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ. ВЕКТОР УМОВА

Последовательное вовлечение в колебательное движение частиц среды означает, что волна передает от частицы к частице некоторую механическую энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Найдем выражение для энергии, переносимой плоской волной. Для этого рассмотрим некоторый объем V среды, все частицы которой вовлечены волной в колебательное движение (рис.3). В момент времени t каждая частица массой m₀ имеет определенные значения смещения и скорости. Однако, как мы установили ранее, полная механическая энергия частицы от этого не зависит и равна Е_м = , где m₀ – масса одной частицы. Полагая, что все частицы среды одинаковы, а их число в объеме V равно N, получим для энергии этого объема:

, (9)

где m = m₀·N масса вещества в объеме V. Разделив правую и левую часть этого равенства на V , получим количество энергии в единице объема волны. Эта величина называется объемной плотностью энергии:

, (10)

где ρ = m / V – плотность вещества среды, в которой распространяется волна. Объемная плотность энергии измеряется в Дж / м 3 .

Определим энергию, переносимую волной через площадку площадью S перпендикулярную (рис.3). За время t волна удалится от S на расстояние Δl = u·t и вовлечет в колебательное движение частицы в объеме V = S·u·t, перенеся при этом через площадку S энергию W = w∙V = w∙S∙ut.

Количество энергии, перенесенное через площадку S за единицу времени называется потоком энергии волны:

Ф = = w∙ S∙u. (11)

Поток энергии измеряется в Дж / с = Вт.

Количество энергии переносимое через единицу площади за единицу времени называется интенсивностью (или плотностью потока) энергии волны и измеряется в Вт / м 2 или Дж / (с·м 2 ):

. (12)

Т.к. скорость величина векторная, а w скалярная, то справа в этом равенстве стоит вектор. Это означает, что и левая величина дол-жна быть векторной, т.е. интенсивность энергии волны в направлении переноса – это некий вектор:

. (13)

Эта величина для упругих волн называется вектором Умова, который определяет количество энергии переносимое механической волной через единицу площади за единицу времени в направлении .

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

Эффектом Доплера называют изменение частоты колебаний, воспринимаемых наблюдателем (приёмником волны) вследствие движения источника волны и наблюдателя относительно среды.

Рассмотрим простейший случай, когда источник волны и наблюдатель движутся вдоль соединяющей их прямой. Скорость распространения волны в рассматриваемой среде будем считать равной u, скорость источника – , скорость наблюдателя (приёмника) – , частота колебаний источника – ν_0, период колебаний источника – Т = 1/ ν₀. Все скорости определены относительно среды. Скорость источника будем считать положительной, если он движется по направлению к приёмнику, и отрицательной, если источник удаляется от приёмника. Аналогичное правило знаков скоростей примем и для приёмника.

В исходном состоянии источник находится в начале координат (точка 0), а приёмник в точке А. Скорость распространения колебаний зависит только от свойств среды, поэтому при неподвижном источнике за одну секунду волна пройдет в направлении к приемнику расстояние u. На этом расстоянии уложится ν₀ колебаний. Соответственно, длина волны – λ₀ = u / ν₀ (рис.4а).

Пусть наблюдатель неподвижен и находится на расстоянии u от источника, а источник волны движется с постоянной скоростью по направлению к наблюдателю. Будем считать, что

Механические волны

теория по физике 🧲 колебания и волны

Отдельные частицы любого тела — твердого, жидкого или газообразного — взаимодействуют друг с другом. Поэтому если какая-то частица начинает колебаться, то благодаря взаимодействию между частицами это движение с некоторой скоростью начинает распространяться во все стороны.

Волна — колебания, распространяющиеся в пространстве с течение времени.

В воздухе, твердых телах и внутри жидкостей механические волны возникают благодаря силам упругости. Эти силы осуществляют связь между отдельными частями тела. В образовании волн на поверхности воды играют роль сила тяжести и сила поверхностного натяжения. Такие волны позволяют наиболее наглядно рассмотреть главные особенности волнового движения.

Волна на поверхности воды представляет собой бегущие вперед валы округлой формы. Расстояние между валами, которые также называют гребнями, примерно одинаковы. Волны распространяются в среде с определенной скоростью. Так, если чайка летит вперед, а по ней в любой момент времени оказывается один и тот же гребень, то скорость распространения волны можно принять равной скорости полета чайки. Волны на воде наблюдать удобно потому, что скорость их распространения невелика.

Если бросить в воду легкий предмет, он не будет увлекаться волной, а начнет совершать колебания вверх и вниз, оставаясь примерно на одном месте, как поплавок. Это говорит о том, что частицы воды остаются на месте в то время, как волна распространяется на большие расстояния.

Если же резко толкнуть горизонтальную пружину, можно будет наблюдать, как в одних местах она разрежается, в других — уплотняется. Это тоже волна. Видно, что энергия, полученная от толчка руки, переносится через пружину, хотя ее частицы остаются на месте.

Примеры с поплавком на воде и горизонтальной пружиной позволяют сделать вывод, что волна переносит энергию, но не переносит вещество среды.

Виды механических волн

По характеру колебаний частиц среды относительно положения равновесия различают два вида волн:

Определения

1. Поперечная волна— волна, при которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения этой волны.
2. Продольная волна— волна, при которой частицы среды колеблются параллельно направлению распространения этой волны.

Волны, распространяющиеся вдоль резинового шнура, являются поперечными (см. рисунок ниже). Чтобы появилась волна, нужно взять конец шнура, прикрепленного к вертикальной опоре, и дернуть его. При этом волна побежит к вертикальной опоре, а сам шнур будет менять свою форму. Каждая частица шнура станет совершать колебания относительно своего неизмененного положения равновесия сверху вниз (перпендикулярно направлению распространения волны).

Рассмотрим поперечные волны подробнее. Каждый участок шнура обладает массой и упругостью. При деформации шнура в любом его сечении появляются силы упругости. Эти силы стремятся возвратить шнур в исходное положение. Благодаря инертности участок колеблющегося шнура не останавливается в положении равновесия, а проходит его, продолжая двигаться до тех пор, пока силы упругости не остановят этот участок в момент максимального отклонения от положения равновесия.

На рисунках а, б, в, г, д и е изображен процесс распространения поперечной волны. На них показаны положения частиц среды в последовательные моменты времени.

Теперь рассмотрим распространение в среде продольной волны. Такую волну можно наблюдать, собрав установку из цепочки массивных шариков, связанных пружинками. Шары подвешены так, чтобы они могли колебаться только вдоль цепочки (см. рисунок ниже).

Если первый шар привести в колебательное движение, то вдоль цепочки побежит продольная волна, состоящая из чередующихся уплотнений и разрежений шаров. Уплотнения и разрежения (см. рисунок ниже) появляются вследствие горизонтальных колебаний шаров у положения равновесия. Волна также распространяется горизонтально.

Физические характеристики волны

Обратимся к рисункам д, е еще раз. Видно, что когда частица 1 находится в положении равновесия и движется вверх, частица 13 тоже находится в положении равновесия и движется вверх. Спустя четверть период частица 1 будет максимально отклонена от положения равновесия, ровно, как и частица 13. Так как частицы 1 и 13 движутся одинаково, говорят, что колебания этих частиц происходят в одинаковых фазах. Расстояние между этими частицами называют длиной волны.

Внимание! В действительности частица 13 отстает по фазе от частицы 1 на 2π. Но поскольку такая разница фаз не приводит к различию в состояниях колеблющихся частиц, можно считать, что частицы колеблются в одинаковых фазах.

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах.

Длина волны обозначается как λ (лямбда). Единица измерения длины волны — метр (м).

Согласно рисунку е, в одинаковых фазах колеблются частицы 1 и 13, 2 и 14, 3 и 15, 4 и 16. Поэтому расстояния между этими частицами равно длине волны. Но частицы 1 и 7, находящиеся на расстоянии λ 2 . . , колеблются в противоположных фазах. Посмотрите на рисунок д: когда 1 частица находится в положении равновесия и движется вверх, частица 7 находится в положении равновесия и движется низ. На рисунке е обе частицы максимально отклонены от положения равновесия, но в противоположных направлениях.

Волна распространяется на расстояние λ за время, равное периоду колебаний частиц вещества. Зная расстояние, на которое распространилась волна, и время, в течение которого это распространение происходило, можно найти скорость волны:

Но мы знаем, что период равен величине, обратной частоте колебаний:

Тогда скорость распространения волны равна:

Скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний.

При распространении волны мы имеем дело с периодичностью двоякого рода:

1. Во-первых, каждая частица среды совершает периодические колебания во времени. В случае гармонических колебаний (эти колебания происходят по синусоидальному или косинусоидальному закону) частота постоянна и амплитуда одинакова во всех точках. Колебания отличаются только фазами.
2. Во-вторых, в данный момент времени форма волны повторяется в пространстве через отрезки длиной λ вдоль линии распространения волны. На рисунке ниже показан профиль волны в определенный момент времени (сплошная линия). С течением времени вся эта картина перемещается со скоростью v направо. Спустя промежуток времени ∆t волна будет иметь

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №1. Определите скорость распространение волны на поверхности воды, если расстояние между ее гребнями равно 1 метру. Учитывайте, что мимо наблюдателя за 5 секунд прошло 10 волн.

Обычно под волной на воде люди понимают гребни — частицы воды, максимально отклоненные от положения равновесия. Расстояние между гребнями равно длине волны. Чтобы найти скорость распространения волны, нужно знать частоту колебания молекул воды. Ее можно вычислить по следующей формуле:

где n — количество «волн», прошедших мимо наблюдателя.

Тогда скорость волны равна:

v = λ ν = λ n t . . = 1 · 10 5 . . = 2 ( м с . . )

Уравнение бегущей волны

Бегущая волна — волна, распространяющаяся в пространстве.

Колебания гармонической волны в любой точке происходят по гармоническому закону с одной и той же амплитудой. Найдем уравнение, описывающее колебательный процесс в любой точке пространства при распространении гармонической волны.

Будем рассматривать волну, бегущую по длинному тонкому резиновому шнуру. Ось Ox направим вдоль шнура, а начало отсчета свяжем с левым концом шнура. Смещение любой колеблющейся точки шнура от положения равновесия обозначим буквой s. Для описания волнового процесса необходимо знать значение s в любой точке шнура в любой момент времени. Следовательно, нужно знать вид функции:

Заставим конец шнура (точка х = 0) совершать гармонические колебания с частотой ω. Если начальную фазу колебаний считать равной 0, то колебания этой точки будут происходить по закону:

s = s m a x s i n ω t

s m a x — амплитуда колебаний (рис. а).

Колебания распространяются вдоль шнура (оси Ox) со скоростью v и в произвольную точку шнура с координатой х придут спустя время, которое можно определить следующим выражением:

Эта точка также начнет совершать гармонические колебания с частотой ω, но с запаздыванием на время τ (рис. б). Если пренебречь затуханием волны по мере ее распространения, то колебания в точке х будут происходить с той же амплитудой s_max, но с другой фазой:

Уравнение бегущей волны

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Это уравнение называется уравнением бегущей волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox.

Пример №2. Уравнение бегущей волны имеет вид s ( x , t ) = 0 , 1 sin . ( 2 π t − x π 2 . . ) . Найдите частоту волны, скорость её распространения и длину.

Запишем уравнение бегущей волны:

s = s m a x s i n [ ω ( t − τ ) ] = s m a x s i n [ ω ( t − x v . . ) ]

Сопоставляя эти два уравнения можно определить, что циклическая частота и скорость распространения соответственно равны:

ω = 2 π ( р а д с . . )

Циклическую частоту также можно рассчитать по формуле:

Тогда частота волны равна:

ν = ω 2 π . . = 2 π 2 π . . = 1 ( Г ц )

Тогда длина волны равна:

λ = v ν . . = 4 1 . . = 4 ( м )

На рисунке показан профиль бегущей волны в некоторый момент времени. Разность фаз колебаний точек 1 и 5 равна

Алгоритм решения

1. Определить характер движения указанных точек.
2. По характеру движения точек определить их разность фаз.

Решение

Точки 1 и 5 соответствуют максимальной амплитуде колебаний. В этот момент они меняют направление движения (до этого двигались вверх, теперь меняют направление в противоположную сторону). Поскольку точки 1 и 5 движутся одинаково, можно считать, что они колеблются в одинаковых фазах. Это возможно, если разность фаз кратна 2π.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Какова скорость звуковых волн в среде, если при частоте 400 Гц длина волны λ = 4 м?

Механические волны уравнение волны вектор умова

Для существования волны необходим источник колебания и материальная среда или поле, в которых эта волна распространяется. Волны бывают самой разнообразной природы, но они подчиняются аналогичным закономерностям.

По физической природе различают:

упругие, звуковые, волны на поверхности жидкости

свет, радиоволны, излучения

По ориентации возмущений различают:

Смещение частиц происходит вдоль направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сжатии;

могут распространяться в любых средах.

Смещение частиц происходит поперек направления распространения;

могут распростаняться только в упругих средах;

необходимо наличие в среде силы упругости при сдвиге;

могут распространяться только в твердых средах (и на границе двух сред).

Примеры: упругие волны в струне, волны на воде

По характеру зависимости от времени различают:

Упругие волны — механические возмещения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической (синусоидальной), если соответствующие ей колебания среды являются гармоническими.

Бегущие волны — волны, переносящие энергию в пространстве.

По форме волновой поверхности: плоская, сферическая, цилиндрическая волна.

Волновой фронт — геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени.

Волновая поверхность — геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Характеристики волны

Длина волны λ — расстояние, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний

Амплитуда волны А — амплитуда колебаний частиц в волне

Скорость волны v — скорость распространения возмущений в среде

Период волны Т — период колебаний

Частота волны ν — величина, обратная периоду

Уравнение бегущей волны

В процессе распространения бегущей волны возмущения среды доходят до следующих точек пространства, при этом волна переносит энергию и импульс, но не переносит вещество (частицы среды продолжают колебаться в том же месте пространства).

где v – скорость, φ₀ – начальная фаза, ω – циклическая частота, A – амплитуда

Свойства механических волн

1. Отражение волн – механические волны любого происхождения обладают способностью отражаться от границы раздела двух сред. Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду.

2. Преломление волн – при распространении механических волн можно наблюдать и явление преломления: изменение направления распространения механических волн при переходе из одной среды в другую.

3. Дифракция волн – отклонение волн от прямолинейного распространения, то есть огибание ими препятствий.

4. Интерференция волн – сложение двух волн. В пространстве, где распространяются несколько волн, их интерференция приводит к возникновению областей с минимальным и максимальным значениями амплитуды колебаний

Интерференция и дифракция механических волн.

Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении.

При наложении волн может наблюдаться явление интерференции. Явление интерференции возникает при наложении когерентных волн.

Когерентными называют волны, имеющие одинаковые частоты, постоянную разность фаз, а колебания происходят в одной плоскости.

Интерференцией называется постоянное во времени явление взаимного усиления и ослабления колебаний в разных точках среды в результате наложения когерентных волн.

Результат суперпозиции волн зависит от того, в каких фазах накладываются друг на друга колебания.

Если волны от источников А и Б придут в точку С в одинаковых фазах, то произойдет усиление колебаний; если же – в противоположных фазах, то наблюдается ослабление колебаний. В результате в пространстве образуется устойчивая картина чередования областей усиленных и ослабленных колебаний.

Условия максимума и минимума

Если колебания точек А и Б совпадают по фазе и имеют равные амплитуды, то очевидно, что результирующее смещение в точке С зависит от разности хода двух волн.

Если разность хода этих волн равна целому числу волн (т. е. четному числу полуволн) Δd = kλ , где k = 0, 1, 2, . то в точке наложения этих волн образуется интерференционный максимум.

Условие максимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 2x₀.

Если разность хода этих волн равна нечетному числу полуволн, то это означает, что волны от точек А и Б придут в точку С в противофазе и погасят друг друга.

Условие минимума:

Амплитуда результирующего колебания А = 0.

Если Δd не равно целому числу полуволн, то 0

Явление отклонения от прямолинейного распространения и огибание волнами препятствий называется дифракцией.

Соотношение между длиной волны (λ) и размерами препятствия (L) определяет поведение волны. Дифракция наиболее отчетливо проявляется, если длина набегающей волны больше размеров препятствия. Опыты показывают, что дифракция существует всегда, но становится заметной при условии d

Дифракция – общее свойство волн любой природы, которая происходит всегда, но условия её наблюдения разные.

Волна на поверхности воды распространяется в сторону достаточно большого препятствия, за которым образуется тень, т.е. волнового процесса не наблюдается. Такое свойство используется при устройстве волноломов в портах. Если же размеры препятствия сравнимы с длиной волны, то за препятствием будет наблюдаться волнение. Позади него волна распространяется так, как будто препятствия не было вовсе, т.е. наблюдается дифракция волны.

Примеры проявления дифракции. Слышимость громкого разговора за углом дома, звуки в лесу, волны на поверхности воды.

Стоячие волны

Стоячие волны образуются при сложении прямой и отраженной волны, если у них одинаковая частота и амплитуда.

В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения (суперпозиции) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.

Колебания струны. В закрепленной с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны, причем в местах закрепления струны должны располагаться узлы. Поэтому в струне возбуждаются с заметной интенсивностью только такие колебания, половина длины волны которых укладывается на длине струны целое число раз.

Отсюда вытекает условие

Длинам волн соответствуют частоты

n = 1, 2, 3. Частоты v n называются собственными частотами струны.

Гармонические колебания с частотами v n называются собственными или нормальными колебаниями. Их называют также гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение различных гармоник.

Уравнение стоячей волны:

В точках, где координаты удовлетворяют условию (n = 1, 2, 3, …), суммарная амплитуда равна максимальному значению – это пучности стоячей волны. Координаты пучностей:

В точках, координаты которых удовлетворяют условию (n = 0, 1, 2,…), суммарная амплитуда колебаний равна нулю – это узлы стоячей волны. Координаты узлов:

Образование стоячих волн наблюдают при интерференции бегущей и отраженных волн. На границе, где происходит отражение волны, получается пучность, если среда, от которой происходит отражение, менее плотная (a), и узел – если более плотная (б).

Если рассматривать бегущую волну, то в направлении ее распространения переносится энергия колебательного движения. В случае же стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях.

Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны.

Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.