Метод аппроксимации уравнением первого порядка

Аппроксимация дифференциальных уравнений

В основе методов численного решения дифференциальных уравнений, лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией. Простыми словами: чтобы решить дифференциальные уравнения нужно знать аппроксимацию дифференциальных уравнений.

Но перед тем, как мы приступим к рассмотрению дифференциального уравнения, сначала разберем аппроксимацию дифференциальных операторов, то есть производных первого и второго порядков.

Аппроксимация дифференциальных операторов

Рассмотрим производную функции u(x) в точке x_j:

Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:

с помощью левой конечной разности

с помощью центральной конечной разности

У каждой из этих разностей есть так называемый порядок аппроксимации.

Аппроксимация — это, по сути, приближение к реальному результату. Порядок же аппроксимации показывает порядок ошибки при этом приближении. Вот вам пример:
реальный ответ в задачи : 5
аппроксимация первого порядка показала ответ : 5.8
аппроксимация второго порядка показала ответ : 5.08

Исходя из этого, мы можем сделать совершенно простой вывод, что чем больше порядок аппроксимации, тем лучше сама аппроксимация той задачи, которая решается.

Возвращаясь к нашим разностям, отметим что левая и правая конечные разности имеют 1 порядок аппроксимации, а центральная конечная разность имеет 2 порядок аппроксимации. Значит центральная разность считает точнее, но не всегда удается использовать именно эту конечную разность, но об этом мы поговорим в следующих статьях.

Далее нам следует рассмотреть конечную разность для производной второго порядка:

она запишется следующим образом :

Пока вам все это может показаться непонятным и не самым интересным, но со временем вы это действительно поймете и будете экспертом в этой области.

Аппроксимация дифференциальных уравнений

Ну а теперь нам пора перейти к более сложному, но в тоже время важному занятию.
Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа:(если вы забыли, что это, то советую повторить это вот здесь)

В левой части стоит первая производная по времени, и ее можно аппроксимировать левой, правой или центральной конечной разностью, для примера мы возьмем левую.

В правой части стоит вторая производная по координате x, ее аппроксимируем разностью, которую рассматривали для производной второго порядка.

Свободный член так и останется.

В итоге после аппроксимации уравнение станет выглядеть вот так:

Это выражение называется разностной схемой. По правде говоря, это еще не полная разностная схема, но пока что вам нужно понять основы аппроксимации и выучить понятие порядка аппроксимации.

Для этой статьи, пожалуй, хватит. В следующих статьях мы подробнее изучим разностные схемы, а затем будем их программировать на языках C++ и VBA.

Методы аппроксимации переходных функций типовыми передаточными функциями первого и второго порядка

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Методы аппроксимации переходных функций типовыми передаточными функциями первого и второго порядка

Методы аппроксимации переходных функций объектов с самовыравниванием

Накопленный инженерный опыт показывает, что при аппроксимации экспериментальных данных аналитическими выражениями в большинстве случаев для объектов, обладающих самовыравниванием, можно ограничиться одним из следующих вариантов описания динамических свойств исследуемых объектов:

1) динамическим звеном второго порядка –

— ДУ;

— передаточная ф-я;

— переходная ф-я.

2) динамическим звеном второго порядка с одной постоянной времени –

— ДУ;

— передаточная ф-я;

— переходная ф-я.

3) динамическим звеном первого порядка —

— ДУ; — передаточная ф-я;

— переходная ф-я,

где К -коэффициент усиления или передачи; — время запаздывания; Т 0 ,Т 1 ,Т 2 , T — постоянные времени объекта.

В случаях, когда по анализу экспериментальных кривых разгона можно говорить об отсутствии запаздывания – в приведенных выражениях .

Время чистого запаздывания и коэффициент усиления К определяются обычными приемами непосредственно из графика кривой разгона. При этом при наличии начало оси времени сносят на соответствующее , которое потом учитывают путем домножения выражения для передаточной функции на множитель . Поэтому все методики предназначены для определения неизвестных значений постоянных времени. Наиболее распространенные способы определения значений постоянных времени можно классифицировать на: графические и интерполяционные .

Графические способы предполагают нахождение значений постоянных времени с помощью дополнительных графических построений на полученной кривой разгона.

Интерполяционные способы предполагают нахождение значений постоянных времени на основе пересчета по определенным контрольным точкам переходной характеристики.

При применении как графических, так и интерполяционных способов, как правило, проводят нормирование исходной переходной функции: .

Рассмотрим существо наиболее применимых способов определения постоянных времени объектов с самовыраниванием.

Методики определения передаточных функций типовых звеньев 2-го порядка.

Существо графических построений, проводимых на экспериментально полученной кривой разгона, заключается в следующем:

— на графике переходного процесса определяют точку перегиба – точку, в которой имеет максимальное значение. Так как переходные функции промышленных объектов, как правило, не имеют явно выраженной точки перегиба, то определение ее координат осуществляют следующим образом. В средней, наиболее быстро изменяющейся части графика берется 5-7 ординат через равные интервалы времени и вычисляются расстояния между ними . Далее находится максимальное из , определяется соответствующее ей и на графике находится точка .

— через точку перегиба проводится касательная линия до пересечения с осью абсцисс и линией . Отсекаемые данной касательной отрезки временной оси служат основой для расчета постоянных времени Т 1 ,Т 2 . Существует множество методов расчета. Один из них заключается в следующем. Непосредственно из графика находят (см. рис.1) и с помощью номограмм, приведенных на рис.2 определяют и b, а .

Рисунок 1 – Определение коэффициентов дифференциального уравнения 2-го порядка с помощью графических построений.

Рисунок 3 – Номограмма для определения коэффициентов дифференциального уравнения 2-го порядка по методике Орманна.

Рисунок 2 – Номограммы для определения коэффициентов дифференциального уравнения.

Существо интерполяционных методов рассмотрим на примере удобной для практики и достаточно полной интерполяционной методики определения постоянных времени уравнения 2-го порядка, разработанной Орманном.

Введем следующие обозначения:

; ; ; .

С учетом данных обозначений уравнение переходной функции для динамического звена второго порядка после выделения чистого запаздывания примет вид:

(1)

Исследуя кривые (1) для различных и Орманн пришел к выводу, что значению всегда соответствует . То есть

, . (2)

Орманн доказал, что погрешность расчета по формуле (2) не превосходит 1,7% при любых значениях T 1 и T 2 . Для нахождения постоянных времени было предложено по графику определять значения ординат , где , , , и в зависимости от их значений рассчитывать T 1 и T 2 с использованием номограмм (см. рис. 3), отражающих зависимости —

, , , где .

Общий алгоритм применения методики Орманна заключается в следующем:

1. По кривой разгона определяется , которому соответствует значение , и рассчитывается значение .

2. Рассчитывается и по нормированной кривой разгона определяется .

3. Проверяется выполнение условия . Если оно выполняется, то аппроксимацию кривой разгона осуществляют решением дифференциального уравнения второго порядка без дополнительного запаздывания (пункт 4). Если , то кривую разгона следует аппроксимировать решением дифференциального уравнения второго порядка с кратными корнями и дополнительным запаздыванием (пункт 5). Если , то кривая разгона может быть аппроксимирована решением ДУ первого порядка с дополнительным запаздыванием.

4. Для найденного значения по номограмме для (рис.3) определяют значение z 2 , а по нему . После чего рассчитывают постоянные T 1 и T 2 по формулам:

Затем проводят проверку адекватности аппроксимации. Для этого по номограмме (рис.3) для найденного определяют и , а по графику нормированной кривой разгона находят и . После чего рассчитывают оценки вида – . Если ошибка аппроксимации не превышает 2-3%, то такая аппроксимация принимается, в противном случае выполняют действия по пункту 5.

5. Из графика находят () и рассчитывают дополнительное запаздывание по формуле — . После этого рассчитывают значение постоянной времени по формуле — .

Затем проводят проверку адекватности аппроксимации. Для этого по графику нормированной кривой разгона находят , и сравнивают их с , . После чего рассчитывают оценки вида – . Аппроксимация считается адекватной, если ошибка не превышает 3%.

Методики определения передаточных функций типовых звеньев 1-го порядка.

Существо интерполяционной методики определения T 0 и , базирующейся на методике Орманна и предложенной Кругом и Мининой, заключается в следующем:

1. По нормированной кривой разгона находят значения при и при и вычисляют постоянную дополнительного запаздывания .

2. Вычисляют значение постоянной времени .

3. Проверяют адекватность аппроксимации. Для этого по графику нормированной кривой разгона находят , и сравнивают их с , . После чего рассчитывают оценки вида – . Аппроксимация считается адекватной, если ошибка не превышает 3%.

Методы аппроксимации переходных функций объектов без самовыравниванием

При аппроксимации экспериментальных данных объектов без самовыравнивания можно ограничиться одним из следующих типовых дифференциальных уравнений:

1) динамическим звеном 2-го порядка –

— ДУ,

, где k=1/T 0 — передаточная ф-я,

— переходная ф-я.

2) динамическим звеном 1-го порядка

— ДУ, — передаточная ф-я,

— переходная ф-я.

При аппроксимации таких кривых разгона также как и для объектов с самовыравниванием сразу выделяют время чистого запаздывания .

Если в объекте в момент скачкообразного изменения входной величины мгновенно устанавливается неизменная скорость выходной величины (рис.5), то такой объект можно моделировать вышеприведенными уравнениями для динамического звена 1-го порядка. Если скорость изменения устанавливается не сразу (рис.6), то в указанные уравнения вводят . При этом значения h(t) при не должны превышать величину, определяемую классом точности аппаратуры измерений. А в конечном выражении для передаточной функции общее запаздывание будет равно . В противном случае в качестве аппроксимирующей передаточной функции принимают функции, соответствующие ДУ 2-го и выше порядков.

Для нахождения k и T 1 используют графические методы.

Для кривой разгона, представленной на рис.5, , где А- амплитуда ступенчатого воздействия. Для кривой разгона, представленной на рис.6, в качестве используют тангенс угла наклона асимптоты к h(t), а равно отрезку оси абсцисс, отсекаемому асимптотой.

Рисунок 5 – Объект с мгновенно устанавливаемой неизменная скорость изменения выходной величины.

Рисунок 6 – Объект, в котором неизменная скорость изменения выходной величины устанавливается с задержкой.

Для нахождения параметров передаточных функций вида 2-го и выше порядков из графика кривой разгона определяют угол наклона асимптоты к оси абсцисс, величины h u и . Затем вычисляется и из номограмм, приведенных на рис.7 находится Т 1 . Из данных номограмм видно, что выражение, соответствующее звену 2-го порядка, будет адекватно при условии . Если данное неравенство не выполняется, то передаточная функция должна иметь вид — , где — постоянная чистого запаздывания.

Балакирев В.С. и др. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. М. Энергия , 1967, 232 с.

Аппроксимация функции одной переменной

Калькулятор использует методы регрессии для аппроксимации функции одной переменной.

Данный калькулятор по введенным данным строит несколько моделей регрессии: линейную, квадратичную, кубическую, степенную, логарифмическую, гиперболическую, показательную, экспоненциальную. Результаты можно сравнить между собой по корреляции, средней ошибке аппроксимации и наглядно на графике. Теория и формулы регрессий под калькулятором.

Если не ввести значения x, калькулятор примет, что значение x меняется от 0 с шагом 1.

Аппроксимация функции одной переменной

Линейная регрессия

Коэффициент линейной парной корреляции:

Средняя ошибка аппроксимации:

Квадратичная регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b и c:

Коэффициент корреляции:
,
где

Средняя ошибка аппроксимации:

Кубическая регрессия

Система уравнений для нахождения коэффициентов a, b, c и d:

Коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, средняя ошибка аппроксимации — используются те же формулы, что и для квадратичной регрессии.

Степенная регрессия

Показательная регрессия

Гиперболическая регрессия

Логарифмическая регрессия

Экспоненциальная регрессия

Вывод формул

Сначала сформулируем задачу:
Пусть у нас есть неизвестная функция y=f(x), заданная табличными значениями (например, полученными в результате опытных измерений).
Нам необходимо найти функцию заданного вида (линейную, квадратичную и т. п.) y=F(x), которая в соответствующих точках принимает значения, как можно более близкие к табличным.
На практике вид функции чаще всего определяют путем сравнения расположения точек с графиками известных функций.

Полученная формула y=F(x), которую называют эмпирической формулой, или уравнением регрессии y на x, или приближающей (аппроксимирующей) функцией, позволяет находить значения f(x) для нетабличных значений x, сглаживая результаты измерений величины y.

Для того, чтобы получить параметры функции F, используется метод наименьших квадратов. В этом методе в качестве критерия близости приближающей функции к совокупности точек используется суммы квадратов разностей значений табличных значений y и теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии.

Таким образом, нам требуется найти функцию F, такую, чтобы сумма квадратов S была наименьшей:

Рассмотрим решение этой задачи на примере получения линейной регрессии F=ax+b.
S является функцией двух переменных, a и b. Чтобы найти ее минимум, используем условие экстремума, а именно, равенства нулю частных производных.

Используя формулу производной сложной функции, получим следующую систему уравнений:

Для функции вида частные производные равны:
,

Подставив производные, получим:

Откуда, выразив a и b, можно получить формулы для коэффициентов линейной регрессии, приведенные выше.
Аналогичным образом выводятся формулы для остальных видов регрессий.

источники:

http://gigabaza.ru/doc/44575.html

http://planetcalc.ru/5992/