Метод деления пополам для решения уравнений программа

Метод деления пополам для решения уравнений программа

Составить программу на языке программирования С++ и блок-схему для решения следующей задачи: уточнить приближенное значение корня нелинейного уравнения f(x) = 0 на заданном отрезке [a,b] методом половинного деления (дихотомии) с точностью ε = 0.001.

Уравнение имеет вид: x 3 — 9x 2 + 20x – 11=0

Отрезок, на котором осуществляется поиск корня: [0; 1]

Блок-схема алгоритма поиска корня уравнения методом половинного деления (дихотомии)

Разработаем алгоритм программы поика решения уравнения на заданном отрезке в виде блок-схемы:

Текст программы решения задачи на С++

В среде программирования Borland C++ 7.0 вводим текст программы на Си ++:

#include
#include
// функция для вычисления f(х)
float f(float z)
<
return pow(z,3)+6*pow(z,2)+6*z-7;//возвращаемое значение
>

// главная функция
void main()
<
float a=-3.0, b=2.0, e=0.001, x;// объявление переменных
while (fabs(a-b)>=e) // цикл
<
// проверка на разные знаки по концам отрезка
if((f(a)>0&&f((a+b)/2) 0))
b=(a+b)/2;
else
if ((f((a+b)/2)>0&&f(b) 0))
a=(a+b)/2;
else
<
printf(«! Net kornej !»);
return;
getch();
>
>

x=(a+b)/2;// вычисление х после завершения цикла
printf(«x=%f F(x)=%f |a-b|=%f»,x,f(x),fabs(a-b)); // вывод результатов
getch();
>

Нажимаем клавиши CTRL+F9 для компиляции и запуска на выполнение программы. Получаем корень уравнения x≈0,834 :

Программа начинается с директив препроцессора, начинающихся с символа #, которые дают указание препроцессору подключить к программе заголовочные файлы с описанием тех или иных библиотечных функций. В данном случае подключается заголовочный файл stdio.h с описанием функций ввода-вывода, заголовочный файл math.h с описанием математических функций и заголовочный файл conio.h с описанием функции ожидания нажатия клавиши getch().

Программа состоит из двух функций: пользовательской функции f(x) и обязательной функции main(). Функция main() не возвращает никаких значений и поэтому она объявляется с ключевым словом void. В отличие от функции main(), функция f(x) возвращает вещественное значение и объявляется с ключевым словом float. Тела функций являются блоками и поэтому ограничены фигурными скобками.

В теле функции main() объявляются вещественные переменные a, b, e, х.
Далее используется оператор цикла while, в котором применяются условные операторы:
if (выражение) оператор 1; else оператор 2; которые позволяют проверить разные ли знаки у концов отрезка.
Использование вышеуказанной библиотечной функции printf() дает возможность вывести на стандартное устройство вывода (монитор) сообщение об отсутствии корней или сообщение с значением корня, значением функции в этой точке и модуль разности концов отрезка.
Тело функции main() зак¬рывается фигурной скобкой. На этом программа заканчивается.

Метод деления отрезка пополам

Метод бисекции или метод деления отрезка пополам – простой численный метод для решения нелинейного уравнения вида f(x) = 0.

Описание алгоритма

Метод применим для численного решения уравнения f(x) = 0 для действительной переменной x, где f(x) – непрерывная функция, определенная на интервале [a, b], а f(a) и f(b) имеют противоположные знаки. В этом случае говорят, что a и b заключают в скобки корень, поскольку по теореме о промежуточном значении непрерывная функция f(x) должна иметь хотя бы один корень в интервале (a, b).

На каждом шаге метод делит интервал на две части, вычисляя среднюю точку t = (a + b) / 2 интервала и значение функции f(t) в этой точке. Если только t не является корнем (что очень маловероятно, но возможно), теперь есть только две возможности: либо f(a) и f(t) имеют противоположные знаки и скобки для корня, либо f(t) и f(b) иметь противоположные знаки и заключать в скобки корень. Метод выбирает подинтервал, который гарантированно будет скобкой, в качестве нового интервала, который будет использоваться на следующем шаге. Таким образом, интервал, содержащий ноль f(x), уменьшается по ширине на 50% на каждом шаге. Процесс продолжается до тех пор, пока интервал не станет достаточно малым.

Если f(a) и f(t) имеют противоположные знаки, тогда метод устанавливает t как новое значение для b, а если f(b) и f(t) имеют противоположные знаки, то метод устанавливает t как новое значение а. Если f(t) = 0, то t может быть принято как решение, и процесс останавливается. В обоих случаях новые f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, поэтому метод применим к этому меньшему интервалу.

Реализация алгоритма

Метод можно применять к любой функции f(x)=0, для этого достаточно изменить локальный метод double f(double x) в коде программы.

Решение уравнений в EXCEL методом половинного деления, методом хорд и касательных.

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

• Если f(a)* f(b] \a, b\ существует, по крайней мере, один корень
• Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

1. а:=левая граница b:= правая граница
2. m:= (a+b)/2 середина
3. определяем f(a) и f(m)
4. если f(a)*f(m)
5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)