Метод дифференцирования одного из уравнений

Методы решения дифференциальных уравнений

Здесь мы рассмотрим методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Это уравнения, зависящие от одной независимой переменной, зависимой переменной, и ее производных:
.
Основные определения, относящиеся к дифференциальным уравнениям, изложены на странице Основные понятия и определения дифференциальных уравнений.

Мы считаем, что уравнения имеют решения в области задания переменных; Функции, заданные неявно можно разрешить относительно одной из переменной. Мы не проводим исследования этих и подобных вопросов. Здесь мы рассматриваем только методы решения.

Мы часто будем делить, и умножать уравнения на какие-то функции. В таких операциях нужно соблюдать осторожность. От этого могут появляться дополнительные решения, или исчезать имеющиеся. Например, если мы умножим все части уравнения на , то может появиться новое решение . Если мы разделим все части уравнения на , то может исчезнуть решение , если оно имелось в исходном уравнении. То есть, если мы умножаем или делим уравнение на некоторую функцию f , то всегда нужно особо рассматривать случай f = 0 . Здесь мы не будем заострять на этом внимание.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение и его интеграл

Далее, если это особо не оговорено, мы считаем, что x – это независимая переменная, а y – зависимая. То есть y есть функция от x : . Однако, в уравнениях первого порядка, мы можем легко менять роли переменных. То есть можно считать y независимой переменной, а x – зависимой. Но по умолчанию, x – это независимая переменная, а y – зависимая.

Пусть у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной. Запишем его в следующем виде:
(1) .
Здесь p и q – заданные функции двух переменных.

Далее рассмотрим уравнение:
(2) ,
где φ – некоторая функция двух переменных; C – постоянная, то есть число. Положим, что y есть функция от x : . Тогда будет уже сложной функцией от одной переменной x . Обозначим ее буквой : .
Перепишем уравнение (2), выразив левую часть через переменную x :
(3) .
Дифференцируем это уравнение по x , применяя правило дифференцирования сложной функции:
;
.
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее тот же вид, что и уравнение (1). Отсюда следует, что если , то функция , определяемая из уравнения , является решением исходного уравнения (1).

Заметим, что левая часть уравнения является производной от функции :
.
Тогда сама функция является интегралом по отношению к уравнению (1), точнее – к его левой части. По этой причине решение уравнения, записанного в виде , называется интегралом уравнения, а сам процесс решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Уравнения в дифференциалах

Воспользуемся свойством дифференциалов, согласно которому
.
Перепишем уравнение (1) и умножим его на dx :
(1) ;
(4) .
Мы получили уравнение, связывающее дифференциалы переменных x и y . По этой причине такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Такая форма записи называется уравнением в дифференциалах, или дифференциальной формой уравнения. Уравнения (1) и (4) эквивалентны. Можно использовать любую из этих форм.

Пусть
(5) ,
где – некоторая функция двух переменных. Подставим в (4):
(6) .
Отсюда видно, что левая часть уравнения (6) является дифференциалом функции : . Тогда уравнение (6) можно переписать в виде равенства нулю дифференциала:
.
Отсюда следует, что функция равняется постоянной, которую обозначим буквой C . Тогда общий интеграл уравнения (4), при условии (5), имеет вид:
(7) .

Уравнения в полных дифференциалах

Итак, мы нашли, что если в уравнении
(4) ,
функции p и q являются частными производными
(5)
от некоторой функции φ , то уравнение (4) имеет интеграл
(7) .
Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах.

Как правило интеграл уравнения (7) нам не известен, а известно лишь само уравнение, то есть известны функции и . Возникает вопрос, как по известным функциям p и q определить, что левая часть уравнения является полным дифференциалом? Оказывается, что сделать это достаточно просто. Для того, чтобы уравнение было в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
(8) .
Доказательство

Зная, что уравнение относится к классу уравнения в полных дифференциалах, мы можем найти функцию , применяя несколько методов. Рассмотрим метод последовательного выделения дифференциала. В этом методе, мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
;
;
;
.
Здесь и могут быть любыми функциями от и . Рассмотрим применение этого метода на конкретном примере.

Пример

Дано уравнение:
(П1) .
Требуется проверить, является ли это уравнение в полных дифференциалах. И если является, то решить его.

В нашем случае . Проверим, является ли это уравнение в полных дифференциалах. Находим частные производные.
;
.
Видно, что . То есть это уравнение в полных дифференциалах. Решаем его, последовательно выделяя дифференциал.

.
Итак, мы нашли эквивалентное (П1) уравнение
.
Отсюда получаем его общий интеграл:
.

Решать подобные уравнения можно также и методом последовательного интегрирования. Решение этим методом можно найти на странице Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Интегрирующий множитель

Итак, мы научились решать дифференциальные уравнения первого порядка
(4)
при условии
(8) .
Но если существует единственное решение уравнения (4), и условие (8) не выполняется, то оказывается, что существует такая функция , умножив на которую уравнение (4), оно становится уравнением в полных дифференциалах. Причем существует бесконечное множество таких функций. Доказательство

В качестве примера рассмотрим уравнение:
(П2) .
Перепишем его, сгруппировав члены:
.
Заметим, что . Поэтому разделим уравнение на , чтобы выделить полный дифференциал . При имеем:
.
Выделяем полный дифференциал:
;
.
Отсюда получаем общий интеграл исходного уравнения:
.
В уравнении (П2), интегрирующий множитель равен . Когда мы умножили на него уравнение, то оно стало уравнением в полных дифференциалах, которое мы и решили.

Заметим, что при умножении уравнения на множитель , мы получили другое уравнение. Оно эквивалентно исходному за исключением точек, в которых и . Уравнение корней не имеет. Поэтому этот случай отпадает. А уравнение имеет корень :
.
Поэтому умножение уравнения на множитель дает эквивалентное уравнение, за исключением точек . Другими словами, поскольку мы разделили уравнение на , то нужно проверить случай . Подстановкой в (П2) убеждаемся, что также является решением исходного уравнения. Поэтому общее решение имеет вид:
; .

В этом примере мы угадали, что если уравнение умножить на , то можно выделить полный дифференциал. Не смотря на то, что для любого уравнения, при условии существования его решения, интегрирующий множитель существует, у нас нет общего метода, который позволяет найти его для любого дифференциального уравнения. Можно попытаться это сделать, но для произвольного уравнения нет гарантии, что мы найдем интегрирующий множитель, и решим уравнение. К счастью есть несколько классов уравнений, для которых это сделать можно. Эти типы уравнений мы и рассмотрим.

Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение
(9) ,
где – некоторые заданные функции. Перепишем это уравнение в дифференциалах:
.
Разделим его на . При имеем:
(11) .
Уравнение имеет вид суммы, каждое слагаемое которой зависит только от одной переменной. Говорят, что переменные разделились, а уравнение (9), по этой причине, называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Нетрудно видеть, что уравнение (11) в полных дифференциалах. Действительно, поскольку множитель при dx не зависит от y , то . Поскольку множитель при dy не зависит от x , то .
Видно, что необходимое и достаточное условие для полных дифференциалов выполняется:
.

Таким образом мы нашли интегрирующий множитель: . Это позволяет нам выделить дифференциал и получить решение в квадратурах:
;
;
.
Отсюда получаем общий интеграл:
.

Пример

Решить уравнение:
(П3) .

Перепишем (П3) в дифференциалах:
.
Разделим на . При имеем:
.
Переменные разделились. Общий интеграл имеет вид:
.
Далее, см. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнения, приводящиеся к разделяющимся переменным

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида
,
где f – функция; a, b, c – постоянные. Для решения подобного уравнения нужно от переменной y перейти к новой переменной u , сделав подстановку .

Пример

Решить уравнение:
(П4.1)

От переменной y перейдем к переменной u . Делаем подстановку:
(П4.2) .
Здесь и – функции от x . Дифференцируем (П4.2) по x , и подставляем (П4.1):
;
.
Тем самым мы получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
См. далее Дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Однородные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид
.
Чтобы определить, является ли уравнение однородным, нужно сделать замену . Здесь t – постоянная. Если t сократится, то это однородное уравнение. Для его решения нужно от переменной y перейти к переменной u , сделав подстановку . После этого, уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример

Проверим, является ли это уравнение однородным. Сделаем замену . Считаем, что постоянная :
;
;
.
Постоянная t сократилась. Она также сократится, если считать . Это однородное уравнение. Переходим от переменной y к переменной u . Для этого делаем подстановку , где u – функция от x . Дифференцируем по x :
.
Подставляем в(П5):
;
;
.
При , берем знак ′+′ . При – знак ′–′ . Мы получили уравнение с разделяющимися переменными, решать которое мы уже умеем.
Далее см. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения, приводящиеся к однородным

Уравнение вида
.
приводится к однородному подстановками
,
где – новые переменные; – постоянные, которые выбираются из условий
.

Пример

От переменных x и y , переходим к переменным t и u . Делаем подстановку . Тогда ;
;
;
.
Решаем систему из двух линейных уравнений

Определив и , получаем однородное уравнение:
.
Метод решения такого уравнения мы только что рассмотрели. См. Дифференциальные уравнения первого порядка, приводящиеся к однородным

Обобщенные однородные уравнения

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида
.
Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену: . Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Для решения этого уравнения, нужно от переменной y перейти к переменной u , сделав подстановку . При этом уравнение сводится к разделяющимся переменным.

Пример

Проверим, является ли уравнение (П7) обобщенным однородным. Делаем замену: .
.
Подставляем в (П7):
.
Делим на :
.
Отсюда видно, что t сокращается, если положить .

Итак, мы нашли, что это обобщенное однородное уравнение с . Решаем его. От переменной y переходим к переменной u , выполняя подстановку .
;
;
.
Подставляем в (П7):
(П7) ;
;
;
;
.
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными.
См. далее Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные уравнения

Дифференциальные уравнения, вида
(11)
называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Решение с помощью интегрирующего множителя

Уравнение (11) имеет интегрирующий множитель .
См. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Продемонстрируем это на примере.

Пример

Это линейное уравнение первого порядка. Решаем его с помощью интегрирующего множителя. Разделим (П8.1) на x :
(П8.2) .
Тогда . Находим интегрирующий множитель :
; .
Пусть . Тогда . Умножаем (П8.2) на и выделяем полный дифференциал:
;
;
;
.
Отсюда , или .

Мы нашли интегрирующий множитель полагая, что . После умножения на него, мы получили уравнение в полных дифференциалах как при , так и при . При решении мы нигде не полагали, что . Это предположение нам потребовалось, только чтобы выбрать интегрирующий множитель. На самом деле, любое уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Поэтому, если бы мы в самом начале взяли , то получили бы множитель . И с его помощью, получили то же самое решение.

Решение методом Бернулли

Линейное уравнение первого порядка можно решить красивым приемом, введя две функции и , зависящие от переменной x . Сделаем подстановку . Тогда . Подставим в исходное уравнение (11):
(11) ;
;
(12) .
Наложим условие
(13) .
Уравнение (13) с разделяющимися переменными. Решаем его, и возьмем любое, отличное от нуля частное решение. Так мы определим функцию . Учитывая (13), уравнение (12) примет вид:
.
Теперь здесь уже известная функция, и это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем общее решение . Вместе с этим получаем общее решение исходного уравнения (11): .
Подробнее, см. Решение линейного ДУ первого порядка методом Бернулли

Решение методом Лагранжа

Метод Лагранжа интересен тем, что указывает путь поиска решения от простого к сложному. Рассмотрим линейное уравнение:
(11) .
Давайте его упростим. Сначала рассмотрим однородное уравнение – то есть уравнение с :
(14) .
Это уравнение с разделяющимися переменными, и мы можем его решить:
;
;
;
;
.
Заменим постоянную на C . Тогда общее решение примет вид:
(15) , где .

Теперь вернемся к исходному неоднородному уравнению (11). Попытаемся найти его решение, используя решение более простого, однородного уравнения (14). Для этого в (15) заменим постоянную C на функцию, зависящую от переменной x : . То есть будем искать решение в виде
.
Подставляя в (11), получим для дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, которое решается в квадратурах. Решив его, получаем решение исходного уравнения. Такой метод решения называется методом вариации постоянных, или методом Лагранжа.
См. Решение линейных ДУ первого порядка методом Лагранжа

Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:
,
где и – заданные функции от x . Можно убедиться, что оно сводится к линейному уравнению подстановкой .
См. Дифференциальное уравнение Бернулли и методы его решения

Однако его легче решать методом двух функций Бернулли. Для этого вводим две функции и . Ищем решение в виде . Одну из этих функций выбираем так, чтобы уравнение для другой функции превратилось в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Это уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций: . Тогда
. Подставляем в (П9.1):
;
(П9.2) .
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Выберем v так, чтобы выражение в круглых скобках равнялось нулю:
(П9.3) .
Тогда уравнение (П9.2) превратится в уравнение с разделяющимися переменными.

Решаем уравнение (П9.3). Разделяем переменные.
;
;
;
;
.
Возьмем решение , или .

Подставим в (П9.2), учитывая (П9.3), и разделяем переменные:
(П9.2) ;
;
;
.
При имеем:
;
;
;
;
;
.
Заменим постоянную интегрирования: . Тогда решение уравнения (П9.1) примет вид:
.

Теперь рассмотрим случай . Нетрудно увидеть, что это также решение уравнения (П9.2). Тогда является решением исходного уравнения. Получаем общее решение исходного уравнения:
.

Уравнения, не разрешенные относительно производной

Существует несколько типов уравнений, не разрешенных относительно производной, которые допускают решение. При этом они должны быть разрешены относительно одной из переменной. Далее перечислены типы этих уравнений, и даны ссылки на страницы с методами их решений.

Дифференциальные уравнения второго и высших порядков

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, не содержащие y в явном виде

Рассмотрим уравнения вида
.
Если сделать подстановку , то . То есть мы понизили на единицу порядок такого уравнения.
См. Дифференциальные уравнения, не содержащие функцию в явном виде

Уравнения, не содержащие x в явном виде

Рассмотрим уравнения, которые не содержат независимую переменную x в явном виде:
.
Мы можем понизить порядок таких уравнений, если от переменных x и y перейдем к независимой переменной y и зависимой переменной y′ . То есть, считаем, что все производные являются функциями от y .

Пример

Это уравнение не содержит независимую переменную x в явном виде. Переходим к новым переменным. Пусть независимой переменной является y , а зависимой y′ . Введем для нее обозначение:
. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, имеем:
.

Подставляем в (П10.1):
.
Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Далее, см. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Уравнения, однородные относительно функции и ее производных

Это уравнения вида
.
Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замены , и т.д. Если постоянная t сократится, то это уравнение однородное относительно функции и ее производных.

Для решения, мы от зависимой переменной y переходим к новой зависимой переменной u с помощью подстановки
,
где – функция от x .

Пример

Проверим, является ли это уравнение однородным относительно функции и ее производных. Заменим в исходном уравнении y на ty , y′ на ty′ , y′′ на ty′′ :
;
.
Постоянная t сокращается. Значит это уравнение однородное относительно функции и ее производных.

Делаем подстановку , где – функция от x .
.
(П11.1) ;
.
Делим на . При имеем:
;
;
.
Мы получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. См. далее ДУ высших порядков, однородные относительно функции и ее производных

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

В линейных уравнениях с постоянными коэффициентами, допускающими решение в аналитическом виде, можно сделать линейную подстановку, и понизить порядок уравнения. Однако проще воспользоваться свойствами линейных уравнений и решать их более простым методом.

Общие свойства линейных уравнений

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л1) ,
где – постоянные, то есть не зависящие от переменной x коэффициенты (числа). При этом . Это уравнение имеет n линейно независимых решений:
(Л2) .
Они называются фундаментальной системой решений. Когда n линейно независимых решений найдены, то общее решение однородного уравнения (Л1) имеет вид:
.

Теперь рассмотрим более общее – линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л3) ,
где – непрерывная функция на некотором отрезке . Тогда, на этом отрезке, уравнение (Л3) имеет решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, где – любые действительные числа; .

Пусть есть частное (любое) решение уравнения (Л3). Тогда общее решение неоднородного уравнения (Л3) равно сумме частного решения неоднородного уравнения, и общего решения однородного:
,
где – общее решение однородного уравнения (Л1).

Если, в уравнении (Л3), неоднородную часть можно представить в виде суммы p слагаемых:
,
то частное решение равно сумме отдельных частных решений: . Здесь – частное решение уравнения
.

Решение однородного уравнения

Рассмотрим линейное однородное ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л1) .
Чтобы найти его общее решение, нам нужно найти n линейно независимых решений. Или, как говорят, найти фундаментальную систему решений. Ищем решение в виде . Подставляя в (Л1), получаем уравнение степени n, которое называют характеристическим уравнением:
(Л4) .
Оно имеет n корней , и может быть записано в виде:
.
Каждому корню соответствует частное решение, входящее в состав фундаментальной системы. При этом корни могут быть кратными и комплексными. Рассмотрим правила составления линейно независимых решений.

Действительному единственному корню соответствует решение .
Действительному корню кратности p , соответствуют p линейно независимых решений:
.
Если есть единственный комплексный корень , то имеется и комплексно сопряженный корень . Им соответствуют два линейно независимых решения
.
Если есть кратный комплексный корень кратности p , то имеется и комплексно сопряженный корень, кратности p : . Им соответствуют 2 p линейно независимых решений
;
;
;
.
.

Пример

Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение и преобразуем его:
;
(П12.2) .
Решаем квадратное уравнение :
.
Перепишем характеристическое уравнение (П12.2) в эквивалентном виде:
.
Корням кратности 2 соответствуют два линейно независимых решения:
;
.
Комплексно сопряженным корням , соответствуют решения
.
Общее решение:
.

Решение уравнений со специальной неоднородностью

Рассмотрим, часто встречающееся в приложениях, линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородностью:
(Л5.1) ,
где правая часть представлена в виде произведений степенной функции, экспоненты, косинусов и синусов:
(Л5.2) .
Здесь – многочлены степеней и , соответственно.

Общее решение (Л5.1) – (Л5.2) имеет вид:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения (с ); – частное решение неоднородного уравнения (Л5.1)–(Л5.2). Как найти общее решение , мы рассмотрели в предыдущем пункте. Изложим метод нахождения частного решения.

Ищем методом неопределенных коэффициентов. Известно, что для уравнения (Л5.1) – (Л5.2), частное решение имеет следующий вид:
(Л6) .
Здесь ; и – многочлены степени s . Если среди корней характеристического уравнения (Л4) ⇑ нет корня , то . Если такой корень есть, то m – его кратность.

Метод нахождения частного решения заключается в том, что мы ищем решение в виде (Л6). Для этого записываем многочлены в общем виде:
;
.
Здесь коэффициенты (числа), которые нужно определить. Далее мы выписываем (Л6) в общем виде:

.
Находим n производных , и подставляем их выражения в исходное уравнение (Л5.1) – (Л5.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями , и членов с множителями . Здесь . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями , и членов с множителями . При этом часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, мы определяем неизвестные коэффициенты .

Если , то правая часть имеет более простой вид:
(Л5.3) .
Тогда частное решение содержит неопределенных коэффициентов:
.
Здесь , если характеристическое уравнение (Л4) ⇑ не имеет действительного корня . Если характеристическое уравнение имеет действительный корень , то m – его кратность.
Далее находим выражения для n производных , и подставляем их в исходное уравнение (Л4.1) – (Л4.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями . Часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, мы определяем неизвестные коэффициенты .

Наконец, если и , и , то
(Л5.4) .
Частное решение, как и в предыдущем случае, имеет неопределенных коэффициентов:
.
Если характеристическое уравнение не имеет действительного корня , то . Если характеристическое уравнение имеет такой корень, то m – его кратность. Находим выражения для n производных ; подставляем их в исходное уравнение (Л4.1) – (Л4.2). В левой части мы получим сумму из членов с множителями . В правой, неоднородной части, также имеется членов с множителями . Часть из них может равняться нулю. Приравнивая коэффициенты при этих множителях, получим систему из уравнений, решая которую, определяем неизвестные коэффициенты .

Решение неоднородных уравнений общего вида

Теперь рассмотрим методы решения линейного неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами с неоднородностью общего вида:
(Л3) .
В отличие от предыдущего случая со специальной неоднородностью, в этом разделе мы считаем, что неоднородность имеет произвольный вид.

Решение методом Бернулли

Метод Бернулли заключается в том, что мы ищем решение уравнения
(Л3)
в виде произведения двух функций и , зависящих от переменной x :
.
Если в качестве v взять частное решение однородного уравнения
,
то такая подстановка приводит к понижению порядка исходного уравнения (Л3).

Пример

Ищем решение в виде произведения двух функций; подставляем в уравнение (П13.1) и группируем члены:
(П13.2) ;
;
.
(П13.1) ;
;
(П13.3) ;

Решаем однородное уравнение
(П13.4) .
Ищем решение в виде . Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
Получаем два кратных корня . Общее решение уравнения (П13.4):
.
В качестве v мы можем взять любое, отличное от нуля решение. Поэтому положим
. Тогда ; .

Понижение порядка линейной подстановкой

Порядок линейного уравнения с постоянными коэффициентами можно понизить с помощью подстановки . Более подробно этот материал изложен на странице «Понижение порядка в линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами». Здесь мы рассмотрим пример применения этого метода.

Пример

Решить уравнение, применяя линейную подстановку
(П14.1)

Перепишем левую часть уравнения (П14.1), введя оператор дифференцирования :
.
Подставим в (П14.1). Исходное уравнение принимает вид
.
Сделаем подстановку . В результате для переменной u получаем уравнение первого порядка:
;
.

Итак, подстановкой
(П14.2) ,
мы получили уравнение первого порядка:
(П14.3) .

Решаем уравнение (П14.3), умножая его на интегрирующий множитель :
;
;
;
;
.

Подставляем в уравнение (П14.2) и решаем его с помощью интегрирующего множителя .
;
;
;
;
;
.

Метод вариации постоянных Лагранжа

Выпишем еще раз линейное неоднородного ДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(Л3) .
Метод вариации постоянных, который мы применили для уравнения первого поряддка, также применим и для уравнений произвольного порядка.

Для решения уравнения (Л3), мы вначале решаем однородное уравнение
.
Получаем его общее решение, которое имеет вид:
(Л7) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от x . То есть заменяем постоянные на некоторые, пока не известные, функции . Подставляем в (Л7), и ищем решение исходного уравнения (Л3) в следующем виде:
(Л8) .
Подставляем (Л8) в (Л3). При этом на функции накладываем дополнительные ограничения:
.
В результате получаем систему n линейных уравнений относительно неизвестных . Решая эту систему, получаем значения производных , как функций от x . Интегрируя, получаем выражения для самих функций . Подставляя в (Л8), получаем общее решение исходного уравнения (Л3).

Уравнение Эйлера

Уравнение
(Л9)
называется дифференциальным уравнением Эйлера. Подстановкой
(Л10)
оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами.

В некоторых случаях, уравнение Эйлера проще решать напрямую, не прибегая к подстановке (Л10). При решении неоднородного уравнения, к уравнению Эйлера применимы методы двух функций Бернулли, и метод вариации постоянных Лагранжа.

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(Л11) .
Его тоже проще решить без подстановки (Л10). Для этого мы ищем решение в виде . Находим производные, и подставляем в уравнение (Л11). В результате получаем характеристическое уравнение степени n . Оно имеет n корней.

Действительному корню , кратности p , соответствуют p линейно независимых решений
;
.
Если есть комплексный корень кратности p , то есть и комплексно сопряженный корень кратности p . Им соответствуют линейно независимых решений
;
;
.
.
Определив фундаментальную систему решений , получаем общее решение однородного уравнения (Л11):
.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Л.Э. Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., 1969.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 31-05-2020

Дифференциальные уравнения первого порядка с примерами решения и образцами выполнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

связывающее независимую переменную х, искомую функцию у = у(х) и ее производные у'(х), у»(х), … , (наличие хотя бы одной производной обязательно). Здесь — заданная функция своих аргументов.

Замечание:

Обозначения зависимой и независимой переменных через х и у, используемые в приведенном определении, не являются жесткими; часто в качестве независимой удобно брать переменную t, иными буквами обозначают и зависимую переменную (см. ниже пример 2).

В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция у = у(х) есть функция одной независимой переменной x. Если искомая функция есть функция двух (и более) независимых переменных, то имеем дифференциальное уравнение с частными производными. В этой и двух следующих главах мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

где f(x) — известная непрерывная на некотором интервале (а, b) функция, а у = у(х) — искомая функция. С таким уравнением мы уже встречались в интегральном исчислении, когда поданной функции f(x) требовалось найти ее первообразную F(x). Как известно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид

где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на интервале (а, Ь), а С — произвольная постоянная. Таким образом, искомая функция у = у(х) определяется из уравнения (2) неоднозначно.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например,

— дифференциальное уравнение 1-го порядка;

— дифференциальное уравнение 2-го порядка;

— дифференциальное уравнение пятого порядка.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (а, b) называется всякая функция имеющая на этом интервале производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество по х на интервале (а, b).

Например, функция у = sin х является решением дифференциального уравнения второго порядка

на интервале В самом деле, Подставив в данное уравнение найденные значения получим —

Задача:

Найти совпадающие решения двух дифференциальных уравнений (не решая самих уравнений):

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. К составлению и интегрированию дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так и других наук (физики, химии, биологии и т. п.).

Пример:

Найти такую кривую, чтобы тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке численно равнялся ординате точки касания.

— уравнение искомой кривой. Как известно, tg а = у'(х) и, значит, определяющее свойство кривой есть

— дифференциальное уравнение первого порядка. Нетрудно видеть, что функция

Есть решение этого уравнения. Оно также имеет очевидное решение у = 0. Кроме того, решениями будут функции

где С — произвольная постоянная, так что уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Найти закон прямолинейного движения материальной точки, движущейся с постоянным ускорением а.

Требуется найти формулу выражающую пройденный путь как функцию времени. По условию имеем

— дифференциальное уравнение второго порядка. Последовательно находим:

Произвольные постоянные можно определить, если положить

В самом деле, полагая t = to в первом из соотношений (*), получаем = Из второго соотношения (*) при t = tо имеем

Подставляя найденные значения C1 и С2 в выражение для функции s(t), приходим к известному закону движения материальной точки с постоянным ускорением:

Эквивалентные дифференциальные уравнения. Задача Коши

Пусть имеем дифференциальное уравнение первого порядка

Если в этом уравнении удается выразить производную у’ через х и у, то получаем уравнение

разрешенное относительно производной. Здесь f — заданная функция своих аргументов.

Наряду с уравнением (1) рассматривают эквивалентное ему дифференциальное уравнение

или уравнение более общего вида

получаемое из (1′) путем умножения на некоторую функцию известные функции своих аргументов).

Два дифференциальных уравнения

называются эквивалентными в некоторой области D изменения величин х, у, у’, если всякое решение одного из этих уравнений является решением другого уравнения и наоборот. При преобразовании дифференциальных уравнений надо следить затем, чтобы преобразованное уравнение было эквивалентным исходному.

Если дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество его решений оказывается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение

имеет только одно решение

y = х,

вообще не имеет действительных решений.

Чтобы выделить определенное решение уравнения (1), надо задать начальное условие, которое заключается в том, что при некотором значении Xо независимой переменной х заранее дано значение Yo искомой функции у(х):

Геометрически это означает, что задается точка через которую должна проходить искомая интегральная кривая.

Задачу отыскания решения у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называют задачей Коши (начальной задачей) для уравнения (1).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения у’ = f(x, у)

Теорема:

Существования и единственности решения. Пусть имеем дифференциальное уравнение

и пусть функция f(x,y) определена в некоторой области D на плоскости хОу. Выберем произвольную точку Если существует окрестность этой точки, в которой функция f(x,y)

1) непрерывна по совокупности аргументов;

2) имеет ограниченную частную производную то найдется интервал на котором существует, и притом единственная, функция являющаяся решением уравнения (1) и принимающая при X = Xo значение Yо (рис. 1)

Геометрически это означает, что через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (1).

Теорема 1 имеет локальный характер: она гарантирует существование единственного решения уравнения (1) лишь в достаточно малой окрестности точки х0. Из теоремы 1 вытекает, что уравнение (1) имеет бесконечное множество различных решений (например, одно решение, график которого проходит через точку (Xo, Yо); другое решение, когда график проходит через точку (Xо, Y1 ) и т. д.).

Пример:

у’ = х + у

f(x,y) = x + у

определена и непрерывна во всех точках плоскости хОу и имеет всюду В силу теоремы 1 через каждую точку (Xо, Yо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая этого уравнения.

Пример:

определена и непрерывна на всей плоскости хОу. Здесь

так что второе условие теоремы 1 нарушается в точках оси Ох. Нетрудно проверить, что функция

где С — любая постоянная, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет очевидное решение

Если искать решения этого уравнения, соответствующие условию у(0) = 0, то таких решений найдется бесчисленное множество, а частности, следующие (рис. 2):

Таким образом, через каждую точку оси Ох проходят по крайней мере две интегральные кривые и, следовательно, в точках Этой оси нарушается единственность.

Если взять точку М1 (1,1), то в достаточно малой ее окрестности выполнены все условия теоремы 1. Следовательно, через данную точку в малом квадрате проходит единственная интегральная кривая

уравнения Если квадрат взять достаточно большим (подумайте, каким), то в нем единственность решения уже не будет иметь места. Это подтверждает локальный характер теоремы 1.

Теорема 1 дает достаточные условия существования единственного решения уравнения у’ = f(x,y). Это означает, что может существовать единственное решение у = у(х) уравнения у’ = f(x, у), удовлетворяющее условию хотя в точке (Xo, Yо) не выполняются условия 1) или 2) теоремы или оба вместе.

Пример:

В точках оси Ох функции разрывны, причем

Но через каждую точку (Хо, 0) оси Ох проходит единственная интегральная кривая

Замечание:

Если отказаться от ограниченности то получается следующая теорема существования решения.

Теорема:

Если функция f(x, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (х0, уо), то уравнение у’ = f(x, у) имеет в этой окрестности по крайней мере одно решение принимающее при х = х0 значение у0.

Задача:

Найти интегральную кривую уравнения

проходящую через точку О (0,0).

Задача:

Найти решение задачи Коши

Определение:

Общим решением дифференциального уравнения

в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши называется однопараметрическое семейство S функций зависящих от переменной х и одной произвольной постоянной С (параметра), такое, что

1) при любом допустимом значении постоянной С функция является решением уравнения (1):

2) каково бы ни было начальное условие можно подобрать такое значение С0 постоянной С, что решение будет удовлетворять начальному условию

При этом предполагается, что точка (Хо, Уо) принадлежит области существования и единственности решения задачи Коши.

Пример:

Показать, что общим решением дифференциального уравнения

у’ = 1

у = х + С,

где С — произвольная постоянная.

В данном случае f(x, у) = 1, и условия теоремы 1 выполняются всюду. Следовательно, через каждую точку (Хо, Уо) плоскости хОу проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Проверим, что функция

у = х + С

удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в определении общего решения. Действительно, при любом С имеем

у’ = (х + С)’ = 1,

так что у = х + С есть решение данного уравнения. Потребовав, чтобы при Х = Хо решение принимало значение Уо, приходим к соотношению Уо = Хо + Со. откуда

Решение у = х + Уо — Хо, или

удовлетворяет поставленному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения (1) называется решение, получаемое из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной С (включая ). Таким образом, общее решение этого дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения.

В процессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто приходим к уравнению

неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение (2) называют общим интегралом дифференциального уравнения (1).

где — некоторое конкретное значение постоянной С, называется частным интегралом.

Замечание:

Название происходит от того, что для простейшего дифференциального уравнения вида

его общее решение действительно записывается при помощи обычного неопределенного интеграла

Пример:

Общий интеграл уравнения

имеет следующий вид

В дальнейшем для краткости мы будем иногда говорить, что решение уравнения проходит через некоторую точку если точка лежит на графике этого решения.

Определение:

дифференциального уравнения (1) называется особым, если в каждой его точке нарушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку кроме этого решения проходит и другое решение уравнения (1), не совпадающее с в сколь угодно малой окрестности точки .

График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Геометрически это — огибающая семейства интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемых его общим интегралом.

Если для дифференциального уравнения (1) в некоторой области D на плоскости хОу выполнены условия теоремы 1, то через каждую точку проходит единственная интегральная кривая уравнения. Эта кривая входит в однопараметрическое семейство кривых

образующих общий интеграл уравнения (1), и получается из этого семейства при конкретном значении параметра С, т.е. является частным интегралом уравнения (1). Никаких других решений, проходящих через точку , здесь быть не может. Следовательно, для существования особого решения у уравнения (1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы 1. В частности, если правая часть уравнения (1) непрерывна в рассматриваемой области D, то особые решения могут проходить только через те точки, где производная становится бесконечной.

Напомним, что огибающей семейства кривых называется такая кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых из этого семейства.

Например, для уравнения

функция непрерывна всюду, но производная обращается в бесконечность при у = 0, т. е. на оси Ох плоскости хОу. Уравнение (3) имеет общее решение

— семейство кубических парабол — и очевидное решение

проходящее через те точки, где производная не ограничена. Решение — особое, так как через каждую его точку проходит и кубическая парабола, и сама эта прямая у = 0 (см. рис. 2). Таким образом, в каждой точке решения нарушается свойство единственности. Особое решение не получается из решения ни при каком числовом значении параметра С (включая ).

Из теоремы 1 можно вывести только необходимые условия для особого решения. Множество тех точек, где производная не ограничена, если оно является кривой, может и не быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря, не является интегральной кривой уравнения (1). Если, например, вместо уравнения (3) взять уравнение

то в точках прямой у = 0 по-прежнему нарушается условие ограниченности производной , но эта прямая, очевидно, не является интегральной кривой уравнения (4).

Итак, чтобы найти особые решения уравнения (1), надо

1) найти множество точек, где производная обращается в бесконечность;

2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверить, являются ли они интегральными кривыми уравнения (1);

3) если это интегральные кривые, проверить, нарушается ли в каждой их точке свойство единственности.

При выполнении всех этих условий найденная кривая представляет собой особое решение уравнения (1).

Задача:

Найти особые решения уравнения

Приближенные методы интегрирования уравнения у’ = f(x, у)

Метод изоклин

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D на плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы 1. Это уравнение определяет в каждой точке (х, у) области D значение у’, т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Говорят, что уравнение (1) определяет в области D поле направлений. Чтобы его построить, надо в каждой точке представить с помощью некоторого отрезка направление касательной к интегральной кривой в этой точке, определяемое значением

Совокупность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений. Задача интегрирования дифференциального уравнения (1) может быть теперь сформулирована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела направление, совпадающее с направлением поля в этой точке. Такое истолкование дифференциального уравнения и его интегрирования дает графический способ решения уравнения.

Для построения интегральных кривых пользуются изоклинами. Изоклиной называется множество всех точек плоскости хОу, в которых касательные к искомым интегральным кривым имеют одно и то же направление (у’ = const).

Из этого определения следует, что семейство изоклин дифференциального уравнения (1) задается уравнением

где к — числовой параметр. Если придать параметру к близкие числовые значения, можно найти достаточно густую сеть изоклин и приближенно построить интегральные кривые дифференциального уравнения.

Пример:

по способу изоклин.

Семейство изоклин данного уравнения определяется уравнением

Полагая к = 0, + 1, — 1,…, получаем изоклины

по которым строим интегральные кривые уравнения (рис. 4).

определяет множество возможных точек экстремума интегральных кривых (прямая x = 0 в примере 1).

Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление вогнутости и точки перегиба этих кривых (если такие точки существуют). Для этого находят у» в силу уравнения (1):

Знак правой части определяет знак у», т. е. направление вогнутости интегральных кривых. Линия, заданная уравнением

есть множество всех возможных точек перегиба интегральных кривых.

В примере 1 имеем

поэтому все интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, и точек перегиба интегральных кривых нет.

Метод последовательных приближений

Пусть имеем дифференциальное уравнение

где функция f(x, у) в некоторой области D изменения х, у удовлетворяет условиям теоремы 1, и пусть точка . Решение задачи Коши

равносильно решению некоторого интегрального уравнения, т. е. уравнения, в которое неизвестная функция входит под знаком интеграла. В самом деле, пусть

— решение уравнения (2), заданное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее начальному условию (3). Тогда при имеет место тождество

Проинтегрируем это тождество по х

Отсюда учитывая (3), получаем

так что решение у(х) задачи Коши удовлетворяет интефальному уравнению

Обратно: если непрерывная функция удовлетворяет интегральному уравнению (4), то, как легко проверить, у(х) является решением задачи Коши (2)-(3).

Решение интегрального уравнения (4) для всех х, достаточно близких к , может быть построено методом последовательных приближений по формуле

причем в качестве можно взять любую непрерывную на отрезке функцию, в частности,

Пример:

Методом последовательных приближений решить задачу Коши

Сводим данную задачу к интегральному уравнению

Выбирая за нулевое приближение функцию

Легко видеть, что функция есть решение задачи.

Численные методы решения задачи Коши Метод Эйлера

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике функция f(x, у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (1)-(2) существует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

Численное решение задачи (1)-(2) состоит в построении таблицы приближенных значений решения задачи в точках Чаще всего выбирают Точки Хк называют узлами сетки, а величину h > 0 — шагом сетки. Так как по определению производная есть предел разностного отношения то, заменяя производную этим отношением, вместо дифференциального уравнения (1) получим разностное уравнение (разностную схему Эйлера)

Отсюда последовательно находим значения учитывая, что — заданная величина.

В результате вместо решения у = у(х) мы находим функцию

дискретного аргумента (сеточную функцию), дающую приближенное решение задачи (1)-(2). Геометрически искомая интегральная кривая у = у(х), проходящая через точку заменяется ломаной Эйлера с вершинами в точках (см. рис. 5).

Метод Эйлера относится к группе одно-шаговых методов, в которых для вычисления точки требуется знание только предыдущей вычисленной точки Для оценки погрешности метода на одном шаге сетки разложим точное решение у = у(х) в окрестности узла по формуле Тейлора

Сравнение формул (4) и (5) показывает, что они совпадают до членов первого порядка по h включительно, а погрешность формулы (4) равна Поэтому говорят, что метод Эйлера имеет первый порядок.

Пример:

Методом Эйлера решить задачу Коши

на отрезке |0; 0,5] с шагом h = 0,1.

В данном случае Пользуясь формулой (4),

и т. д. Результаты вычислений сведем в таблицу

Замечание:

Если рассмотреть задачу Коши

на любом отрезке [0, a] с любым шагом h > 0, то получим так что в этом случае ломаная Эйлера «распрямляется» и совпадает с прямой у = х + 1 — точным решением поставленной задачи Коши.

Понятие о методе Рунге—Кутта

Метод Эйлера весьма прост, но имеет низкую точность. Точность решения можно повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма распространенными на практике являются схемы Рунге—Кутта.

Пусть опять требуется решить задачу Коши (1)-(2). Будем строить таблицу приближенных значений решения у = у(х) уравнения (1) в точках (узлах сетки).

Рассмотрим схему равноотстоящих узлов шаг сетки. В методе Рунге—Кутта величины вычисляются по следующей схеме

Некоторые виды уравнений, интегрируемых в квадратурах

В общем случае, даже зная, что решение уравнения существует, отыскать его довольно трудно. Однако существуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы получения решений которых особенно просты (при помощи интегралов от элементарных функций). Рассмотрим некоторые из них.

Уравнения с разделяющимися переменными

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь f1(y), f2(x) — известные непрерывные функции своих аргументов.

Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть — первообразные функции соответственно. Равенство (1) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать

Отсюда следует, что

где С — произвольная постоянная.

Разрешая последнее уравнение (2) относительно у, получим функцию (может быть, и не одну)

которая обращает уравнение (1) в тождество и значит, является его решением.

— уравнение с разделенными переменными. Записав его в виде

и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения:

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от x и только от у, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как путем деления на оно приводится к уравнению с разделенными переменными

Пример:

Деля обе част уравнения на приведем его к виду

Интегрируя обе части полученного равенства, найдем

Заметим, что деление на может привести к потере решений, обращающих в нуль произведение .

Например, разделяя переменные в уравнении

а после интегрирования —

(здесь С может принимать как положительные, так и отрицательные значения, но При делении на у потеряно решение

которое может быть включено в общее решение у = Сх, если постоянной С разрешить принимать значение С = 0.

Если считать переменные х и у равноправными, то уравнение

теряющее смысл при х = 0, надо дополнить уравнением

которое имеет очевидное решение х = 0.

В общем случае наряду с дифференциальным уравнением

следует рассматривать уравнение

используя уравнение (4′) там, где уравнение (4) не имеет смысла, а уравнение (4′) имеет смысл.

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Например, уравнение вида

где f(x) — непрерывная функция своего аргумента, a, b, с — постоянные числа, подстановкой z = ах + by + с преобразуется в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

После интегрирования получаем

Заменяя в последнем соотношении z на ах + by + с, найдем общий интеграл уравнения (5).

Пример:

Положим z = x + y, тогда

Интегрируя, находим или

Подставляя вместо z величину х + у, получаем общее решение данного уравнения

Пример:

Известно, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству х еще не распавшегося вещества. Найти зависимость х от времени t, если в начальный момент имелось вещества.

Дифференциальное уравнение процесса

Здесь к > 0 — постоянная распада — предполагается известной, знак «-» указывает на уменьшение х при возрастании t. Разделяя переменные в уравнении (») и интегрируя, получаем

Учитывая начальное условие находим, что поэтому

Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (*). Уравнение

отличающееся лишь знаком правой части от уравнения (*), описывает лавинообразный процесс размножения, например «размножение» нейтронов в цепных ядерных реакциях или размножение бактерий в предположении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение уравнения (»»»), удовлетворяющее условию имеет вид

и в отличие от решения уравнения (**) возрастает с возрастанием t. Уравнения (*) и (***) можно объединить в одно

которое дает простейшую математическую модель динамики популяций (совокупности особей того или иного вида растительных или животных Организмов). Пусть y(t) — число членов популяции в момент времени t. Если предположить, что скорость изменения популяции пропорциональна величине популяции, то мы приходим к уравнению (****). Положим k=m-n, где m — коэффициент относительной скорости рождаемости, a n — коэффициент относительной скорости умирания. Тогда к > 0 при m > n и k

при к

Уравнение динамики популяции в этой модели имеет вид

Это так называемое логистическое уравнение — фундаментальное уравнение в демографии и в математической теории экологии. Оно применяется в математической теории распространения слухов, болезней и других проблемах физиологии и социологии. Разделяя переменные в последнем уравнении, получаем

и выражая у через t, окончательно получаем

Считая, что найдем уравнение логистической кривой

При а > 0 и А > 0 получаем, что Логистическая кривая содержит два параметра А и а. Для их определения надо иметь два дополнительных значения y(t) при каких-то t1 и t2.

Уравнения, однородные относительно x и у

Функция f(x, у) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом допустимом t справедливо тождество

Например, для функции

так что — однородная функция относительно переменных x и у второго измерения.

так что есть однородная функция нулевого измерения. Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным относительно х и у, если функция f(x, у) есть однородная функция нулевого измерения относительно переменных х и у.

Пусть имеем дифференциальное уравнение

однородное относительно переменных х и у. Положив в тождестве f(tx, ty) = f(x, у), получим

т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Обозначая видим, что однородное относительно переменных х и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде

При произвольной непрерывной функции переменные не разделяются. Введем новую искомую функцию формулой Подставляя выражение в уравнение (6), получаем

Деля обе части последнего равенства на и интегрируя, находим

Заменяя здесь и на его значение получаем общий интеграл уравнения (6).

Пример:

Положим и уравнение преобразуется к виду

Интегрируя, найдем или

Пример:

Найти форму зеркала, собирающего пучок параллельно падающих на него лучей в одну точку.

Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности вращения все нормали к поверхности проходят через ось вращения.

Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы лучи были параллельны оси Ох и чтобы точкой, в которой собирались бы отраженные лучи, явилось бы начало координат. Найдем форму сечения зеркала плоскостью хОу. Пусть уравнение сечения есть (рис.6). В точке М (х,у) падения луча L на зеркало проведем касательную BN к сечению и обозначим ее угол с осью Ох через а. Пусть N — точка пересечения этой касательной с осью Ох. По закону отражения углы NMO и BML равны. Нетрудно видеть, что угол МОР равен 2а. Так как то во всякой точке кривой выполняется соотношение

— дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение относительно производной, получаем два однородных уравнения:

Первое из них путем замены преобразуется к виду

Потенцируя последнее соотношение и заменяя и через после несложных преобразований имеем

Полученное уравнение в плоскости хОу определяет семейство парабол, симметричных относительно оси Ох. фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат. Фиксируя С и вращая параболу вокруг оси Ох, получаем параболоид вращения

Таким образом, зеркало в виде параболоида вращения решает поставленную задачу. Это свойство используется в прожекторах.

Замечание:

то уравнение (6) имеет вид

и интегрируется разделением переменных. Его общее решение

Если и обращается в нуль при значении то существует также решение или

(прямая, проходящая через начало координат).

Рассмотрим уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнение

где — постоянные числа, при является однородным. Пусть теперь по крайней мере одно из чисел отлично от нуля. Здесь следует различать два случая.

Определитель отличен от нуля. Введем новые переменные по формулам

где h и k — пока не определенные постоянные. Тогда Уравнение (7) преобразуется при этом в уравнение

Если выбрать h и k как решения системы линейных алгебраических уравнений

то получим однородное относительно уравнение

Заменяя в его общем интеграле найдем общий интеграл уравнения (7).

2. Определитель равен нулю. Система (8) в общем случае не имеет решения и изложенный выше метод неприменим. Но в этом случае т. е. уравнение (7) имеет вид

и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. Аналогичными приемами интегрируется уравнение

где f(w) — непрерывная функция своего аргумента.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. В общем случае оно имеет вид

где коэффициенты уравнения А(х) и В(х) и его правая часть f(x) считаются известными функциями, заданными на некотором интервале

Если то это уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Считая и деля обе части уравнения (9) на А(х), приведем (9) к виду

Теорема:

Если функции р(х) и q(x) непрерывны на отрезке то уравнение (10) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию точка принадлежит полосе

Разрешая уравнение (10) относительно у’, приведем его к виду

где правая часть

удовлетворяет всем условиям теоремы 1: она непрерывна по совокупности переменных х и у и имеет ограниченную частную производную

в указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения.

Линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид

Оно интегрируется разделением переменных:

При делении на у потеряно решение однако оно может быть включено в найденное семейство решений (12), если считать, что С может принимать значение, равное нулю. Формула (12) дает общее решение уравнения (11) в указанной выше полосе

Для интегрирования неоднородного линейного уравнения

может быть применен так называемый метод вариации постоянной. Он основан на том, что общее решение уравнения (10) равно сумме общего решения уравнения (11) и какого-либо частного решения уравнения (10)

Подставляя в левую часть (11) вместо у сумму получим

С другой стороны, разность двух частных решений уравнения (10) является решением однородного уравнения (11)

Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение

общее решение которого имеет вид

где С — произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения (10) ищем в виде

где С(х) — новая неизвестная функция.

Вычисляя производную и подставляя значения и у в исходное уравнение (10), получаем

где С — новая произвольная постоянная интегрирования. Следовательно,

Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (10).

В формуле (14) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом:

Здесь поэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде

где роль произвольной постоянной играет начальное значение искомой функции у(х).

Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши. Отсюда следует, что если р(х) и q(х) определены и непрерывны в интервале то и решение у(х) уравнения (10) с любыми начальными данными будет непрерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях х, так что интегральная кривая, проходящая через любую точку будет гладкой кривой в интервале

Пример:

соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя переменные:

Решение исходного уравнения будем искать в виде

где С(х) — неизвестная функция. Находя и подставляя и у в (*), последовательно получаем:

где С — постоянная интегрирования. Из формулы (**) находим общее решение уравнения (*)

Частное решение неоднородного уравнения (*) легко усматривается. Вообще, если удается «угадать» частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения значительно упрощается.

Пример:

Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыкании цепи постоянного электрического тока.

Если R — сопротивление цепи, Е — внешняя ЭДС, то сила тока I = I(t) постепенно возрастает от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения

Пусть L — коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная и направленная противоположно внешней ЭДС. На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей ЭДС, получаем

Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t). Нетрудно видеть, что его частным решением является функция

Общее решение соответствующего однородного уравнения

откуда общее решение неоднородного уравнения (*):

При t = 0 имеем I(0) = 0, поэтому так что окончательно

Отсюда видно, что сила тока при включении асимптотически приближается при к своему стационарному значению

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

может быть проинтегрировано также следующим приемом. Будем искать решение у(х) уравнения (10) в виде

где — неизвестные функции, одна из которых, например v(x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у(х) в форме (16) в уравнение (10), после элементарных преобразований получим

Выберем в качестве v(x) любое частное решение уравнения

Тогда в силу (17) для u(х) получим уравнение

которое без труда интегрируется в квадратурах. Зная , найдем решение у(х) уравнения (10).

Пример:

Найти общее решение уравнения

Будем искать решение у(х) данного линейного неоднородного уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Определим функцию v(x) как решение уравнения

Разделяя переменные, найдем

Выберем любое частное решение, например, отвечающее С = 1. Тогда из (17′) получим

откуда

Для общего решения исходного уравнения получаем выражение

Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Уравнение Бернулли

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К числу таких уравнений относится уравнение Бернулли

Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г.

При а = 1 получаем однородное линейное уравнение

При а = 0 — неоднородное линейное уравнение

Поэтому будем предполагать, что (для а нецелого считаем, что у > 0).

Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению относительно функции z(x).

Однако уравнение Бернулли можно проинтегрировать сразу методом вариации постоянной. Это делается так. Сначала интегрируем уравнение

Его общее решение

Решение уравнения Бернулли будем искать в виде

где С(х) — новая неизвестная функция. Подставляя это выражение для у(х) в уравнение Бернулли, получаем

— уравнение с разделяющимися переменными относительно С(х). Интегрируя это уравнение,находим

где С — постоянная интегрирования. Тогда из формулы (*) получаем общий интеграл уравнения Бернулли

Замечание:

При а > 0 уравнение Бернулли имеет очевидное решение

Для интегрирования уравнения Бернулли

можно также воспользоваться подстановкой

где в качестве v(x) берется любое нетривиальное решение уравнения

а функция u(х) определяется как решение уравнения

Пример:

Найти решение уравнения Бернулли

Ищем решение у(х) уравнения в виде

Подставляя в исходное уравнение, получим

Выберем в качестве v(x) какое-нибудь ненулевое решение уравнения

и проинтегрируем его,

Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим С = 1, т.е. возьмем Тогда для и(х) получим уравнение

интегрируя которое, найдем

Общее решение у(х) исходного уравнения определится формулой

Уравнения в полных дифференциалах

называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(х, у) двух независимых переменных х и у, т. е.

В этом случае u(х, у) = С будет общим интегралом дифференциального уравнения (18).

Будем предполагать, что функции М(х, у) и N(x, у) имеют непрерывные частные производные соответственно по у и по x в некоторой односвязной области D на плоскости хОу.

Теорема:

Для того чтобы левая часть М(х, у) dx + N(x, у) dy уравнения (18) была полным дифференциалом некоторой функции и(х, у) двух независимых переменных х и у, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

Необходимость:

Предположим, что левая часть уравнения (18) есть полный дифференциал некоторой функции u(х, у), т. е.

тогда Дифференцируем первое соотношение по у, а второе по х:

Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество

Необходимость (19) доказана.

Достаточность:

Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, предполагая его выполненным, найдем функцию u(х, у) такую, что du = M(x, у) dx + N(x, у) dy, или, что то же,

Найдем сначала функцию u(х, у), удовлетворяющую первому условию (20). Интегрируя это равенство по х (считаем у постоянной), получаем

где — произвольная функция от у.

Подберем так, чтобы частная производная по у от функции и, определяемой формулой (21), была равна N(x,y). Такой выбор функции при условии (19) всегда возможен. В самом деле, из (21) имеем

Приравняв правую часть полученного равенства к N(x, у), найдем

Левая часть последнего равенства не зависит от x. Убедимся в том, что при условии (20) в его правую часть также не входит х. Для этого покажем, что частная производная по x от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем

Теперь, интегрируя равенство (22) по у, получим, что

где С — постоянная интегрирования. Подставляя найденное значение для в формулу (21), получим искомую функцию

полный дифференциал которой, как нетрудно проверить, равен

Приведенный прием построения функции u(х, у) составляет метод интегрирования уравнения (18), левая часть которого есть полный дифференциал.

Пример:

Проверить, что уравнение

является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его.

В данном случае

Следовательно, уравнение (*) есть уравнение в полных дифференциалах. Теперь находим и (см. (21)):

Находя от функции и из (**) и приравнивая функции получаем

откуда и, следовательно,

Подставив найденное выражение для i в (**), найдем

— общий интеграл исходного уравнения.

Иногда можно найти такую функцию что

будет полным дифференциалом, хотя М dx + N dy может им и не быть. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Можно показать, что для уравнения первого порядка

при определенных условиях на функции М(х, y) и N(x, у) интегрирующий множитель всегда существует, но отыскание его из условия

в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что составляет, как правило, задачу еще более трудную.

Задача:

Найти интегрирующий множитель для линейного дифференциального уравнения

Указание. Искать множитель в виде

Уравнение Риккати

где q(x), р(х), г(х) — известные функции, называется уравнением Риккати. Если р, q, г — постоянные, то оно интегрируется разделением переменных:

В случае, когда уравнение (1) оказывается линейным, в случае — уравнением Бернулли. В общем случае уравнение (1) не интегрируется в квадратурах.

Укажем некоторые свойства уравнения Риккати.

Теорема:

Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение может быть получено с помощью квадратур.

Пусть известно частное решение уравнения (1), тогда

Полагая новая искомая функция, в силу тождества (2) получаем

— уравнение Бернулли, которое интегрируется в квадратурах.

Пример:

Проинтегрировать уравнение Риккати

если известно его частное решение

для функции z(x) получаем

решением исходного уравнения будет функция

Частным случаем уравнения (1) является специальное уравнение Риккати:

где a, b, а — постоянные. При а = 0 имеем

и уравнение интегрируется разделением переменных.

При а = -2 получаем

Полагая — новая неизвестная функция, находим

Это уравнение однородное относительно х, z. Оно интегрируется в квадратурах.

Кроме а = 0 и а = -2 существует еще бесконечное множество других значений а, при которых уравнение Риккати (3) интегрируется в квадратурах. Они задаются формулой

При всех других значениях а решение уравнения Риккати (3) не выражается в квадратурах.

Замечание. Если же положить в уравнении (3)

где u = u(x) — новая неизвестная функция, то придем к уравнению второго порядка

решение которого может быть выражено в функциях Бесселя.

Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной

Рассмотрим теперь общий случай уравнения первого порядка

не разрешенного относительно производной.

Уравнения, относящиеся к этому классу, весьма разнообразны, и поэтому в общем случае становится невозможным делать выводы о существовании и единственности решения, даже накладывая достаточно сильные ограничения на участвующие в уравнении функции (ограниченность, гладкость, монотонность и т. п.). Например, уравнение

вообще не имеет действительных решений. Для уравнения

решения суть прямые так что через каждую точку плоскости хОу проходят две взаимно перпендикулярные интегральные линии. Поле интегральных кривых уравнения получается наложением полей уравнений Если уравнение

удается разрешить относительно производной у’, то получаются уравнения вида

которые иногда могут быть проинтегрированы изложенными выше методами.

Введем понятие общего решения (интеграла) для уравнения (1). Допустим, что это уравнение в окрестности точки может быть разрешено относительно производной, т. е. распадается на уравнения

и пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение

или общий интеграл

Совокупность общих решений (2) (или общих интегралов (3)) будем называть общим решением (общим интегралом) уравнения (1). Так, уравнение

распадается на два:

Их общие решения у = х + С, у = -х + С в совокупности составляют общее решение исходного уравнения . Общий интеграл этого уравнения часто записывают в виде

Однако не всегда уравнение (1) легко разрешимо относительно у’ и еще реже полученные после этого уравнения интегрируются в квадратурах. Рассмотрим некоторые методы интегрирования уравнения (1).

Пусть уравнение (1) имеет вид

причем существует по крайней мере один действительный корень этого уравнения. Так как это уравнение не содержит — постоянная. Интегрируя уравнение получаем

Но является корнем уравнения; следовательно,

— интеграл рассматриваемого уравнения.

2. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то бывает целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (5) двумя:

Следовательно, искомые интегральные кривые определяются уравнениями в параметрической форме

Пример:

Полагаем,

и параметрические уравнения искомых интегральных кривых:

Если уравнение (5) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр берут у’. Действительно, если то, полагая у’ = р, получаем так что

Параметрические уравнения интефальных кривых:

Исключая параметр р, получаем общий интеграл

Пример:

Разрешим уравнение относительно у:

Положим у’ = р, тогда

Таким образом, находим параметрические уравнения интегральных кривых

Параметр р здесь легко исключить. В самом деле, из первого уравнения системы находим

Первую часть второго уравнения преобразуем следующим образом:

— общее решение данного дифференциального уравнения.

3. Пусть уравнение (1) имеет вид

Если это уравнение трудно разрешить относительно у’, то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (6) двумя:

Следовательно, интегральные кривые уравнения (6) определяются в параметрической форме уравнениями

Если уравнение (6) легко разрешимо относительно х:

то в качестве параметра удобно выбрать откуда

Пример:

Положим у’ = р. Тогда

В параметрической форме семейство интегральных кривых данного уравнения определяют уравнения

Уравнение Лагранжа

Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение вида

линейное относительно х и у. Здесь — известные функции.

Введя параметр получаем

— соотношение, связывающее переменные х, у и параметр р. Чтобы получить второе соотношение, нужное для определения х и у как функций параметра р, продифференцируем (8) по х:

Уравнение (10) линейно относительно х и и, следовательно, легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив общее решение

уравнения (10) и присоединив к нему уравнение

получим параметрические уравнения искомых интегральных кривых.

При переходе от уравнения (9) к (10) пришлось делить на . При этом теряются решения, для которых р постоянно, а значит,

Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (9) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения

Итак, если уравнение имеет действительные корни то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить решения

— это прямые линии.

Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

Полагая у’ = р, получаем

Дифференцируя по х, имеем

откуда или и, значит, р = С, или

В первом случае, исключая р, найдем семейство прямых

— общее решение уравнения Клеро. Оно находится без квадратур и представляет собой однопараметрическое семейство прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями

Можно показать, что, как правило, интегральная кривая (12) является огибающей найденного семейства прямых.

Пример:

Решить уравнение Клеро

Общее решение данного уравнения видно сразу:

Другое (особое) решение определяется уравнениями

Исключая параметр р, находим

— огибающую прямых

Для уравнения вида

через некоторую точку вообще говоря, проходит не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение относительно у’, мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений

и если каждое из уравнений в окрестности точки удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения, то для каждого из этих уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию

Поэтому свойство единственности решения уравнения , удовлетворяющего условию обычно понимается в том смысле, что через данную точку по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения .

Например, для решений уравнения

свойство единственности в этом смысле всюду выполнено, поскольку через каждую точку плоскости хОу проходят две интегральные кривые, но по различным направлениям. Для уравнения Клеро

(см. пример 4) через точку (0,0) проходят также две интегральные линии: прямая

входящая в общее решение этого уравнения, и парабола

причем эти линии имеют в точке (0,0) одно и то же направление:

Таким образом, в точке (0,0) свойство единственности нарушается.

Теорема:

Пусть имеем уравнение

и пусть в некоторой окрестности точки — один из действительных корней уравнения

функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна по всем аргументам;

2) производная существует и отлична от нуля;

3) существует ограниченная производная

Тогда найдется отрезок на котором существует единственное решение у = у(х) уравнения удовлетворяющее условию для которого

Геометрические вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Ортогональные траектории

Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка определяет семейство плоских кривых, зависящее от одного параметра С.

Поставим теперь в некотором смысле обратную задачу: дано однопараметрическое семейство кривых

и требуется составить дифференциальное уравнение, для которого будет общим решением.

Итак, пусть дано соотношение

где С — параметр. Дифференцируя (1) по х, получим

Если правая часть (2) уже не содержит С, то формула (2) будет представлять дифференциальное уравнение семейства кривых (1). Например, если будет дифференциальным уравнением семейства прямых у = х + С.

Пусть теперь правая часть (2) содержит С. Разрешая соотношение (1) относительно С, определим С как функцию х и у:

Подставляя это выражение для С в формулу (2), получим дифференциальное уравнение 1-го порядка

Нетрудно убедиться в том, что представляет собой общее решение уравнения (4).

Если соотношение между величинами х, у и С задано в виде

то, дифференцируя его по х, получим

Исключая С из соотношений (5) и (6), приходим к уравнению

Можно показать, что (5) является общим интегралом уравнения (7).

Ортогональные траектории

В ряде прикладных вопросов встречается следующая задача. Дано семейство кривых

Требуется найти такое семейство

чтобы каждая кривая семейства Ф(х, у, С) = 0, проходящая через точку (х, у), пересекалась в этой точке кривой семейства под прямым углом, т. е. чтобы касательные к кривым семейства в точке (х, у) были ортогональны (рис.8). Семейство называется семейством ортогональных траекторий к (и наоборот). Если, например, кривые семейства Ф = 0 — силовые линии некоторого силового поля, то ортогональные траектории — эквипотенциальные линии.

Аналитически это означает следующее. Если

есть дифференциальное уравнение семейства

то дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству Ф = 0, имеет вид

(угловые коэффициенты касательных к кривым семейств в каждой точке должны быть связаны условием ортогональности

Таким образом, чтобы найти ортогональные траектории к семейству 0, надо составить дифференциальное уравнение этого семейства и заменить в нем Интегрируя полученное таким образом уравнение, найдем семейство ортогональных траекторий.