Метод для решения гиперболических уравнений

Метод характеристик при решение задачи коши для уравнений гиперболического типа

Стерлитамакский филиал Башкирский государственный университет

NovaInfo58, с. 11-15
Опубликовано 25 января 2017
Раздел: Физико-математические науки
Просмотров за месяц: 85
CC BY-NC

Аннотация

В статье рассматривается решение задачи Коши для уравнения гиперболического типа. Продемонстрировано решение данного уравнения методом характеристик.

Ключевые слова

Текст научной работы

Многие задачи физики, в частности механики, приводят к исследованию дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Так, например, при изучении различных видов волн: звуковых, электромагнитных и других колебательных явлений приходят к волновому уравнению

где u=u(x,y,z,t), a — скорость распространения волны в данной среде. В одномерном случае это уравнение примет вид

которое является уравнением вынужденных колебаний однородной струны [1, 12].

В одномерном случае рассмотрим уравнение струны [2, 26]:

Задача Коши: Найти решение u(x,y) данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

Задача Коши для уравнения струны является математической моделью физической задачи о колебаниях настолько большой струны, что влияние ее концов уже не сказывается на колебаниях других точек струны. По этой причине в этой задаче отсутствуют граничные условия.

Приведем уравнение (1) к каноническому виду. Для этого составим уравнение характеристик

где A=0, 2B=e y , C=-1. Вычислим D=B^2-AC=\frac><4>>0

. Следовательно, уравнение (1) является уравнением гиперболического типа.

Подставляя в уравнение характеристик наши значения, получим:

Об одном методе построения схем точной факторизации для численного решения гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Исмагилов Т. З., Ковеня В. М.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-01-01029, и Минобразования РФ, грант Е 02-1.0-25. Предложен метод нахождения всех схем точной факторизации для численного решения одномерных гиперболических уравнений. Доказано существование многопараметрического семейства схем точной факторизации. Это семейство схем легко может быть проверено на скалярную разрешимость. В качестве приложения предложены схемы точной факторизации для уравнений газовой динамики в различных газодинамических переменных.

One method of construction of exact factorization schemes for numerical solution of hyperbolic equations

The method for obtaining all finite difference schemes with precise factorization for numerical solution of hyperbolic equations is suggested. The existence of the multi parametrical family of exact factorization schemes is proved. This family schemes can be easily checked for scalar resolvability. The exact factorization schemes for the gas dynamics equations in different various gas dynamics variables are considered as the application.

Текст научной работы на тему «Об одном методе построения схем точной факторизации для численного решения гиперболических уравнений»

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ СХЕМ ТОЧНОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*

Т. З. ИсмАгилов Новосибирский государственный университет, Россия

Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия

Уравнения гиперболического типа являются базовыми для описания широких классов задач механики и физики (например, уравнения газовой динамики и мелкой воды, магни-тогазодинамические уравнения и т.д.). Решения этих уравнений в силу нелинейности, как правило, не удается найти, кроме отдельных частных случаев, поэтому основными способами их решения служат численные или приближенные методы, в частности конечно-разностные методы.

К настоящему времени для численного решения гиперболических уравнений разработано большое число явных и неявных разностных схем 5. Неявные схемы обычно основаны на методе приближенной факторизации или методе расщепления, позволяющих свести решение исходных задач к последовательности решения их одномерных аналогов или более простых задач. Однако решение многомерных задач связано с определенными проблемами, так как реализация явных схем приводит к ограничениям на устойчивость и, как следствие, к большому числу арифметических операций, а для неявных схем решение сводится к векторным прогонкам, требующим обращения матриц размера m х m в каждом узле расчетной сетки, где m — число уравнений. С увеличением числа уравнений число арифметических операций на узел сетки возрастает по степенному закону как

тъ . Для исключения векторных прогонок при решении уравнений газовой динамики в работах [5, 6] предложено расщепление уравнений по физическим процессам, что позволило

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 02-01-01029, и Минобразования РФ, грант Е 02-1.0-25.

свести решение задач к скалярным прогонкам или к схеме бегущего счета при сохранении безусловной устойчивости схем, т.е. сделало этот подход экономичным, так как число арифметических операций при их реализации возрастает по линейному закону.

Введение расщепления или факторизации операторов и построение на их основе разностных схем приводят к появлению дополнительных членов в уравнениях, отсутствующих в исходной дифференциальной постановке задачи. Это вызывает ухудшение свойств разностных схем, например понижение точности расчета или увеличение числа итераций при нахождени стационарного решения методом установления по сравнению с нефактори-зованными схемами [6, 7]. Отметим, что при нахождении стационарного решения методом установления скорость сходимости существенно зависит от выбранной формы расщепления (см., например, [6, 12]). Так, уже схема с минимальной диссипацией, где дополнительный член присутствует только в одном уравнении, сходится в 3-5 раз быстрее, чем схема расщепления по физическим процессам в одномерном случае, и в 2-3 раза — в двумерном. Идеальной представляется ситуация, когда факторизованный оператор совпадает с нефакторизованным, т.е. не появляются дополнительные члены. Однако даже для одномерных уравнений газовой динамики до сих пор не найдены схемы точной или полной факторизации и, более того, неизвестно, существуют ли схемы, которые при расщеплении реализуются скалярными прогонками, безусловно устойчивы и факторизованная схема является точной [6].

Настоящая работа состоит из двух частей. В первой части предлагается метод нахождения всех схем точной факторизации для одномерных уравнений гиперболического типа, разрешаемых скалярными прогонками. Рассмотрение проведено для системы из трех и четырех уравнений, а предложенный алгоритм легко может быть обобщен на большее число уравнений. Во второй части изложенный метод применен для получения схем точной факторизации для одномерных уравнений газовой динамики в различных газодинамических переменных (плотность, импульс и давление; плотность, импульс и скорость звука; плотность, импульс, поток импульса). Среди полученных схем легко могут быть выбраны схемы, реализуемые скалярными прогонками при минимальном числе арифметических операций. В заключительной части работы рассмотрено обобщение предложенных алгоритмов на многомерные системы уравнений гиперболического типа.

Применение данного метода построения схем, по-видимому, наиболее целесообразно при решении многомерных задач, особенно при нахождении стационарных решений методом установления, когда итерационный шаг выбирается не из соображений точности, а лишь из условия наиболее быстрой сходимости.

1. Факторизованные схемы

Рассмотрим систему гиперболических уравнений

где £ — вектор размерности т, а матрица В имеет действительные собственные числа. д

Пусть Л = ——+ 0(Нк) — разностный оператор, аппроксимирующий первую производную дх

с порядком к. Разностная схема с весами

+ ВпЛ [а£п+1 + (1 _ а)£п] = О

или эквивалентная ей схема в каноническом виде

(I + TaBn Л)-= _ВПЛГ (1.2)

аппроксимируют исходные уравнения с порядком 0(тт + ), где m =2 при а = 0.5 + 0(т). Ее решение может быть получено векторной прогонкой, требующей обращения матриц размера m х m. Для B = const схема (1.2) безусловно устойчива при а > 0.5. Пусть

Приближенно факторизуя оператор I + TaB»^ « (I + тaBnЛ) (I + TaBnЛ) , рассмотрим разностную схему

(I + TaB^) (I + тaBnЛ)-= _B^fn, (1.4)

аппроксимирующую (1.1) с тем же порядком, что и базовая схема (1.2). Очевидно, разностная схема

(I + та^Л) Г+1/2 = Г, (1.5)

(I + TaB2^) |n+1 = |n+1/2,

эквивалентна (1.4) и может быть сведена к ней исключением вспомогательного вектора Предположим, что расщепление (1.3) выбрано таким образом, что разностная схема (1.5) реализуется на дробных шагах скалярными прогонками и безусловно устойчива. Такие расщепления для уравнений газовой динамики (расщепления по физическим процессам) предложены в [5]. Введение расщепления (1.3) приводит к появлению в стабилизирующем операторе схемы

П (/ + таВпА) = I + таВпЛ + т2а2В?АВ^А ¿=1

дополнительных членов Q = т2а2В1ЛВ2Л, т.е. членов второго порядка малости, играющих роль диссипативных членов и отсутствующих в исходной нефакторизованной схеме (1.2). Об их негативной роли говорилось выше. Сформулируем следующую задачу

1. Найти класс факторизованных разностных схем (1.5), совпадающих со схемой с точной факторизацией (хотя бы для уравнений с постоянными коэффициентами), т.е. удовлетворяющих условию

В + В2 = в, В1В2 = 0. (1.6)

Случай, когда В1 или В2 совпадает с В или нулевой матрицей, как тождественный не рассматривается. Тогда устойчивость и свойства факторизованной схемы совпадают со свойствами базовой схемы (1.2).

2. Найти среди этого класса разностные схемы, реализация которых сводится к скалярным прогонкам, т.е. независимому решению уравнений для каждой компоненты вектора ^. Очевидно, такие схемы более экономичны по сравнению со схемами, реализуемыми векторными прогонками.

2. Схемы с точной факторизацией

Из определения гиперболичности системы (1.1) следует, что матрица В может быть представлена в виде

Здесь В — диагональная матрица с различными коэффициентами dj•, а матрица Л = Ь 1, т.е. обратная к Ь. Тогда

В1 = ЬВ1Л, В2 = ЬВ2Л и, очевидно, что условия (1.6) эквивалентны условиям

В + В2 = В, В1В2 = О, (2.2)

т.е. определители В1 и В2 должны быть равны нулю. Таким образом, решив задачу (2.2) для диагональной матрицы В размера т с произвольными и различными коэффициентами, мы решим задачу о нахождении точных факторизаций для любой одномерной гиперболической системы размерности т. После нахождения матриц Dj для ] = 1, 2 значения матриц Bj определяются по формулам

В1 = В2 = ЛВ2Ь. (2.3)

Опишем алгоритм нахождения матриц Dj•. Исключая В2 из второго уравнения (2.2), получим

Умножая уравнение (2.4) справа на единичный вектор ej, получим (с учетом перестановочности В и В1)

Это означает, что или вектор D1ej является собственным вектором В1 или В1 равен нулю, т.е. ]-й столбец матрицы В1 состоит из одних нулей.

Рассмотрим случай, когда размерность системы равна трем. Пусть все столбцы матрицы В1 ненулевые. Тогда у В1 существуют три различных собственных значения ¿г (г = 1, 2, 3). Это противоречит тому факту, что определитель матрицы В1 равен нулю, значит, у В1 есть хотя бы один нулевой столбец. Допустим, что у В1 два нулевых столбца, т.е. существует одно ненулевое собственное значение. Тогда, решая уравнение (2.4) с помощью метода неопределенных коэффициентов, для В1 получаем

/ ОО \ / О а О \ / ОО а \

= а О О , В2 = О ¿2 О , И О О в , (2.6)

\ в о о у \ О в о ) \О О ¿3 /

где а и в — произвольные параметры. Допустим, что у В1 только один столбец нулевой, т.е. существуют два ненулевых собственных значения. Пусть это будет первый столбец. Тогда матрица В1 запишется в виде

Вт = | О ¿11 ¿12 0 ¿21 ¿22

Подставляя эту матрицу в уравнение (2.4), получаем, что для матрицы Т должно выполняться равенство

где Т = (¿¿-). Определитель матрицы Т равен произведению двух ненулевых собственных чисел и поэтому у Т есть обратная матрица. Умножая (2.7) на матрицу, обратную к Т, слева получаем

т.е. матрица равна

0 а в 0 4 0 0 0 4

Повторяя эти рассуждения для других случаев (нулевой второй или третий столбцы), получим оставшиеся решения уравнения (2.4), т.е. значения матриц Я (^ = 4, 5, 6) равны

¿1 0 0 а0в 0 0 ¿3

0 а в 0 ¿2 0 0 0 ¿3

Таким образом, пространство решений уравнений (2.4) состоит из шести двухпарамет-рических семейств, которые могут быть объединены в две группы. Первая группа состоит из матриц, в которых один столбец ненулевой (2.6). Вторая группа состоит из матриц, в которых два ненулевых столбца (2.8).

Для системы (2.1) размерности, равной 4, будут 14 семейств решений, которые могут быть объединены в три группы. Первая группа состоит из матриц, у которых один столбец нулевой. В этой группе четыре трехпараметрических семейства матриц Я, причем ]-е семейство получается из матрицы Я заменой ^ на 0 и заменой трех нулей в ]-й строке на три произвольных параметра. Например, для

Оставшиеся матрицы Я (/ = 2, 3, 4) получаются заменой ¿г на нуль и нулей в /-й строке на три произвольных параметра:

Во второй группе будут шесть параметрических семейств матриц Я, у которых два столбца нулевые. Для построения этого семейства необходимо выбрать на ненулевых столбцах на диагонали элементы ^ и ф, а на пересечении этих столбцов с оставшимися двумя строками поместить четыре произвольных элемента (параметра). Например, для первых двух

Оставшиеся матрицы (/ = 6. 10) строятся аналогично.

Третья группа состоит из матриц, три столбца которых нулевые. В этой группе семейство из четырех трехпараметрических матриц . Каждое ]-е семейство получается из нулевой матрицы заменой нулевого элемента, расположенного на пересечении ]-го столбца и ]-й строки на dj и заменой трех нулей в ^’-м столбце на три произвольных параметра. Например, для первого ненулевого столбца эта матрица имеет вид

а остальные для I = 11. 14 строятся аналогично. Изложенный выше алгоритм может быть обобщен и для системы уравнений более высоких порядков: пусть дана система гиперболических уравнений размерности т. Невырожденное преобразование (2.1) приводит ее к диагональной форме. Выполнение условий точной факторизации (2.2) приводит к системе уравнений (2.4), решение которой и даст все точные факторизации оператора В по формулам (2.3). Тогда факторизованная разностная схема (1.4) или (1.5) совпадает с нефакторизованной схемой (1.2), но ее реализация может оказаться проще для матриц Bj, а выбором параметров можно управлять при построении разностных схем, реализуемых скалярными прогонками.

3. Скалярная разрешимость разностных схем

Пусть имеется система разностных уравнений

получены из нефакторизованной схемы (1.2) или схемы (1.5) на дробных шагах. Будем считать, что коэффициенты Cj заданы на n-м слое, т.е. известны, и тогда система уравнений (3.1) линейна. Для уравнений с постоянными коэффициентами при Cj = const система уравнений (3.1) в силу гиперболичности исходных уравнений (1.1) может быть приведена к диагональной форме

(I + таВЛ) n = g, (3.2)

где D — диагональная матрица с элементами dj, j = 1, . m. Действительно, так как

C = R-1 DR, I = R-1R,

уравнения (3.1) представляются в виде

эквивалентном (3.2) при n = R£, g = Rf• Очевидно, система уравнений (3.2) может быть решена независимо для каждой компоненты n скалярными прогонками или по схеме бегущего счета в зависимости от оператора Л.

Для уравнений с переменными коэффициентами такое представление невозможно, кроме случая, когда C — диагональная матрица. Предположим, что за счет выбора вектора искомых функций в исходных уравнениях (1.1) или расщепления матрицы B на Bj матрица Cп имеет такую структуру, что некоторые из ее диагональных элементов равны нулю, т.е. 0ц = 0. Тогда

где i = /. Если путем подстановок компонент & вектора ^ в другие уравнения из (3.1) система уравнений (3.1) может быть приведена к подсистеме (подсистемам) уравнений, разрешенных относительно отдельных компонент &, т.е. к виду

где П — разностный оператор, полученный в уравнении для & после исключения других компонент, то такую систему уравнений назовем скалярно разрешимой. Поясним вышесказанное на примере. Пусть (3.1) — система уравнений размерности m = 2. Очевидно, среди всех представлений матрицы C существуют четыре формы матриц

Ci = ( ci1 0 ) , C2 = ( ci1 ci2 ) , Сз = ( 0 ci2 ) , C4 = ( ci1 ci2 ) , V C12 C21 J V 0 C12 / V C2i C22 ) V C2i 0 У

при которых разностная схема реализуется скалярными прогонками. Конечно, отдельные компоненты cj могут быть нулевыми. В случае, когда C совпадает с C1 или C2, т.е. имеются нижняя или верхняя треугольные матрицы, решения разностных уравнений находятся независимо для каждой компоненты вектора ^ либо сверху вниз (вычисляется вначале &1, а затем &2), либо снизу вверх. При C = C3 система уравнений

&2 + та(сП1Л&1 + сП2Л&2) = /2 (3.5)

после исключения компоненты &1 из второго уравнения (3.5) приводится к уравнению относительно &2:

[I + тас^Л — тV^^Л] &2 = /2 — тас^Л/ (3.6)

Его решение может быть получено скалярной прогонкой, после чего явно определяется &1. Реализация схемы (3.1) при C = C4 аналогична рассмотренному выше случаю, но исключение проводится для &1.

Для m = 3 количество представлений матрицы C, для которых возможно решение уравнений (3.1) скалярными прогонками, возрастает. Приведем их вид для случая, когда разностное уравнение (3.4) для отдельной компоненты полученное после исключения

других компонент, содержит лишь первые (с^Л) и вторые (с^ЛстпЛ) разностные производные. Эти матрицы равны:

с11 О О 1 с11 с12 с13

с21 с22 О , С2 = О с22 с23

с31 с32 с33 ! О О с33

О с12 О\ 1 О О с13

с21 с22 с23 , С5 = О О с23

О с32 О ! с31 с32 с33

Таким образом, задача построения безусловно устойчивых разностных схем для решения системы гиперболических уравнений сводится к решению двух подзадач:

1. Для системы дифференциальных уравнений найти все классы схем точной факторизации, т.е. удовлетворяющих условиям (1.6), согласно алгоритму, изложенному в разд. 2.

2. Среди схем в дробных шагах (1.5) или (3.1), полученных при расщеплении матрицы В на В1 и В2, найти все схемы, удовлетворяющие свойству скалярной разрешимости.

Изложенная выше технология применена при построении экономичных разностных схем для численного решения уравнений газовой динамики в различных газодинамических переменных.

4. Точная факторизация для одномерных уравнений газовой динамики

Рассмотрим уравнения газовой динамики в консервативных переменных

В силу однородности уравнения газовой динамики могут быть представлены в эквивалентных формах

где матрица Якоби В может быть записана в виде

Здесь к = 7 — 1; ад = с2/к + 7м2/2. Невырожденным преобразованием матрица В может быть приведена к диагональному виду

где Б = (и, и — с, и + с)

С2 2С2 + 2С 2С2 — 2С

и2 и2 1 и и2 1 и

2С2 4С2 + 2к + 2С 4С2 + 2к — 2с/

В соответствии с разд. 2 (см. (2.6) и (2.8)) существуют шесть двухпараметрических расщеплений матрицы Б на Б и Б2 и, следовательно, расщеплений матрицы Б на В?! и В2, удовлетворяющих условиям (1.6). Перебором всех расщеплений Б из разд. 2 можно убедиться в том, что в консервативных переменных р,ри,Е не существует схем с полной факторизацией, реализуемых скалярными прогонками.

Рассмотрим уравнения (4.1) в недивергентной форме

Здесь ! — вектор искомых функций; В = А !ВА, где А = -—, В? =

_ Найдем газоди-

намические переменные I и соответствующие им матричные операторы В, для которых существуют схемы с точной факторизацией. Наиболее простой вид уравнения газовой динамики принимают в переменных плотность, скорость и давление. Тогда

I = | и , В = 0 и 1/р р / \ 0 7р и

и преобразование (4.2) приводит матрицу В к диагональной форме, где

источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/ob-odnom-metode-postroeniya-shem-tochnoy-faktorizatsii-dlya-chislennogo-resheniya-giperbolicheskih-uravneniy