Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами

Элективное занятие по математике. Тема: «Неэквивалентные преобразования с проверкой. Метод эквивалентных преобразований». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Обучающая:

Развивающая:

Воспитывающая:

Программноеобеспечение:

Форма занятия: лекционная.

Методы обучения: объяснение, беседа.

Эпиграф урока: (Cлайд 2 )

“Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду”. Л.Н. Толстой

1. Организационный момент.

Сегодня нам предстоит продолжить знакомство с иррациональными алгебраическими выражениями, методами решения уравнений с радикалами. На прошлом занятии мы учились решать уравнения методом замены переменной. Сегодня мы познакомимся с методами неэквивалентных и эквивалентных преобразований.

2. Актуализация знаний.

Фронтальная беседа по теоретическому материалу.

Какие уравнения называются иррациональными? Слайд 2. Презентация

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

На прошлом занятии мы рассмотрели два метода решения иррациональных уравнений: возведение обеих частей уравнения в квадрат и замена переменной. Слайды 3, 4

B12 № 263802. Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где R= 6400 (км) — радиус Земли.

С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километра? Ответ выразите в километрах.

Задача сводится к решению уравнений при заданном значении R:

=4

Примечание. Заметим, что полученная величина равна 1,25 метра, т.е. соответствует уровню глаз ребенка.

Метод замены переменной и условие его использования (стр. 250 -251) [2]

Какой есть ещё способ решения этого уравнения? Предполагаемый ответ учащихся: возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Вопрос учителя: Будет ли это эквивалентным, т.е. равносильным преобразованием?

3. Объяснение нового материала.

Неэквивалентные преобразования с проверкой.

1. Разбор решения примера 5.1.2.

Решение уравнение (с.253) [2].

2. Решение задания В5 №12569 у доски.

Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Ответ: -8.

3. Замечание 1. Иногда вместо проверки путём подстановки найденных корней итогового уравнения (следствия) в исходное уравнение просто проверяют, входят ли корни в так называемую “область допустимых значений” (ОДЗ) исходного уравнения. Это в принципе неверно. Напомним, что областью допустимых значений уравнения называется множество тех значений переменной, при которых обе части уравнения определены (с.253) [2].

4. Замечание 2. В простых случаях – когда и исходное уравнение, и получающиеся корни уравнения- следствия не слишком громоздкие, — проверка подстановкой в исходное уравнение особых затруднений не вызывает. Однако представьте себе, что нужно проверить подстановкой значения, например, вида вычисления будут несколько утомительными (мягко говоря!). Поэтому при решении уравнений с радикалами, не говоря о неравенствах, гораздо предпочтительнее равносильные (эквивалентные) преобразования (с.254) [2].

Метод эквивалентных преобразований.

Решение уравнений вида: = ,

+ = .

1. Разбор решений уравнений (примеры:

=2 = -3 = -4 = -1.

Ответ: 1) 1; 2) нет корней; 3) нет корней; 4) нет корней; 5) 3 (с.111-113) [1]..

2. Решение задания №30.14(б): Решить уравнение

Ответ: 2. (с 192) [3]. .

Решение иррациональных уравнений, используя переход к смешанной системе.

1. Разбор решения примера 5.1.3.

Решение уравнение (с.255) [2].

2. Проанализировать устно решение задания В5 №12569 методом перехода к смешанной системе.

3. Решение уравнения Слайд 7. (Показать решение)

4. Первичное осмысление материала.

1. Решение уравнения Слайд 8. (Решить самостоятельно)

2. Решение уравнения с практическим содержанием.

B12 № 27983. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:

= 4= =км/с.

Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 8 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180000 км/с.

Сегодня на занятии мы рассмотрели неэквивалентные преобразования с проверкой. Метод эквивалентных преобразований и его применение при решении уравнений вида На следующих занятиях рассмотрим решение уравнений вида: = , + = .

Список литературы:

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств »
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

В данном элективном курсе рассмотрены различные способы решения рациональных, логарифмических, показательных, тригонометрических, иррациональных уравнений и неравенств. А также уравнения и неравенства с модулем. Программа рассчитана на учеников 11 классов.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Авторская программа элективного курса

для учащихся 11 класса

«Решение уравнений и неравенств»

высшей квалификационной категории

Аксанова Ильсияр Исмагиловна

МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2

Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»

Цели обучения математике в образовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Математическая подготовка играет значительную роль в общем образовании современного человека, особенно у выпускников профильных классов математического направления.

Данный курс «Решение уравнений и неравенств» предназначен для учащихся 11 классов.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с радикалами) и более сложные (показательные; логарифмические; смешанные тригонометрические и содержащие одновременно логарифмы, модули, радикалы и т.п.). Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у выпускников такие качества, как:

умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;

• умение пользоваться математическими формулами, самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев;
• умение применять приобретенные алгебраические преобразования и функционально – графические представления для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире и в смежных предметах;
• мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике, где часто предлагают задания на решение уравнений и неравенств.

На изучение вопросов, представленных в программе отводится 35 часов, 1 час в неделю. Курс является предметно – ориентированным и рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности.

• формирование у учащихся предметных компетентностей, направленных на успешную сдачу ЕГЭ и вступительных экзаменов, и продолжение освоения курса математики в профильных ВУЗах;
• освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;
• овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;
• развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность.

• систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9 и 10 классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;
• обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;
• формирование необходимых практических навыков и умений у учащихся для решения различных уравнений и неравенств;
• развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;
• формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;
• оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

• лекционно-семинарская система обучения;
• модульное обучение;
• исследовательский метод в обучении;
• индивидуальные формы работы;
• дифференцированное обучение.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях. Результат освоения курса считается положительным, если по итогам теста набрано более 32 баллов из 100 возможных.

Требования к уровню освоения содержания курса:

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о роли математики в познании действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;
• знают и умеют применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;
• умеют ставить цели и планировать действия для их достижения;
• умеют объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Результатом освоения курса станет отработка у выпускников предметных знаний, умений и навыков, направленные на дальнейшее успешное изучение математики в ВУЗах.

Учащиеся должны знать, что такое уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, уравнения – следствия, посторонний корень, потерянный корень уравнения; уметь решать уравнения по видам и решать их предлагаемыми способами, выбирать более рациональный способ решения, если возможно одно и тоже уравнение решать различными способами.

Уравнения с радикалами, типы, примеры решения

Задачи и уравнения с радикалами

Разобрать примеры и записать в тетрадь

Домашнее задание. №36.19-36.20(в,г),36.21(б),36.22-36.24(в,г)

На данном уроке мы продолжим решать типовые задачи и преобразовывать различные выражения, содержащие радикалы.

Повторение теоретических фактов

Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.

Еще раз напомним основное определение.

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например: , т. к. ; , т.к. ,

Решение примеров на упрощение и вычисление

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1 – упростить выражение:

Вспомним основные свойства арифметических корней:

, при (теорема 1)

, при (теорема 2)

, при (теорема 3)

, при (теорема 4)

при (теорема 5)

Пример 2 – вычислить:

Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:

Разложим скобку на множители способом группировки:

После преобразований получаем дробь:

Имеем право сократить:

Несложно заметить в полученном выражении формулу разности квадратов, свернем ее:

Пример 3 – вычислить:

Сначала вычислим внутренний корень:

После преобразования получили выражение:

Пример 4 – упростить выражение:

Важно заметить в подкоренном выражении полный квадрат:

Комментарий: для выделения полного квадрата имеем право представить а как , т. к. в заданном выражении присутствует , значит, а принимает неотрицательные значения.

Пример 5 – упростить выражение:

Выделяем полный квадрат:

Комментарий: число отрицательное, имеем право раскрыть модуль.

Уравнения с радикалами, типы, примеры решения

Важно уметь решать уравнения с радикалами, рассмотрим первый тип таких уравнений.

Чтобы не потерять при решении корни и не приобрести новых корней, следует наложить некоторые ограничения. В первую очередь ОДЗ: . Далее:

Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.

Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.

Второй тип уравнений:

Укажем область определения. ОДЗ:

Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:

Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:

Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.

Рассмотрим конкретные примеры уравнений.

Данное уравнение эквивалентно системе:

Решаем полученную систему:

Ответ:

Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:

Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.

Рис. 1. Графики функций и

Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.

Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.

Имеем эквивалентную систему:

Решаем полученную систему:

Ответ:

В данном случае удобно выполнить замену переменных.

Обозначим , возведем в квадрат, получаем:

Не теряем при этом ограничение:

Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:

или

Лишний корень отбрасываем, остается

Таким образом,

Итак, мы рассмотрели решение задач и уравнений, содержащих радикалы. В следующем уроке мы обобщим понятие о показателе степени.