Метод эйлера дифференциальные уравнения python

5++ способов в одну строку на Python решить первую задачу Проекта Эйлера

Однажды меня посетила мысль, а что если попробовать решить первую задачу Проекта Эйлера всевозможными способами, но с условием, что решение должно быть в одну строку. В итоге получилось более пяти однострочных решений с применением Filter, Map, Reduce, Generator Expression и т.д. В этой статье я покажу то, к чему я пришёл.

Это моя первая статья. Стоит отнестись к ней настороженно. Уникальные решения будут оформлены в отдельные пункты. Менее уникальные — в подпункты.

Условие задачи

Если выписать все натуральные числа меньше 10, кратные 3 или 5, то получим 3, 5, 6 и 9. Сумма этих чисел равна 23.

Найдите сумму всех чисел меньше 1000, кратных 3 или 5.

00 — Базовое решение

Прежде чем перейти непосредственно к однострочным решениям, разумно было бы упомянуть сначала стандартное, классическое решение:

Перебираем последовательность чисел от 1 до 999. Если перебираемое число делится на 3 или на 5 без остатка от деления, то прибавляем каждое такое число в заранее объявленную переменную result .

01 — Generator Expression. Выражение-генератор

Числа из последовательности от 1 до 999, делящиеся на 3 или на 5 без остатка от деления, собираются в генератор. Затем функция sum() складывает содержимое генератора.

01.a — List Comprehension. Выражение на основе списка

В отличии от предыдущего, здесь выражение дополнительно помещается в список. Стоило упомянуть этот вариант, так как он довольно часто встречается в различных статьях.

01.b — Set Comprehension. Выражение на основе множества

Тоже, что и в предыдущем, но вместо списка здесь множество.

02 — Filter

Функция filter схожа по принципу работы с выражением-генератором. Функция лямбда применяется к каждому элементу последовательности чисел от 1 до 999. Все числа последовательности, делящиеся на 3 или на 5 без остатка от деления, возвращаются, затем суммируются функцией sum() .

03 — Map

Перебираемые числа последовательности от 1 до 999, делящиеся на 3 или 5 без остатка от деления, остаются без изменений, все остальные числа заменяются на ноль. Полученная последовательность суммируется функцией sum() .

04 — Reduce

Из всей подборки, этот вариант «очень не очень». Как по степени реализации, так и по времени выполнения(но об этом попозже).
Если в reduce указан инициализатор(в нашем случае ноль), то он становится накопителем. К нему по очереди прибавляются только те числа из последовательности от 1 до 999, которые делятся на 3 или на 5 без остатка от деления. Если из функции reduce убрать инициализатор ноль, то инициализатором станет крайний левый элемент последовательности.

05 — Однострочное решение на основе множества

Самое элегантное решение, как по красоте написания, так и по времени выполнения.
Последовательность чисел от 1 до 999, кратную трём, помещаем во множество и объединяем со множеством, содержащим в себе последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти. Содержимое, полученного множества суммируем функцией sum() .

05.a — Ещё одно однострочное решение на основе множества

Похожий вариант на предыдущий, но, если использовать фигурные скобки, то последовательность чисел от 1 до 999, кратную трём и последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти, нужно распаковывать.

05.b — И ещё одно однострочное решение на основе множества

Создаём множество, с последовательностью чисел от 1 до 999, кратную трём и присоединяем к нему последовательность чисел от 1 до 999, кратную пяти. Затем функцией sum() суммируем.

05.c И последнее однострочное решение на основе множества

По аналогии с предыдущими. Распаковываем последовательности чисел в списки. Складываем списки. Оборачиваем во множество. Затем суммируем функцией sum() .

Смотрим на скорость выполнения каждого однострочного решения

Если проверить скорость выполнения каждого однострочного решения в командной строке, при помощи timeit, получим следующие значения в микросекундах:

Методика расчёта: python -m timeit «выражение»

Быстрее всего справились с задачей последние четыре варианта.

Заключение

Всего получилось 5 уникальных + 5 не уникальных решений. Благодаря этой задаче у меня появилось более устойчивое понимание работы функций Filter, Map, Reduce. И если раньше я недоумевал, почему функцию Reduce убрали из основного модуля, то теперь я не сомневаюсь в правильности этого решения.

В статье я старался отойти от популярного шаблона повествования «точность на грани бесполезности». Где предложения набиты под завязку «тяжёлыми» терминами, а из знакомого там только союзы и предлоги. Не уверен, что у меня получилось.

Метод Эйлера в Python

Метод Эйлера для дифференциального уравнения с программированием на Python

Я пытаюсь реализовать метод Эйлера для приближения значения e в python. Вот что у меня есть на данный момент:

Однако, когда я пытаюсь вызвать функцию, я получаю ошибку «ValueError: shape Euler . Не могли бы вы дополнить свой вопрос этой информацией? Тиа

Формула, которую вы пытаетесь использовать, — это не метод Эйлера, а точное значение e при приближении n к бесконечности wiki,

Метод Эйлера используется для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Вот два руководства, которые показывают, как реализовать метод Эйлера для решения простой тестовой функции: руководство для новичков и руководство по числовому ODE.

Чтобы ответить на заголовок этого поста, а не на вопрос, который вы задаете, я использовал метод Эйлера для решения обычного экспоненциального распада:

У которого есть решение,

Код:

Выход:

Примечание: я не уверен, как правильно отобразить LaTeX.

Вы уверены, что не пытаетесь реализовать метод Ньютона? Потому что для аппроксимации корней используется метод Ньютона.

Если вы решите использовать метод Ньютона, вот немного измененная версия вашего кода, которая приближается к квадратному корню из 2. Вы можете изменить f(x) а также fp(x) с функцией и ее производной, которые вы используете в своем приближении к тому, что вы хотите.

[ 1. 1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356]

которые являются начальным значением и первыми десятью итерациями до квадратного корня из двух.

Помимо этого большой проблемой было использование ^ вместо того ** для полномочий, что является законной, но совершенно другой (побитовой) операцией в python.

• Я определенно имел в виду метод Эйлера, но да . ** определенно проблема. Благодарность

Метод эйлера дифференциальные уравнения python

Variant 19 (Sukach Maxim, BS17-03)

Найдем

В итоге, наше решение принимает вид:

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить функцию теоретически с любой наперед заданной точностью. Суть метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Метод Эйлера является методом 1-го порядка точности и называется методом ломаных.

Для вычисления используются следующие формулы:

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Метод Эйлера и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный метод Эйлера

Суть усовершенствованного метода Эйлера в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Усовершенствованный метод Эйлера является методом 2-го порядка точности и называется модифицированным методом Эйлера.

Разница между данным методом и методом Эйлера минимальна и заключается в использовании следующих формул:

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Усовершенствованный Метод Эйлера и точное решение при
x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0;y0). Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.

Ну и как обычно, формулы:

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 9, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 3, y0 = 1, h = 0.1

Классический метод Рунге-Кутты и точное решение при x0 = 0, xf = 1, y0 = 1, h = 0.1

Сравнение методов для заданной задачи

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 9] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 3] с шагом 0.1

Размер ошибки всех методов на промежутке [0, 1] с шагом 0.1

Очевидно что, классический метод Рунге-Кутты справляется с задачей аппроксимации в случае данного уравнения намного лучше чем Метод Эйлера и Усовершенствованный метод Эйлера.

График глобальной средней ошибки

Глобальная ошибка в зависимости от размера шага H на промежутке от 0.01 до 0.91 для x0 = 1, xf = 9