Метод эйлера для решения линейных уравнений

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k_i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020

Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения

Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения — Наука

Содержание:

В Метод Эйлера Это самая базовая и простая из процедур, используемых для нахождения приближенных численных решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, при условии, что известно его начальное условие.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию одной независимой переменной с ее производными.

Если наибольшая производная, которая появляется в уравнении, имеет степень один, то это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени.

Самый общий способ написать уравнение первой степени:

Что такое метод Эйлера?

Идея метода Эйлера заключается в нахождении численного решения дифференциального уравнения в интервале между X₀ и X_F .

Сначала интервал дискретизируется на n + 1 балл:

Которые получаются так:
Икс_я= х₀+ я

Где h — ширина или шаг подынтервалов:

С начальным условием также можно узнать производную в начале:

Эта производная представляет собой наклон касательной к кривой функции y (x) точно в точке:

Затем делается приблизительный прогноз значения функции y (x) в следующей точке:

Затем была получена следующая приближенная точка решения, которая будет соответствовать:

Процедура повторяется для получения последовательных баллов.

На рисунке, показанном в начале, синяя кривая представляет точное решение дифференциального уравнения, а красная — последовательные приближенные точки, полученные с помощью процедуры Эйлера.

Решенные упражнения

Упражнение 1

я) Пусть дифференциальное уравнение имеет вид:

При начальном условии x = a = 0; Y_к= 1

Используя метод Эйлера, получить приближенное решение Y в координате X = b = 0,5, разбивая интервал [a, b] на n = 5 частей.

Решение

Численные результаты резюмируются следующим образом:

Из чего делается вывод, что решение Y для значения 0,5 составляет 1,4851.

Примечание: для проведения расчетов, Smath studio, бесплатная программа для бесплатного использования.

Упражнение 2.

II) Продолжая работу с дифференциальным уравнением из упражнения I), найдите точное решение и сравните его с результатом, полученным методом Эйлера. Найдите ошибку или разницу между точным и приблизительным результатом.

Решение

Точное решение найти не очень сложно. Производная функции sin (x) известна как функция cos (x). Следовательно, решение y (x) будет:

Для выполнения начального условия и (0) = 1 константа C должна быть равна 1. Затем точный результат сравнивается с приблизительным:

Сделан вывод, что в расчетном интервале аппроксимация имеет три значащих цифры точности.

Упражнение 3.

III) Рассмотрим дифференциальное уравнение и его начальные условия, указанные ниже:

При начальном условии x₀ = 0; Y₀ = 1

Используйте метод Эйлера, чтобы найти приблизительные значения решения у (х) в интервале х = [0, 1,5]. Используйте шаг h = 0,1.

Решение

Метод Эйлера очень подходит для использования с электронной таблицей. В этом случае мы будем использовать электронную таблицу геогебра бесплатная и бесплатная программа.

В электронной таблице на рисунке показаны три столбца (A, B, C), первый — это переменная Икс , второй столбец представляет переменную Y, а третий столбец — производная Y ‘.

Строка 2 содержит начальные значения Икс, Y, Y ‘ .

Шаг значения 0,1 помещен в ячейку абсолютного положения ($ D $ 4).

Начальное значение y0 находится в ячейке B2, а y1 — в ячейке B3. Чтобы вычислить y₁ используется формула:

Эта формула электронной таблицы будет иметь вид B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Точно так же y2 будет в ячейке B4, и его формула показана на следующем рисунке:

На рисунке также показан график точного решения и точки A, B,…, P приближенного решения по методу Эйлера.

Ньютоновская динамика и метод Эйлера

Классическая динамика была разработана Исааком Ньютоном (1643 — 1727). Первоначальная мотивация Леонарда Эйлера (1707 — 1783) к разработке своего метода заключалась именно в решении уравнения второго закона Ньютона в различных физических ситуациях.

Второй закон Ньютона обычно выражается в виде дифференциального уравнения второй степени:

куда Икс представляет положение объекта в момент т. Указанный объект имеет массу м и подвергается силе F. Функция F связана с силой и массой следующим образом:

Для применения метода Эйлера требуются начальные значения времени. т, скорость v и положение Икс.

В следующей таблице объясняется, как, начиная с начальных значений t1, v1, x1, можно получить приближение скорости v2 и положения x2 в момент t2 = t1 + Δt, где Δt представляет небольшое увеличение и соответствует шагу в методе Эйлер.

Упражнение 4.

IV) Одна из фундаментальных проблем механики — это проблема блока массы M, привязанного к пружине (или пружине) с постоянной упругостью K.

Второй закон Ньютона для этой проблемы будет выглядеть так:

В этом примере для простоты мы возьмем M = 1 и K = 1. Найдите приблизительные решения для положения Икс и скорость v методом Эйлера на временном интервале [0, π / 2], разбивая интервал на 12 частей.

Возьмите 0 в качестве начального момента, начальную скорость 0 и начальное положение 1.

Решение

Численные результаты представлены в следующей таблице:

Также отображаются графики положения и скорости между временами от 0 до 1,44.

Предлагаемые упражнения для дома

Упражнение 1

Используйте электронную таблицу, чтобы найти приближенное решение с помощью метода Эйлера для дифференциального уравнения:

y ’= — Exp (-y) с начальными условиями x = 0, y = -1 в интервале x = [0, 1]

Начните с шага 0,1. Постройте результат.

Упражнение 2.

Используя электронную таблицу, найдите численные решения следующего квадратного уравнения, где y является функцией независимой переменной t.

y ’’ = -1 / y² с начальным условием t = 0; и (0) = 0,5; у ‘(0) = 0

Найдите решение на интервале [0,5; 1.0] с шагом 0,05.

Постройте результат: y vs t; y ‘vs t

Ссылки

1. Метод Эрлера Взято с wikipedia.org
2. Решатель Эйлера. Взято с en.smath.com

Мавританский роман: происхождение, характеристика, представители и произведения

80 замечательных фраз против гендерного насилия

Интегрирование однородных линейных систем ДУ
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера

Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида

где коэффициенты — постоянные, а — искомые функции от .

Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения

называется частным решением уравнения (2) в интервале , если выполняется тождество

Система частных решений

(здесь в записи нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале , если ее определитель Вронского

Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные.

Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.

Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера .

Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:

Решение системы (3) ищем в виде

Подставляя (4) в (3) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения и

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю,

Уравнение (6) называется характеристическим .

А. Пусть корни и характеристического уравнения — вещественные и различные . Подставив в (5) вместо число и решив систему (5), получим числа и . Затем положим в (5) и получим числа и, наконец, при получим и . Соответственно трем наборам чисел и получим три частных решения

Общее решение системы (3) имеет вид

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Корням соответствуют числа

Выписываем частные решения

Общее решение системы:

Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные .

Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений

Решение. Выпишем систему для определения и

имеет корни . Подставляя в (8), получаем два уравнения для определения и

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).

Возьмем , тогда первое частное решение запишется так:

Аналогично, подставляя в (8) корень , найдем второе частное решение:

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:

Пользуясь известной формулой Эйлера , из (9), (10) и (11) получаем

Общим решением системы (7) будет

Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами

где и обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа , т. е. если , то , .

В. Случай кратных корней.

Пример 3. Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение

Решение следует искать в виде

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части (14), получаем:

Величины и остаются произвольными. Обозначая их соответственно через и , получаем общее решение системы (12):

Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства

получаем два соотношения для определения и через и

Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

с начальными условиями .

Решение. Характеристическое уравнение

Корни уравнения (17): . Действительному корню отвечает решение

Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на , получаем

откуда . Полагаем, например, , тогда и частное решение (18):

Комплексному корню отвечает решение

подставив которое в (16) и сокращая на , получим

откуда , так что, например, при имеем и частное решение

Корню соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.

Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение

Выделим, наконец, решение с начальными условиями . Из (22) при имеем

Воспользовавшись формулами Эйлера , окончательно получим