Метод фурье для неоднородного уравнения колебаний

Метод Фурье

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Рассмотрим этот метод, обратившись к простейшей задаче о свободных колебаниях однородной струны длины i, закрепленной на концах. §4. Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах Задача о свободных колебаниях однородной струны с закрепленными концами сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Метод Фурье Задачу (1 )-(3) называют смешанной: она содержит и начальные и граничные условия. Решение задачи начнем с поиска частных решений уравнения (1) вида При этом будем предполагать, что каждое из них удовлетворяет граничным условиям (2), но не равно нулю тождественно. Подставляя функцию и<х, t) в форме (4) в уравнение (1), получаем ИЛИ Последнее равенство (его левая часть зависит только от а правая — только от х) возможнолишь втом случае, если обе его части не зависят ни от ty ни от х,т.е. равны одной и той же постоянной.

Обозначим эту постоянную (разделения) через (-А), Из равенства (5) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения Граничные условия (2) дают откуда (T(t) £ 0) следует, что функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям Чтобы получить нетривиальные решения tt(x, t) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7)-(8), а также сами эти решения. Такие значения параметра А называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (7)-(8). Сформулированную таким образом задачу называют задачей Штурма—Лиувилля. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7)-(8).

Рассмотрим отдельно три случая, когда 1.

При общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнения граничных условий (8), получим (6) (7) Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то . Следовательно, Х(х) = 0, т. е. при нетривиальных решений задачи не существует. (9) 2. При А = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Граничные условия (8) дают откуда С, = С2 = 0, и следовательно, при А = 0 нетривиальных решений задачи (7)-(8) также не существует. 3.

При Л > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнение граничных условий (8), получим Система (10) имеет нетривиальные решениятогда и толькотогда, когда определитель системы равен нулю, Метод Фурье будут собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, который мы выбрали равным единице. При А = А* общее решение у равнения (6) имеетвид ктга кчга где Аки Bk — произвольные постоянные. Таким образом, функции удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых Ак и Вку В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая коневая сумма решений будет также решением уравнения (1).

То же справедливо и для ряда если он сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Поскольку каждое слагаемое в ряде (11) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма u(s, t) этого ряда. Остается определить в формуле (11) постоянные .4* и Вк так, чтобы выполнялись и начальные условия (3). Продифференцируем формально ряд (11) по t.

Имеем Полагая в соотношениях (l 1) и (12) t = 0, в силу начальных условий (3) получим Формулы (13) представляют собой разложения заданных функций вряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты разложений (13) вычисляются по известным формулам / I Теорема 2. Если и удоъчетворяет условиям и удовлетворяет условию то сумма tx(x, £) ряда (11), где -А* и В* опредыяются формулами (14), имеет в области непрерывные частные производные до второго порядка включительно по каждому из аргументов, удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3), т. е. является решением задачи (1 )-(3).

Пример. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины I, закрепленной на концах, если в начальный момент t = 0 струна имеет форму параболы — const), а начальная скорость отсутствует. 4 Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Фурье

Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде Подставляя «(*,*) в форме (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим откуда причем в силу (2) Как было установлю но выше, собственные значения задачи (7)-(8) а соответствующие собственные функции Для А = Ащ общее решение уравнения (6) имеет вид пяа ижа Будем иска тъ решение исходной задачи в виде ряда Для определен ия коэффициентов -4Я и Z?„ воспользуемся начальными условия ми (3).

получаем, что 2?„ = 0 для любог о п, а из (10) Метод Фурье откуда, интегрируя по частям дважды . находи м . Подставляя наеденные значения А, и в ряд (9), получим решение поставленной задачи , Замечание. Если начальные фукхдда не удовлетворяют условиям теоремы 2, то дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи (1)-(3) может и не существовать.

Однако если , то ряд (II) сходетс* равномерно при и любом t и определяет непрерывную функюао u(xtt). В этом случае можно говорить лишь об обобщенная решении задачи. Каждая из функций определяет так называемые собств енные колебания струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, отвечающих к = 1, струна издает основной, самый низкий тон.

При колебаниях, соответствующих ббльшим Л.она издает более высокие тоны, обертоны. Записав *) в виде заключаем, что собственные колебания струны — стоячие волны, при которых точки струны совершают гармонические колебания с амплитудой Нк sin частотой Метод Фурье Мы рассмотрели случай свободных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Рассмотрим теперьслуч ай других граничных условий.

Пусть, например, левый конец струны закреплен, u(0, t) = 0, а правый конец х — 1 упругосвязан со своим положением равновесия, что соответствует условию . Нетривиальное решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее поставленным граничным условиям, будем опять искать в виде В результате подстановки в уравнение (1) приходим к следующей задаче о собственных значениям: найти такие значения параметра Л, для которых дифференциальное уравнение при граничных условиях имеет нетривиальные решения Х(х). Общее решение уравнения (15) имеет вид (А > 0)

Первое из граничных условий

Первое из граничных условий (16) дает С\ = 0, так что функциями Х(х) с точностью до постоянного множителя являются sin у/Хх. Из второго граничного условия Положим А = ir. Тогда Для отыскания и получаем трансцендентное уравнение. Корни этого уравнения можно найти графически, взяв в плоскости (f, z) сечения последовательных ветвей кривой z = tg(i//) прямой линией z = (рис. 7).

Обе части уравнения (18) — нечетные функции относительно р, поэтому каждому положительному корню i/fc соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный корень. Поскольку изменение знака Uk не влечет за собой появления новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), достаточно ограничиться положительными корнями уравнения (18).

В результате опять получается последовательность собственных значений и отвечающие им последовательности собственных функций и собственных колебаний Кстати, для n-ой собственной частоты ип получается асимптотическое соотношение в частности, для I = т имеем Если правый конец струны х = I свободен, получаем cos vl = 0. Отсюда ul = § + тиг, так что в случае свободного конца собственные значения и собственные функции соответственно равны

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода.

Мария Огаркова 5 лет назад Просмотров:

1 1 Метод Фурье для неоднородного параболического уравнения с однородными краевыми условиями второго рода. 699 M. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности с однородными краевыми условиями второго рода. u t a u xx = fx, t, x,, t >, 1.1 u x, t = u x, t =, t >, 1. ux, = ϕx, x [, ]. 1.3 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Рассмотрим задачу X x + λxx =, 1.4 X = X =. 1.5 Задача есть задача Штурма Лиувилля. Общее решение уравнения 1.4 имеет вид Xx = c 1 sin λ x + c cos λ x при λ > ; 1.6 Xx = c 1 e λ x + c e λ x при λ имеем из краевого условия X =, что c 1 =, Xx = c cos λ x X x = c λ sin λ x. Поэтому из второго краевого условия X = получаем, что λ = πk откуда имеем бесконечное множество собственных чисел задачи Штурма Лиувилля: πn λ n =, n N. 1.9 Им соответствует бесконечное множество собственных функций: X n x = cos, n N. 1.1 При λ 2 Шаг. Будем искать решение уравнения u t a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= X x 1, X n x = cos Заметим сразу, что каждое слагаемое приведённого ряда удовлетворяет краевым условиям 1., что достаточно если ряд допускает почленный переход к пределу при x +, x = для того, чтобы функция ux, t, определённая таким образом, также удовлетворяла краевым условиям 1.. Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по косинусам fx, t = f t При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: + cos f n t. 1.1 f n t = f, X n = fx, t cos dx Тогда уравнение 1.1 приобретает вид n= Xn xt nt a X n xt n t = f t Для его выполнения достаточно, чтобы + f n t cos. то есть T t = f t X n xt nt a X n xt n t = f n t cos T t = f t T nt + πna T n t cos = f n t cos для n = для n N, для n = для n N. Это заведомо выполнено, если T t = f t для n = 1.14 T nt + πna T n t = f n t для n N, 1.15 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u t a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия —

3 ux, = ϕx. Пусть функция ϕx, входящая в начальное условие, разлагается в ряд по косинусам Подставим функцию ux, t = T n t cos опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальное условие: ϕx = ϕ + ϕ n cos, x [, ] где 1.16 n= n= ϕ n = ϕx cos dx T n cos = ϕ + ϕ n cos. Для выполнения этого равенства достаточно, чтобы T = ϕ для n = T n = ϕ n для n N. Таким образом, из 1.14, 1.15 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T t = f t T = ϕ T nt + πna T n t = f n t для n = 1.18 T n = ϕ n для n N Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R. При n = : T t = ϕ + 1 t f τdτ. 1. При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T nt + πna T n t =. T n t = c e πna t. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения 1.19 в виде T n t = cte πna t, = T nt = c t πna ct e πna t. Подставив эти равнества в 1.19, получим уравнение для нахождения ct: c t = f n te πna t, -3-

4 откуда, с учётом начального условия T n = ϕ n, ct = ϕ n + t f n τe πna τ dτ. 1.1 Таким образом, t T n t = ϕ n e πna t + f n τe πna t τ dτ. 1. Всё, что нам осталось сделать, это подставить 1., 1. в формулу Получаем ответ: ux, t = ϕ + 1 t f τdτ + ux, t = n= T n t cos. ϕ n e πna t + t f n τe πna t τ dτ cos 669 M. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода.. u tt a u xx = fx, t, x,, t >,.1 u x, t = u x, t =, t >,. ux, = ϕx, x [, ]..3 u t x, = ψx, x [, ]..4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Этот шаг полностью повторяет Шаг 1. задачи 699 M. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= X x 1,.5 X n x = cos..6 Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по косинусам fx, t = f t При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: + cos f n t..7 f n t = f, X n = fx, t cos dx..8-4-

5 Тогда уравнение.1 приобретает вид n= Xn xt n t a X n xt n t = f t Для его выполнения достаточно, чтобы то есть T t = f t X n xt n t a X n xt n t = f n t cos + f n t cos. T t = f t T n t + πna T n t cos = f n t cos Это заведомо выполнено, если T t = f t для n = для n N, для n = для n N. для n =.9 T n t + πna T n t = f n t для n N,.1 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу.1.4. Из условий задачи.1.4 мы ещё не использовали только начальные условия ux, = ϕx, u t x, = ψx. Пусть функции ϕx, ψx, входящие в начальные условия, разлагаются в ряд по косинусам Подставим функцию ux, t = T n t cos опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальные условия: ϕx = ϕ + ϕ n cos, x [, ] где.11 ϕ n = ϕx cos dx..1 ψx = ψ + ψ n cos, x [, ] где.13 n= n= ψ n = ψx cos dx..14 T n cos = ϕ + ϕ n cos ; -5-

6 n= УМФ семинар Метод Фурье T n cos = ψ + ψ n cos. Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы T = ϕ T = ψ для n = T n = ϕ n T n = ψ n для n N. Таким образом, из.9,.1 и.11.1, для функций T n t имеем задачу Коши: T t = f t T = ϕ для n =.15 T = ψ T n t + πna T n t = f n t T n = ϕ n для n N..16 T n = ψ n Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R, ψ n R. При n = : T t = ϕ t + При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: ψ + 1 τ T n t + πna T n t =. T n t = c 1 sin πnat f κdκ dτ c cos πnat. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения.16 в виде T n t = c 1 t sin πnat + c t cos πnat, где c 1, t есть решения системы c 1t sin πnat πna c 1 t cos πnat + c t cos πnat = ; c t sin πnat = fn t. откуда c 1t = πna f nt cos πnat, c t = πna f nt sin πnat. С учётом начальных условий T n = ϕ n, T n = ψ n окончательно получаем c 1 t = πna ψ n + t f n τ cos πnaτ dτ, c t = ϕ n t f n τ sin πnaτ dτ..18 πna πna -6-

7 Таким образом, T n t = ϕ n sin πnat + πna + ψ n πna sin πnat πnat cos + t f n τ cos πnaτ dτ cos πnat t f n τ sin πnaτ Всё, что нам осталось сделать, это подставить.17,.19 в формулу ux, t = T n t cos. n= dτ M. Классический способ. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, x,, t >, 3.1 u, t = u, t =, t >, 3. ux, = β α x + α, x [, ]. 3.3 u t x, =, x [, ]. 3.4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Рассмотрим задачу 3.5 X x + λxx =, 3.6 X = X =. 3.7 Задача есть задача Штурма Лиувилля. Её решение нам уже известно: λ n =, X n x = sin, n N. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u, t = u, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: X n x = sin, n N. 3.8 Пусть функция fx разложена в ряд Фурье по синусам так как в данном примере f не зависит от t, то f n тут просто константы, не зависящие от t fx = sin f n. 3.9 При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам: f n = f, X n = fx sin dx

8 Тогда уравнение 3.1 приобретает вид Xn xt n t a X n xt n t = Для его выполнения достаточно, чтобы X n xt n t a X n xt n t = f n sin то есть T n t + πna T n t sin = f n sin Это заведомо выполнено, если f n sin. для n N, для n N. T n t + πna T n t = f n для n N, 3.11 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t sin была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u, t = u, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия ux, = ϕx = α β x α, u t x, = ψ =. Найдём разложение функций ϕx, ψx, входящих в начальные условия, в ряд по синусам ϕx = ψx = Подставим функцию ux, t = ϕ n sin, где ϕ n = ϕx sin ψ n sin, где ψ n = ψx sin T n t sin опять-таки в предположении, что ряд «хороший» в начальные условия: T n sin = dx. 3.1 dx T n sin = Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы ϕ n sin ; ψ n sin. T n = ϕ n T n = ψ n для n N. Таким образом, из 3.11 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T n t + πna T n t = f n T n = ϕ n для n N T n = ψ n -8-

9 Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n R и любых значениях ϕ n R, ψ n R. Найдём ϕ n, ψ n из 3.1, 3.13 с учётом, что ϕx = β α x + α, ψ =. ϕ n = ϕx sin dx = + α β cos πn πn > << >β α x cos dx + α x= + x= sin dx = = 1n β α + α 1 1n = πn πn πn α 1n β, ψ n =. При n N: сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T n t + πna T n t =. T n t = c 1 sin πnat + c cos πnat. Простой вид правой части позволяет нам угадать частное решение неоднородного уравнения 3.14 в виде константы: f n. Поэтому общее решение 3.14 имеет вид: πna T n t = c 1 sin πnat + c cos πnat Из начального условия T n = ψ n = следует, что c 1 =. + f n πna. А второе начальное условие T n = ϕ n = πn α 1n β даёт нам c = πn α 1n β f n πna. Таким образом, T n t = πn α 1n β f n cos πnat + f n πna πna

10 Всё, что нам осталось сделать, это подставить 3.15 в формулу Получим ответ: ux, t = ux, t = T n t sin. πn α 1n β f n cos πnat sin + πna f n πna sin. 654 M. Короткий способ. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, x,, t >, 4.1 u, t = u, t =, t >, 4. ux, = β α x + α, x [, ]. 4.3 u t x, =, x [, ]. 4.4 Шаг 1. Так как правые части всех равенств в этой задаче не зависят от времени, будем искать решение задачи в виде суммы ux, t = vx, t + wx. Найдём w = wx такую, чтобы 4.5 w tt a w xx = fx, x,, t >, 4.6 w, t = w, t =, t >. 4.7 Раз w = wx, то w tt =, и задача принимает более простой вид: Проинтегрируем уравнение 4.8 один раз: Проинтегрируем второй раз: w x = fx, a x,, 4.8 w = w =. 4.9 w x = 1 a wx = 1 a x y x fsds + c 1. fsdsdy + c 1 x + c. Из краевого условия w = получаем, что c =, а из w =, что = 1 a y fsdsdy + c 1, -1-

11 откуда c 1 = 1 a Итак, функция wx нам полностью известна: wx = x a y y fsdsdy. fsdsdy 1 a Тогда для vx, t = ux, t wx получается задача x y fsdsdy. 4.1 v tt a v xx =, x,, t >, 4.11 v, t = v, t =, t >, 4.1 vx, = β α x + α wx = ϕx, x [, ] v t x, =, x [, ] Такую задачу мы уже умеем решать см. номер 643. Её ответ: vx, t = sin A n cos где A n и B n задаются равенствами πna t + B n sin πna 4.15 t, 4.16 A n = ϕx sin dx; 4.17 B n = ψx sin aπn В нашем случае ψ =, а ϕ = β α x + α wx, откуда A n = β α x + α wx sin dx dx, B n = и функция v имеет вид vx, t = A n sin cos πnat Всё, что нам осталось сделать, это подставить в формулу найденные функции v и wиз 4.19 и 4.1. ux, t = vx, t + wx -11-

12 667. Решить неоднородную начально-краевую задачу для уравнения колебаний с однородными краевыми условиями второго рода. u tt a u xx = fx, t, x,, t >, 5.1 u, t = u x, t =, t >, 5. ux, =, x [, ]. 5.3 u t x, =, x [, ]. 5.4 Шаг 1. Решение задачи Штурма Лиувилля. Этот шаг мы проходили, когда решали задачу 649 M. Результат: бесконечное множество нетривиальных решений πn 1 πn 1x λ n =, X n x = sin, n N. Шаг. Будем искать решение уравнения u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t = в виде ux, t = X n T n t, где функции X n x имееют вид: n= 5.5 πn 1x X n x = sin. 5.6 Пусть функция fx, t разложена при каждом t [, T ] в ряд Фурье по функциям X n x: πn 1x fx, t = sin f n t. 5.7 При этом, коэффициенты данного ряда Фурье ищутся по формулам как мы убедились, решая 649 M : f n t = f, X n = πn 1x fx, t sin dx. 5.8 Тогда уравнение 5.1 приобретает вид Xn xt n t a X n xt n t = n= Для его выполнения достаточно, чтобы πn 1x X n xt n t a X n xt n t = f n t sin πn 1x f n t sin. то есть T n t + π n 1 a πn 1x πn 1x T 4 n t sin = f n t sin Это заведомо выполнено, если для n N, для n N. T n t + π n 1 a 4 T n t = f n t для n N,

13 Итак, мы получили условия на функции T n t, достаточные для того, чтобы функция ux, t = T n t cos была если ряд «хороший» решением уравнения n= u tt a u xx = fx, t с краевыми условиями u x, t = u x, t =. Шаг 3. Решаем задачу Из условий задачи мы ещё не использовали только начальные условия ux, =, u t x, =. Функции ϕx, ψx, входящие в начальные условия, разлагаются в ряд по функциям X n x πn 1x ϕx = ϕ n sin ψx = ψ + ψ n cos Подставим функцию ux, t = T n t sin «хороший» в начальные условия: πn 1x πn 1x T n sin = πn 1x T n sin =, x [, ] где ϕ n =, 5.1, x [, ] где ψ n = 5.11 опять-таки в предположении, что ряд πn 1x ϕ n sin = ; πn 1x ψ n sin =. Для выполнения этих равенств достаточно, чтобы T n = ϕ n = T n = ψ n = для n N. Таким образом, из 5.9 и , для функций T n t имеем задачу Коши: T n t + π n 1 a T 4 n t = f n t T n = n N. 5.1 T n = Эти задачи Коши имеют единственное решение при любых f n C[, T ] и любых значениях ϕ n R, ψ n R. сначала решаем однородное уравнение: Его общее решение имеет вид: T n t = c 1 sin T n t + π n 1 a 4 T n t =. πn 1at + c cos πn 1at. Метод вариации постоянной позволяет нам искать решение уравнения 5.1 в виде T n t = c 1 t sin πn 1at + c t cos πn 1at, где c 1, t есть решения системы -13-

14 откуда c 1t sin πn 1at πn 1a + c t cos πn 1at = ; c 1t cos πn 1at c t sin πn 1at = f n t. c 1t = πn 1a f nt cos πn 1at, c t = πn 1a f nt sin πn 1at. С учётом начальных условий T n = ϕ n =, T n = ψ n = окончательно получаем c 1 t = t πn 1aτ f n τ cos dτ, πn 1a Таким образом, T n t = c t = πn 1at t πn 1aτ sin f n τ cos dτ πn 1a cos πn 1at t πn 1aτ f n τ sin dτ. πn 1a 5.13 t f n τ sin Всё, что нам осталось сделать, это подставить 5.14 в формулу I. Найти решение ux, t задачи ux, t = T n t sin πn 1x. πn 1aτ dτ u tt a u xx = fx, t, x,, t >, 5.15 u, t = u, t =, t >, 5.16 ux, = ϕx, x [, ] u t x, =, x [, ] Решение: см. 654 M Классический способ, стр II. Найти решение ux, t задачи u t a u xx = fx, x,, t >, 5. u, t = u, t =, t >, 5.1 ux, = ϕx, x [, ]. 5. Решение: см. 654 M Короткий способ, стр