Метод фурье для уравнения колебаний струны презентация

Начнем с того, в чем суть метода Фурье. Метод разделения переменных использовался еще в XVIII B. Л. Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемAwadh Redhwan

Похожие презентации

Презентация на тему: » Начнем с того, в чем суть метода Фурье. Метод разделения переменных использовался еще в XVIII B. Л. Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи.» — Транскрипт:

2 Начнем с того, в чем суть метода Фурье. Метод разделения переменных использовался еще в XVIII B. Л. Эйлером, Д. Бернулли и Ж. Лагранжем для решения задачи о колебании струны. В начале ХIХ в. этот метод был детально разработан Ж. Фурье и применен им к задаче о распределении тепла. Впоследствии метод разделения переменных получил название метод Фурье. МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных). Этот метод может быть применен к краевым задачам на собственные значения 1. Общая схема метода Фурье. Разобьем независимые переменные на две группы: x = (x 1, x 2. x n ) и y =( y 1, y 2. y n ), и пусть G R n – область изменения x и D R m – область изменения y. Обозначим через S и Г границы областей G и D соответственно. Тогда (S × D) (G × Г) есть граница области G × D R n+m.

3 B области G × D рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа: где L и М – эллиптические операторы, не зависящие от y и x соответственно; функции α, β не зависят от y и функции, не зависят от x. Будем искать собственные функции задачи (1) – (2) в виде произведения Х (x) Y(y), Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем откуда u (x, y) = Х (x) Y(y). (1) (2) (3) (5) (4)

4 Левая часть равенства (5) не зависит от у, а правая – от x. Следовательно, эти выражения не зависят ни от x, ни от у, т. е. равны постоянной. Обозначая эту постоянную через m и полагая = из (5) получаем два уравнения: Таким образом, уравнение (1) расщепилось на два уравнения (6) и (7), или, как говорят, переменные разделились; при этом дополнительно появился неизвестный параметр. Для вывода граничных условий для функций X (x) и Y (y) подставим произведение X (x) Y(y) в граничные условия (2). Β результате, после сокращений, получим LX = X MY = Y. (6) (7) (8) (9)

5 Итак, краевая задача на собственные значения (1) (2) распалась на две краевые задачи на собственные значения (6) (8) и (7) (9) с меньшим числом независимых переменных. Обозначим через k, X k (x), k = 1, 2. и j, Y j ( y ), j = 1, 2. все собственные значения и собственные функции операторов L и М соответственно. В силу (З) суть собственные значения и собственные функции исходной краевой задачи (1) (2). Замечание. Пусть ортонормальные системы собственных функций < X k >и < Y j >полны в и ортонормальна и полна в. ] система собственных функций < X k Y j >ортонормальна и полна в. B этом случае формулы (10) дают все собственные значения и собственные функции краевой задачи (1) (2). соответственно. Тогда по [ Пусть области G R n и D R m ограничены, функций j (y), j = 1, 2. ортонормальна и полна в и при каждом j = 1, 2. система функций kj (x), k = 1, 2. ортонормальна и полна в. лемме (10) (11)

6 Пример: Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для трёхмерного шара U R : Эту задачу удобно решать сферических координатах ( r,, ), 0 r

7 Поэтому ограниченным в нуле решением уравнения (16) является функция Чтобы удовлетворить граничному условию, необходимо положить в (18), где положительные корни функции Бесселя. Итак, собственные значения и собственные функции краевой задачи (12). Выбирая нормирующие множители c ljm такими, что (см. формулы (21) и (22)) (18) (19) (20)

8 и учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя в ; r ] и сферических функций в, B силу заключаем, что система собственных функций (30) ортонормальна и полна в, поэтому других собственных значений и собственных функций задача (24) не имеет. Аналогичным образом рассматривается и краевая задача леммы (21) (22) (23)

9 Уравнением Гельмгольца называется уравнение u + k 2 u = f (x) При k = 0 оно превращается в уравнение Пуассона. Теория уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения Пуассона, однако имеются некоторые особенности, связанные c неединственностью решения (при k 2 > 0 ). Уравнение (1) будем рассматривать в трехмерном пространстве, n = 3. Соответствующие фундаментальные решения выражающиеся формулами В дальнейшем считаем k > 0. (1) (2)(3) 0 ). Уравнение (1) будем рассматривать в трехмерном пространстве, n = 3. Соответствующие фундаментальные решения выражающиеся формулами В дальнейшем считаем k > 0. (1) (2)(3)»>

10 Внешние краевые задачи для шара. Рассмотрим внешнюю краевую задачу для шара радиуса R Эта задача имеет единственное решение, построим его. Для этого разложим функции u ( r,, ) и u 0 (, ) в ряды сферическим функциям: Неизвестные коэффициенты разложения должны удовлетворять уравнению ( ) (4) (5) (6) (7)

11 граничному условию и условиям излучения Общее решение уравнения (7) имеет вид где функция Ханкеля. Учитывая асимптотические формулы (11) для этих функций, видим, что условиям (9) удовлетворяет лишь функция так что c 2 = 0. Чтобы удовлетворить условию (8), достаточно положить (8) (9) (10) (11)

12 Подставляя найденные значения c 1 и c 2 в (10), получим искомое решение u в виде Аналогично рассматривается и внешняя краевая задача II рода. (12)

13 Уравнение Гельмгольца в сферических координатах ( r,, ) имеет вид: Уравнение (1) допускает разделение переменных, поэтому подставим в него выражение и после разделения переменных получим уравнения: Где и m 2 постоянные разделения. (1) (2) (3) (4)

14 Найдя соответствующие решения этих уравнений, можно построить собственные функции областей, имеющих форму шара, полого шара, а также шара или полого шара с вырезом либо в виде кругового конуса с вершиной в центре шара, либо в виде части его, заключенной между двумя полуплоскостями, выходящими из одного диаметра. Если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла, то функция должна иметь период 2 Общее решение уравнения (4), удовлетворяющее этому требованию, имеет вид где m = 1, 2, 3. а m произвольная постоянная. Уравнение (2) при = n (n + 1), где n целое число, представляет уравнение присоединенных полиномов Лежандра P nm (cos ). Как мы знаем, произведения присоединенных полиномов Лежандра на функции вида (5) образуют полную систему сферических функций в интервалах 0 2, 0 2 изменения переменных и. Поэтому, для данных интервалов изменения переменных и, в состав собственных функций не может входить никаких других произведений, линейно-независимых с указанными. Следовательно, если изучаемая область охватывает полный диапазон изменения угла, то надо положить = n (n + 1). (5)

15 Перейдем к уравнению (2). При = n (n + 1), с помощью подстановки оно преобразуется в уравнение Бесселя полуцелого порядка: Решения которого обозначим через Z n+1/2 (kr). Тогда Перемножив функции, и, придем к следующему общему выражению собственных функций для областей, в которых координаты и меняются в интервалах 0, 0 2 (шар и полый шар): Конкретный выбор решения Z n+1/2 (kr) и собственные числа k l 2 определяется заданным граничным условием. (6) (7)

16 Рассмотрим, например, граничное условие u = 0, когда r = r 0 и r = r 1 (r 1 r 0 ), соответствующее задаче Дирихле для полого шара с внутренним радиусом r 1 и внешним радиусом r 0. Общее решение уравнения (6) имеет вид откуда Подставив это выражение в заданное граничное условие, для определения постоянных А и В получим систему уравнений: (8) (9) (10) (11) (12)

17 Нетривиальные решения этой системы существуют, если ее определитель равен нулю, т. е. При значениях параметра k, удовлетворяющих условию Корни этого уравнения, перенумерованные в порядке их возрастания, обозначим через k ln. При k = k ln : вследствие чего можно положить Отсюда для собственных функций задачи Дирихле, поставленной в области, имеющей вид полого шара, получим выражение: где A lmn произвольные постоянные. (13) (14) (15) (16)

Метод Фурье

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье, или метод разделения переменных, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Рассмотрим этот метод, обратившись к простейшей задаче о свободных колебаниях однородной струны длины i, закрепленной на концах. §4. Свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах Задача о свободных колебаниях однородной струны с закрепленными концами сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Метод Фурье Задачу (1 )-(3) называют смешанной: она содержит и начальные и граничные условия. Решение задачи начнем с поиска частных решений уравнения (1) вида При этом будем предполагать, что каждое из них удовлетворяет граничным условиям (2), но не равно нулю тождественно. Подставляя функцию и<х, t) в форме (4) в уравнение (1), получаем ИЛИ Последнее равенство (его левая часть зависит только от а правая — только от х) возможнолишь втом случае, если обе его части не зависят ни от ty ни от х,т.е. равны одной и той же постоянной.

Обозначим эту постоянную (разделения) через (-А), Из равенства (5) получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения Граничные условия (2) дают откуда (T(t) £ 0) следует, что функция Х(х) должна удовлетворять граничным условиям Чтобы получить нетривиальные решения tt(x, t) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо найти нетривиальные решения уравнения удовлетворяющие граничным условиям.

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7)-(8), а также сами эти решения. Такие значения параметра А называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями задачи (7)-(8). Сформулированную таким образом задачу называют задачей Штурма—Лиувилля. Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7)-(8).

Рассмотрим отдельно три случая, когда 1.

При общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнения граничных условий (8), получим (6) (7) Так как определитель системы (9) отличен от нуля, то . Следовательно, Х(х) = 0, т. е. при нетривиальных решений задачи не существует. (9) 2. При А = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Граничные условия (8) дают откуда С, = С2 = 0, и следовательно, при А = 0 нетривиальных решений задачи (7)-(8) также не существует. 3.

При Л > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид Потребовав выполнение граничных условий (8), получим Система (10) имеет нетривиальные решениятогда и толькотогда, когда определитель системы равен нулю, Метод Фурье будут собственными функциями задачи. Собственные функции определены с точностью до постоянного множителя, который мы выбрали равным единице. При А = А* общее решение у равнения (6) имеетвид ктга кчга где Аки Bk — произвольные постоянные. Таким образом, функции удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых Ак и Вку В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая коневая сумма решений будет также решением уравнения (1).

То же справедливо и для ряда если он сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать по х и по t. Поскольку каждое слагаемое в ряде (11) удовлетворяет граничным условиям (2), то этим условиям будет удовлетворять и сумма u(s, t) этого ряда. Остается определить в формуле (11) постоянные .4* и Вк так, чтобы выполнялись и начальные условия (3). Продифференцируем формально ряд (11) по t.

Имеем Полагая в соотношениях (l 1) и (12) t = 0, в силу начальных условий (3) получим Формулы (13) представляют собой разложения заданных функций вряд Фурье по синусам в интервале Коэффициенты разложений (13) вычисляются по известным формулам / I Теорема 2. Если и удоъчетворяет условиям и удовлетворяет условию то сумма tx(x, £) ряда (11), где -А* и В* опредыяются формулами (14), имеет в области непрерывные частные производные до второго порядка включительно по каждому из аргументов, удовлетворяет уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3), т. е. является решением задачи (1 )-(3).

Пример. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины I, закрепленной на концах, если в начальный момент t = 0 струна имеет форму параболы — const), а начальная скорость отсутствует. 4 Задача сводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод Фурье

Применяя метод Фурье, ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде Подставляя «(*,*) в форме (4) в уравнение (1) и разделяя переменные, получим откуда причем в силу (2) Как было установлю но выше, собственные значения задачи (7)-(8) а соответствующие собственные функции Для А = Ащ общее решение уравнения (6) имеет вид пяа ижа Будем иска тъ решение исходной задачи в виде ряда Для определен ия коэффициентов -4Я и Z?„ воспользуемся начальными условия ми (3).

получаем, что 2?„ = 0 для любог о п, а из (10) Метод Фурье откуда, интегрируя по частям дважды . находи м . Подставляя наеденные значения А, и в ряд (9), получим решение поставленной задачи , Замечание. Если начальные фукхдда не удовлетворяют условиям теоремы 2, то дважды непрерывно дифференцируемого решения смешанной задачи (1)-(3) может и не существовать.

Однако если , то ряд (II) сходетс* равномерно при и любом t и определяет непрерывную функюао u(xtt). В этом случае можно говорить лишь об обобщенная решении задачи. Каждая из функций определяет так называемые собств енные колебания струны, закрепленной на концах. При собственных колебаниях, отвечающих к = 1, струна издает основной, самый низкий тон.

При колебаниях, соответствующих ббльшим Л.она издает более высокие тоны, обертоны. Записав *) в виде заключаем, что собственные колебания струны — стоячие волны, при которых точки струны совершают гармонические колебания с амплитудой Нк sin частотой Метод Фурье Мы рассмотрели случай свободных колебаний однородной струны, закрепленной на концах. Рассмотрим теперьслуч ай других граничных условий.

Пусть, например, левый конец струны закреплен, u(0, t) = 0, а правый конец х — 1 упругосвязан со своим положением равновесия, что соответствует условию . Нетривиальное решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее поставленным граничным условиям, будем опять искать в виде В результате подстановки в уравнение (1) приходим к следующей задаче о собственных значениям: найти такие значения параметра Л, для которых дифференциальное уравнение при граничных условиях имеет нетривиальные решения Х(х). Общее решение уравнения (15) имеет вид (А > 0)

Первое из граничных условий

Первое из граничных условий (16) дает С\ = 0, так что функциями Х(х) с точностью до постоянного множителя являются sin у/Хх. Из второго граничного условия Положим А = ir. Тогда Для отыскания и получаем трансцендентное уравнение. Корни этого уравнения можно найти графически, взяв в плоскости (f, z) сечения последовательных ветвей кривой z = tg(i//) прямой линией z = (рис. 7).

Обе части уравнения (18) — нечетные функции относительно р, поэтому каждому положительному корню i/fc соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный корень. Поскольку изменение знака Uk не влечет за собой появления новых собственных функций (они только изменят знак, что несущественно), достаточно ограничиться положительными корнями уравнения (18).

В результате опять получается последовательность собственных значений и отвечающие им последовательности собственных функций и собственных колебаний Кстати, для n-ой собственной частоты ип получается асимптотическое соотношение в частности, для I = т имеем Если правый конец струны х = I свободен, получаем cos vl = 0. Отсюда ul = § + тиг, так что в случае свободного конца собственные значения и собственные функции соответственно равны

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Презентация на тему: Уравнения колебаний

Механические колебания 1. Виды и признаки колебаний 2. Параметры гармонических колебаний 3. Графики смещения скорости и ускорения 4. Основное уравнение динамики гармонических колебаний 5. Энергия гармонических колебаний 6. Гармонический осциллятор 7. Способы представления гармонических колебаний 8. Сложение гармонических колебаний. Биения 9. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 10. Фигуры Лиссажу 11. Свободные затухающие механические колебания 12. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 13. Вынужденные механические колебания 14. Автоколебания 900igr.net

Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Генерация акустической волны громкоговорителем.

Возможные типы колебаний атомов в кристалле. Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Примеры колебательных процессов

1. Виды и признаки колебаний Колебания делятся на механические и электромагнитные (электромеханические комбинации) Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д. Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени.

Колебательное движение является периодическим. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины. )

x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв – возвращающая сила; A – амплитуда колебаний. k — жесткостью пружины. Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда противоположна направлению перемещения x Fвн = + kx Закон Гука Fв = – kx

Три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно; ограниченность пределами крайних положений; действие силы, описываемой функцией F = – kx.

Примеры колебательных процессов Опыт Кавендиша

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармонические колебания. Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = – kx), совершает гармонические колебания. Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором.

Различные периодические процессы (повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Периодический процесс можно описать уравнением: Колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид или

Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается, буквой A. определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. называется начальной фазой колебания при t=0 2. Параметры гармонических колебаний .