Метод гармонического баланса назначение условия применения основное уравнение

Метод гармонического баланса

1. Условия гармонического баланса и эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента

Частотные методы, получившие широкое распространение при анализе и синтезе линейных систем, имеют ряд преимуществ перед другими методами исследований. Это, во-первых, простота составления и преобразования структурных схем и передаточных функций, во-вторых, удобство и большая наглядность расчетов с помощью частотных характеристик.

Поэтому естественным было желание использовать эти методы при исследовании нелинейных систем. Это оказалось возможным на основе гармонической линеаризации характеристик нелинейных звеньев системы автоматического регулирования.

Основы метода гармонической линеаризации или метода гармонического баланса были изложены в работах советских ученых Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова в 1934 и 1937 годах. В дальнейшем идея этого метода применительно к системам автоматического регулирования бала развита Е.П. Поповым и Л.С. Гольдфарбом.

Этот метод позволяем исследовать устойчивость нелинейных систем с определением параметров (амплитуда, частота) возможных автоколебаний, производить выбор корректирующих цепей, обеспечивающих задание характеристики.

При гармонической линеаризации полагают выполнение следующих условий:

1. замкнутая нелинейная система представляется в виде двух частей – линейной и нелинейной (рис. 24.1);

2. линейная часть САУ является фильтром низких частот и чем выше фильтрующие свойства части, тем меньше погрешность линеаризации;

3. в нелинейной САУ предполагается гармонический характер колебаний.

Рис. 24.1. Схема нелинейной системы

Основная идея метода гармонической линеаризации заключается в следующем. Система автоматического регулирования представляется в виде двух частей – линейной и нелинейной (см. рис. 24.1). Пусть передаточная функция линейной части равна , и уравнение линейной части имеет следующий вид:

. (24.1)

Далее, пусть выходной и входной сигналы нелинейной части связаны следующей зависимостью:

, (24.2)

где — заданная нелинейная функция.

В выражении (24.2) для простоты показано, что выходная координата нелинейного звена зависит только от величины входного сигнала и не зависит от ее производных или интегралов, хотя рассматриваемый метод применим к более сложным нелинейным зависимостям, а также к системам с несколькими нелинейными звеньями.

Ставится задача отыскания параметров автоколебаний нелинейной системы. Автоколебания в нелинейной системе предполагаются синусоидальными, хотя эти колебания и имеют нелинейный характер. Однако ошибка такого предположения, как уже отмечалось, будет незначительной, так как линейная часть системы, являющаяся фильтром низких частот, подавляет колебания с высокими частотами. Поэтому будем отыскивать автоколебания системы в виде гармонических колебаний:

. (24.3)

При входном синусоидальном сигнале на выходе нелинейного звена появляются некоторые периодические колебания. Их можно представить в виде бесконечного ряда гармонических составляющих:

, (24.4)

где — коэффициенты ряда Фурье.

В дальнейшем для упрощения считаем, что постоянная составляющая на выходе нелинейного звена отсутствует. Это значит, что нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и входное воздействие не содержит постоянной составляющей. Учитывая фильтрующие свойства линейной части, можно пренебречь всеми высшими гармоническими составляющими ряда Фурье. Поэтому приближенно выходной сигнал нелинейного элемента можно выразить через первую гармонику ряда (24.4):

. (24.5)

. (24.6)

Подставив (24.6) в (24.5), получаем

. (24.7)

,

то тогда будут справедливы следующие выражения:

где .

Уравнение (24.7) в операторной форме примет вид:

. (24.8)

В результате проведенных преобразований исходное нелинейное уравнение (24.2) заменяется линеаризованным уравнением (24.8), коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты отыскиваемых автоколебаний.

Выражение для эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента записывается так:

.

Путем подстановки переходим к эквивалентному коэффициенту передачи нелинейного элемента:

, (24.9)

где называются коэффициентами гармонической линеаризации или гармоническими коэффициентами усиления.

Следует иметь в виду, что для однозначных характеристик нелинейных элементов .

2. Исследование периодических режимов методом гармонического баланса

А. Определение параметров автоколебаний нелинейной системы методом Е.П.Попова

Для отыскания амплитуды и частоты возможных автоколебаний нелинейной системы можно воспользоваться условием выхода полученной линеаризованной системы на границу устойчивости по любому из известных критериев устойчивости. Е.П. Попов предложил использовать для этой цели критерий Михайлова.

Характеристическое уравнение замкнутой системы с учетом гармонической линеаризации нелинейного элемента можно записать так:

.

Выражение для характеристического вектора Михайлова принимает вид:

.

Следует заметить, что амплитуда A и частота w автоколебаний входят как параметры в выражения для кривой Михайлова.

Для того чтобы система вышла на границу колебательности, кривая Михайлова должна пройти через начало координат (рис. 24.2).

Рис. 24.2. Кривая Михайлова (САУ на границе устойчивости)

Таким образом, амплитуда и частота периодических колебаний в нелинейной системе могут быть определены при решении системы уравнений:

(24.10)

Если при решении системы уравнений (24.10) полученные значения A и w вещественные и положительные, то это означает, что в исследуемой системе возможны автоколебания с найденными значениями параметров. В противном случае автоколебания в системе возникнуть не могут.

После того как параметры возможных автоколебаний будут определены, необходимо сделать проверку на устойчивость этого периодического решения, то есть необходимо выяснить, сводится переходный процесс к периодическим колебаниям или нет.

Автоколебания будут устойчивыми, если выполняется следующее условие:

. (24.11)

где звездочка означает, что частные производные вычисляются при подстановке параметров проверяемого периодического решения. Если неравенство (24.11) не выполняется, то это соответствует неустойчивому периодическому решению. Условие (24.11) справедливо при исследовании систем до 4-го порядка включительно. Для систем более высокого порядка требуется просматривать ход всей кривой Михайлова.

При отсутствии автоколебательных режимов поведение исследуемой системы может быть самым различным. В настоящее время имеются приближенные способы определения переходного процесса в нелинейных системах при определенных входных воздействиях.

Б. Определение параметров автоколебаний нелинейной системы методом Л.С.Гольдфарба

Широкое применение получил графо-аналитический метод исследования нелинейной системы, предложенный Л.С. Гольдфарбом. Метод основан на использовании критерия устойчивости Найквиста. По критерию устойчивости Найквиста САУ будет находиться на границе устойчивости, если ее АФХ пройдет через точку , то есть . Отсюда

, (24.12)

где — отрицательная обратная эквивалентная характеристика гармонически линеаризованного нелинейного звена.

Полученное условие позволяет определить параметры автоколебаний по точке пересечения АФХ линейной части САУ и обратной характеристики комплексной передаточной функции нелинейного элемента, взятой со знаком минус.

Рис. 24.3. К определению параметров автоколебаний методом Л.С. Гольдфарба

Параметры автоколебаний определяют следующим образом. Сначала следует построить АФХ линейной части САУ (рис. 24.3) и заштриховать с левой стороны АФХ при изменении w от 0 до +¥. Затем построить характеристику нелинейного элемента . Для нелинейностей “ограничение”, ”нечувствительность” и релейная характеристика (идеальная) и вещественны, поэтому все возможные значения и находится на вещественной оси.

Если кривые не пересекаются, то решения уравнения (24.12) не существует и автоколебания невозможны. Если кривые пересекаются, то устойчивым автоколебаниям соответствуют те точки, в которых характеристика пересекает амплитудно-фазовую характеристику , переходя из не заштрихованной области в заштрихованную (точка 2 на рис. 24.3). Частоту возможных автоколебаний определяют по АФХ линейной части , поскольку только линейная часть САУ зависит от частоты, а амплитуду колебаний определяют по характеристике нелинейного элемента, так как только эта характеристика зависит от амплитуды.

Рис. 24.4. Релейная характеристика и графики: и

Для удобства определения амплитуды автоколебаний используют графики нормированных характеристик нелинейных элементов, зависящих от одного параметра. Так, для нелинейного элемента (рис. 24.4, а), имеющего , зависящую от трех параметров с, b, A, нормированную характеристику , зависящую от одного параметра , получают следующим образом:

.

Графики характеристик для рассматриваемого нелинейного элемента имеют вид, показанный на рис. 24.4, б, в, г.

Для определения амплитуды автоколебаний по величине находят . Используя характеристику , находят величину A. Например, для величины (рис. 24.4, г) амплитуды возможных автоколебаний соответственно будут: ; , ; , где b – величина зоны нечувствительности нелинейной характеристики (рис. 24.4, а).

Дата добавления: 2015-12-11 ; просмотров: 7389 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Метод гармонического баланса

Назначение: Метод гармонического баланса (гармонической линеаризации) — это один из наиболее распространенных инженерных методов, позволяющий определить наличие предельных циклов и определить их параметры и устойчивость.

1. Нелинейную систему можно представить, состоящей из двух частей: линейной части — и нелинейного элемента (рис.1a).

2. Нелинейный элемент является безынерционным и имеет центрально-симметричную характеристику (рис.1б).

3. Линейная часть обладает хорошими фильтрующими свойствами в области низких частот (рис.1в).

Рассмотрим разомкнутую систему (рис.2). На вход нелинейного элемента поступает гармонический сигнал. На выходе нелинейного элемента сигнал уже не гармонический, следовательно, его можно разложить в ряд по гармоническим составляющим.

Рис.2

В этом разложении будут только нечетные гармоники, так как характеристика нелинейного элемента нечетная. Эти составляющие поступают на вход линейной части, которая обладает хорошими фильтрующими свойствами, т.е. пропускает только первую гармонику, все остальные будут сильно подавлены. Таким образом, на выходе линейной части получен тот же гармонический сигнал, что и на входе нелинейного элемента. Будем считать, что линейная часть является идеальным фильтром, при этом всю систему, в определенном смысле, можно рассматривать как линейную, и применять методы теории линейных систем, например, критерий Найквиста. Определение устойчивости предельных циклов методом гармонического баланса. Пусть задана система, состоящая из линейной части с АФХ — К (jw) и некоторого безынерционного звена с коэффициентом усиления — к (рис.3а). При этом

. (1)

Если АФХ разомкнутой линейной системы проходит через критическую точку ( — 1, j0), то замкнутая система находится на границе устойчивости (рис.3б). При этом в соответствии с (1)

а) б)

Если система состоит из линейной части и нелинейного звена, то условия возникновения колебаний выглядят следующим образом (рис.4а)

(2)

Это условия называется условием гармонического баланса, т.е. выполняются условия: баланса амплитуд; баланса фаз.

(3)

Т. е. в точках пересечения К (jw) и выполняются условия баланса, при этом в системе возникают автоколебания (предельные циклы). В отличии от линейных систем, они могут быть устойчивыми и не устойчивыми. Количество точек пересечения определяет количество предельных циклов, а значения амплитуды A_0i и частоты w_0i в точках пересечения определяет параметры автоколебаний (рис.4б).

Пример 1. Для заданной системы (рис.5) определить наличие автоколебаний и определить их устойчивость.

б) в)

Так как характеристики пересекаются, то в этой системе возможны автоколебания, т.е. выполняются условия гармонического баланса. Эту систему можно представить в виде некоторой линейной (Рис.6).

Это возможно, если амплитуда равна При этом АФХ будет проходить через точку — 1. Если уменьшить амплитуду, т.е. , то к увеличится. Характеристика охватывает точку «-1», система не устойчива.

При увеличении амплитуды ( ) к уменьшается. АФХ не будет охватывать точку «-1», амплитуда колебаний убывает, система станет устойчивой. Следовательно, автоколебания, в точке «-1» будут устойчивыми.

Пример 2. Для заданной системы (рис.7) определить наличие автоколебаний и определить их устойчивость.

Рассмотрим линейную модель системы (рис.8).

При увеличении амплитуды входного сигнала колебания возрастают, следовательно, цикл неустойчивый.

1. Для определения возможности существования предельных циклов находят точки пересечения характеристик К (jw) и .

2. Предельный цикл будет устойчивым, если изображающая точка на характеристике при увеличении не охватывается АФХ.

3. Предельный цикл будет неустойчивым, если изображающая точка на характеристике при увеличении охватывается АФХ.

Пример 3. Для заданной системы (рис.9) определить наличие автоколебаний и определить их параметры и устойчивость при заданных параметрах системы: T = 0,1 c; k = 10 c -1 ; b =p /4.

Рис. 9

Решение: Определим выражение для АФХ линейной части

Определим частоту предельного цикла из условия

.

Условия гармонического баланса:

где — амплитуда предельного цикла.

Периодическое решение устойчиво.

Устойчивость предельного цикла можно определить из условия:

Пример 4. Для заданной системы (рис.10) определить наличие автоколебаний и определить их устойчивость.

Рис.10 (а, б, в)

В этой системе могут существовать колебания трех различных амплитуд и частот. В точке 3 самая маленькая амплитуда и самая большая частота.

Пример Для заданной системы (рис.11) определить наличие авто-колебаний и определить их устойчивость и параметры, если заданы значения Т = 0,05 с; К = 2 c -1 ; а = 0,33; b = 50.

Рис. 11

Решение: Определим выражение для АФХ линейной части

АФХ исследуемой системы имеет вид (рис.12)

Определим значение вещественной частотной характеристики при критической частоте

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи не

линейного элемента — имеет только действительную часть, так как нелиней-ность однозначная.

Условие гармонического баланса:

Первое решение не устойчиво, поэтому в системе возникают установившиеся автоколебания: .

Для заданной системы (рис.11) определить наличие автоколебаний и определить их устойчивость.

Решение приведено на рис 13. В этой системе могут существовать колебания четырех различных амплитуд и частот.

Рис.13

Если первый цикл устойчивый, система называется системой с мягким возбуждением. Если первый цикл не устойчивый, система называется системой с жестким возбуждением. Всегда имеет место чередование циклов.

Литература

1. Грумондз В.Т. Динамика нелинейных систем: Некоторые задачи устойчивости и колебаний — 2-е изд. Вуз. книга, 2009. — 182c.

2. Мирошник И.В. Теория автоматического управления: Нелинейные и оптимальные системы. Издательство: ПИТЕР, 2006. — 272c.

3. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / Под редакцией В.А. Бесекерского. — M.: Наука, 1978.

ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА МЕТОД

ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА МЕТОД — приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть Г. б. м. состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного анализа нелинейных систем.

Линейные функции строятся с помощью специального приема, наз. гармонич. линеаризацией. Пусть задана нелинейная функция (сила)

F(х, ẋ) ≡ εf(х, ẋ), ẋ = dx/dt,

где ε — малый параметр. Гармонической линеаризацией наз. замена F(x, ẋ) линейной функцией

где параметры k и λ вычисляются по формулам:

Если x = a cos(ωt + θ), a = const, ω = const, θ = const, то нелинейная сила F(x, ẋ) является периодич. функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит, вообще говоря, бесконечное число гармоник с частотами nω, n = 1, 2, . т. е. оно имеет вид:

Слагаемое F₁cos(ωt + θ₁) наз. основной гармоникой разложения (1). Амплитуда и фаза линейной функции F_l совпадают с аналогичными характеристиками основной гармоники нелинейной силы.

Применительно к дифференциальному уравнению

ẍ + ω 2 x + F(x, ẋ) = 0, (2)

типичному для теории квазилинейных колебаний, Г. б. м. заключается в замене F(x, ẋ) линейной функцией F_l, и вместо уравнения (2) рассматривается уравнение

где k₁ = ω 2 + k. Принято называть F_l эквивалентной линейной силой, λ — эквивалентным коэффициентом затухания, k₁ — эквивалентным коэффициентом упругости. Доказано, что если нелинейное уравнение (2) имеет решение вида

то разность между решениями уравнений (2) и (3) имеет порядок ε 2 . В Г. б. м. частота колебаний зависит от амплитуды а (посредством величин k и λ).

Г. б. м. применяется для отыскания периодич. и квазипериодич. колебаний, периодич. и квазипериодич. режимов в теории автоматич. регулирования, стационарных режимов и для исследования их устойчивости. Особенно большое распространение он получил в теории автоматич. регулирования.

Лит.: [1] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., Введение в нелинейную механику, К., 1937; [2] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [3] Попов Е. П., Пальтов И. П., Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем, М., 1960.

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.