Метод горнера решение уравнений высших степеней

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 — 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 — 19 — 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 — 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x — 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Последнее число — это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x 3 — 19x 2 + 19x + 6 = (x — 2)(4x 2 — 11x — 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x 2 — 11x — 3 = 0
D = b 2 — 4ac = (-11) 2 — 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

Об уравнениях высших степеней

Как правило в физике, информатике и экономике мы сталкиваемся с простейшими линейными, или дробно-рациональными уравнениями, реже с квадратными. А что до уравнений третьей и четвёртой степени? Если вам интересно, то прошу под кат.

Для начала рассмотрим понятие уравнения высшей степени. Уравнением высшей степени, называется уравнение вида:

В этой статье я рассмотрю:

1. Кубические уравнения.
2. Возвратные кубические.
3. Применение схемы Горнера и теоремы Безу.
4. Возвратные биквадратные уравнения.

Кубические уравнения

Кубические уравнения, это уравнения, в которых у неизвестной при старшем члене степень равна 3. Кубические уравнения имеют следующий вид:

Решать такие уравнения можно по разному, однако мы воспользуемся знаниями базовой школы, и решим кубическое уравнение методом группировки:

В данном примере используется метод группировки, группируем первые два и последние два члена, получая равные скобки, снова выносим, получая уравнение из двух скобок.

Произведение равно нулю тогда, и только тогда, если хотя бы один из множителей равен нулю, на основании этого мы каждый множитель (скобку) приравниваем к нулю, получая неполное квадратное и линейное уравнения.

Также стоит отметить, что максимальное количество корней уравнения, равно степени неизвестной при главном члене, так в кубическом уравнении может быть не более трёх корней, в биквадратном (4-ой степени) не более четырёх корней и. т. д.

Возвратные кубические уравнения

Возвратные кубические уравнения имеют вид:

Возвратными они называются потому что коэффициенты будут зеркально повторяться. Подобные уравнения тоже решаются школьными методами, но чуть хитрее:

Сначала производится группировка, потом при помощи формул сокращённого умножения мы раскладываем получаемое на множители. Снова получаем 2 равные скобки, «выносим их». Получаем два множителя (скобки) и решаем их как два различных уравнения.

Теорема Безу и схема Горнера

Теорема Безу была открыта, как ни удивительно, Этьеном Безу, французским математиком, занимавшимся в основном алгеброй. Теорему Безу, можно сформулировать следующим образом:

Давайте разберёмся. P(x) — это какой-либо многочлен от x, (x — a) — это двучлен в котором a — это один из целых корней уравнения, который мы находим среди делителей свободного члена.

Три точки, это оператор обозначающий что одно выражение делится на другое. Из этого следует что найдя хотя бы один корень данного уравнения, мы сможем применить к нему эту теорему. Но зачем нужна эта теорема, каково её действие? Теорема Безу — это универсальный инструмент, если вы хотите понизить степень многочлена. Например, при её помощи, кубическое уравнение, можно превратить в квадратное, биквадратное, в кубическое и т. д.

Но одно дело понять, а как поделить? Можно конечно, делить и в столбик, однако этот метод доступен далеко не всем, да и вероятность ошибиться очень высока. Поэтому есть и иной путь, это схема Горнера. Её работу я поясню на примере. Предположим:

И так, нам дан многочлен, и мы возможно заранее нашли один из корней. Теперь мы рисуем небольшую табличку из 6 столбцов и 2 строк, в каждый столбец первой строки (кроме первого), мы вносим коэффициенты уравнения. А в первый столбец 2 строки мы вносим значение a (найденный корень). Потом первый коэффициент, в нашем случае 5, мы просто сносим вниз. Значения последующих столбиков мы рассчитываем так:

(Картинка позаимствована здесь)
Далее поступаем точно так же и с остальными столбцами. Значение последнего столбца (2 строки) будет остатком от деления, в нашем случае 0, если получается число отличное от 0, значит надо избрать другой подход. Пример для кубического уравнения:

Возвратные биквадратные уравнения

Выше мы так же рассматривали возвратные кубические уравнения, а теперь разберём биквадратные. Их общий вид:

В отличие от кубического возвратного уравнения, в биквадратном пары, относительно коэффициентов, есть не у всех, однако в остальном они очень схожи. Вот алгоритм решения таких уравнений:

Как видно, решать такие уравнения совсем не просто. Но я всё равно разберу и этот случай. Начинается решение с деления всего уравнения на x^2. Далее мы группируем, здесь я специально ввёл дополнительную строку для ясности. После этого мы совершаем хитрость, и вводим в первую скобку 2, которую мы сначала прибавляем, а после вычитаем, сумма всё равно не изменится, зато теперь мы можем свернуть эту скобку в квадрат суммы.

Уберём -2 из скобки, предварительно домножив его на a, после чего вводим новую переменную, t и получаем квадратное уравнение.

А теперь перейдём к примеру:

Основная часть так же как и в обобщённом алгоритме, делим на x^2, группируем, сворачиваем в полный квадрат, выполняем подстановку переменной и решаем квадратное уравнение. После этого полученные корни подставляем обратно, и решаем ещё 2 квадратных уравнения (с умножением на x).

Область применения

В виду своей громоздкости и специфичности уравнения высших степеней редко находят себе применение. Однако примеры всё же есть, уравнение Пуассона для адиабатических процессов в Физике.

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
учебно-методический материал по алгебре (11 класс) по теме

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. Методы решения уравнений высших степеней различными способами.

1. Метод замены переменной.

Пример 1. Дано: (х 2 -9) 2 -8(х 2 -9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х 2 -9=t, тогда получаем:

t 2 -8t+7=0, D=b 2 -4ac=36, t 1 =7; t 2 =1.

Возвращаемся к “старой” переменной х 2 -9=1, х=± √ 10; х 2 -9=7, х=±4.

Ответ: х 1 =+ √ 10; х 2 =- √ 10; х 3 =-4; х 4 =4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение . Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х 2 + 3х)(x 2 + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x 2 + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t 2 + 2t – 24 = 0, t 1 = -6; t 2 = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x 2 + 3x = -6, x 2 + 3x + 6 = 0, D

Уравнение x 2 + 3x = 4 имеет корни х 1 = -4, х 2 = 1.

Ответ : х 1 = -4, х 2 = 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х 2 + 15 + 50)(х – 2) = 18х 2

Решение . Разложим на множители х 2 + 15 + 50.

х 2 + 15 + 50 = 0, х 1 = -5, х 2 = -10, тогда х 2 + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х 2

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х 2 + х – 20)( х 2 + 8х – 20) = 18х 2

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х 2 . Получим:

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t 2 +9t-10=0, t 1 = -10, t 2 = 1.

Вернемся к исходной переменной:

Решим первое уравнение х 2 + 10х – 20 = 0, D = 180, х 1 = ; х 2 =

Решим второе уравнение х 2 — х – 20 = 0, D =81, х 3 = — 4, х 4 = 5.

Ответ : х 1 = ; х 2 = ; х 3 = — 4, х 4 = 5.

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х 4 +324=х 4 +18 2 ,

(х 2 +18) 2 =х 4 +36х 2 +324, тогда х 4 +324= х 4 +36х 2 +324-36х 2 . Получим:

Приведем левую и правую части к одному знаменателю:

Приравняем к нулю. Получим:

Решим уравнение в числителе методом группировки:

Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х 2 =t, получаем:

х 2 -25=0, или х 2 +6х+18=0

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 5. Дано: (х-1) 4 -х 2 +2х-73

(х-1) 4 -(х 2 -2х+1)-72, (х-1) 4 -(х-1) 2 -72.

Введем новую переменную: (х-1) 2 =t, t 2 -t-72=0, D=1+288=289

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х+1-9=0, х 2 -2х+1+8=0 ,

х 2 -2х-8=0 х 2 -2х+9=0

D=4+32=36 D=4 — 36= -32, D

Пример 6. Дано: (х 2 -2х-1) 2 +3х 2 -6х-13=0

Решение. Выполним преобразования: (х 2 -2х-1) 2 +3(х 2 -2х-1)-10=0.

Введем новую переменную: х 2 -2х-1=t

Возвращаемся к «старой» переменной:

х 2 -2х-1+5=0, х 2 -2х-1-2=0 ,

х 2 -2х+4=0 х 2 -2х-3=0

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на (х-1) 2 , получим

Решение . В левой части выделим полный квадрат разности:

Сгруппируем первый, второй и четвертый члены:

Вводим замену: t 2 + 18t – 40 = 0; t 1 = -20, t 2 = 2.

Вернемся к “старой” переменной, получим:

Решение . х = 0 не является корнем уравнения, поэтому числитель и знаменатель каждой дроби делим на х:

Решим это уравнение:

Вернемся к “старой” переменной:

Решаем первое уравнение х 2 – 14х + 15 = 0

Второе уравнение не имеет действительных корней.

Решение. Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Введем новые переменные: (х-1) 2 =а; (х+1) 2 =b, получаем:

а 2 +9b 2 -10аb=0, поделим на а 2 , 1+9( 2 -10( ), вводим новую переменную и решаем квадратное уравнение:

9t 2 -10t+1=0, D=100-36=64, t 1,2 =

Возвращаемся к «старым» переменным: 1) (х+1) 2 =(х-1) 2 ; 2) (х-1) 2 =9(х+1) 2 .

1. х 2 +2х+1=х 2 -2х+1, 2) х 2 -2х+1=9х 2 +18х+9,

Решение. Сгруппируем слагаемые в левой части, но следует заметить, что х=0; х=-1; х=-3; х=-4 не могут быть решениями. Получим:

Проводим преобразования и получаем:

х 1 =-2. Введем замену: х 2 +4х=t, тогда

Решая уравнения, получаем:

Подставляем значение t, получаем уравнение:

х 2,3 = Ответ: х 1 =-2; х 2 =-2+ ; х 3 = -2- .

Пример 2. Дано: х 4 +2х 3 +2х+1=0

Решение. Поделим на уравнение на х 2 , получим:

х 2 +2х+ перегруппируем слагаемые таким образом:

вводим новую переменную: t= х+ , t 2 +2t-2=0, D=4+8=12,

x 2 + (1− )x +1 = 0, D=-1-2

x 2 + (1+ )x +1 = 0, D= ,

Пример 3. Дано: х 4 +х 3 -72х 2 +9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х 2 и сгруппируем:

(х 2 + +(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х+ ) 2 +( х+ )-90=0, вводим новую переменную: t= х+ , решаем уравнение:

t 2 +t-90=0, D=1+360=361,

t 1,2 = Решаем уравнения, подставляя значения t:

х 2 +10х+9=0, D=100-36=64

х 2 -9х+9=0, D=81-36=45

Ответ: х 1 х 2 =-1; х 3,4 =

Определение. Уравнение р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =0, где n – натуральное число, а — произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени .

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р 0 х n +p 1 x n-1 +p 2 x n-2 +…+p n-1 x+p n =(b 0 x n-1 +b 1 x n-2 +…+b n-2 x+b n-1 )(x-a)