Метод коши для системы дифференциальных уравнений

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Системы дифференциальных уравнений

Во многих задачах математики, физики и техники требуется определить несколько функций, связанных между собой несколькими дифференциальными уравнениями.

Для этого необходимо располагать, вообще говоря, таким же числом уравнений. Если каждое из этих уравнений является дифференциальным, то есть имеет вид соотношения, связывающего неизвестные функции и их производные, то говорят о системе дифференциальных уравнений.

1. Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причём в каждое из уравнений входит хотя бы одна производная.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если неизвестные функции и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени.

Линейная система называется нормальной, если она разрешена относительно всех производных

(1)

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Равенства при называются начальными условиями системы дифференциальных уравнений.

Часто начальные условия записывают в виде

Общим решением (интегралом) системы дифференциальных уравнений называется совокупность «n» функций от независимой переменной x и «n» произвольных постоянных C1 , C2 , …,Cn:

(2)

которые удовлетворяют всем уравнениям этой системы.

Чтобы получить частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям , надо из уравнений (2) определить соответствующие начальным условиям значения постоянных C10 , C20 , …,Cn0 .

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы найти такое решение, которое при принимало бы заданные значения .

Записывается задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений следующим образом

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) теорема Коши существования и единственности решения формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть правые части уравнений системы (1), т. е. функции , (i=1,2,…,n) непрерывны по всем переменным в некоторой области D и имеет в ней непрерывные частные производные .

Тогда каковы бы ни были значения , принадлежащие области D, существует единственное решение системы (1) , удовлетворяющее начальным условиям

.

2. Решение нормальной системы методом исключения.

Для решения нормальной системы дифференциальных уравнений используется метод исключения неизвестных или метод Коши.

Пусть дана нормальная система

Дифференцируем по х первое уравнение системы

Заменяя производные их выражениями из системы уравнений (1), будем иметь

Дифференцируем полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдём

Продолжая далее таким же образом, получим уравнение

Итак, получили систему

(2)

Из первых п-1 уравнений определим y2 , y3 , … , yn , выразив их через

и

(3)

Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (2), получим уравнения п-го порядка для определения y1 :

(4)

Решив это уравнение, найдём y1

(5)

Дифференцируя последнее выражение п-1 раз, найдём производные

как функции от . Подставляя эти функции в уравнения (4), определим y2 , y3 , … , yn .

Итак, получили общее решение системы (1)

(6)

Чтобы найти частное решение системы (1) удовлетворяющее начальным условиям при

надо найти из уравнения (6) соответствующие значения произвольных постоянных С1 , С2 , … , Сn .

Найти общее решение системы уравнений:

Продифференцируем первое уравнение:

Подставим в это выражение производную у¢ =2x + 2y из второго уравнения.

Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:

получаем решение системы:

3. Преобразование дифференциального уравнения порядка п к нормальной системе Коши.

Всякое уравнение п-го порядка

можно привести к системе уравнений первого порядка, если принять

за новые неизвестные функции.

С системами дифференциальных уравнений встречаются при изучении процессов, для описания которых одной функции недостаточно. Например, отыскание векторных линий поля требует реше­ния системы дифференциальных уравнений. Решение задач динамики криволинейного движения при­водит к системе трех дифференциальных уравнений, в которых неиз­вестными функциями являются проекции движущейся точки на оси координат, а независимой переменной — время. Позже вы узнаете, что решение задач электротехники для двух электрических цепей, нахо­дящихся в электромагнитной связи, потребует решения системы двух дифференциальных уравнений. Количество подобных примеров легко можно увеличить.

Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ \begin \tag <1>\frac &= f_i (t, u_1, u_2, \ldots, u_n), \quad t > 0\\ \tag <2>u_i(0) &= u_i^0, \quad i = 1, 2, \ldots, m. \end $$

Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ \begin \tag <3>\frac> &= \pmb(t, \pmb), \quad t > 0, \\ \tag <4>\pmb(0) &= \pmb_0 \end $$ В задаче Коши необходимо по известному решению в точке \( t = 0 \) необходимо найти из уравнения (3) решение при других \( t \).

Численные методы решения задачи Коши

Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.

При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.

Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:

1. Вводится расчетная сетка по переменной \( t \) (время) из \( N_t + 1 \) точки \( t_0 \), \( t_1 \), \( \ldots \), \( t_ \). Нужно найти значения неизвестной функции \( \pmb \) в узлах сетки \( t_n \). Обозначим через \( \pmb^n \) приближенное значение \( \pmb(t_n) \).

2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.

3. Аппроксимируем производные конечными разностями.

4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения \( \pmb^ \) на основе предыдущих вычисленных значений \( \pmb^k \), \( k 0 \) при \( \tau\to 0 \).

Явный метод Эйлера

Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами \( t_n \) и \( t_ \): $$ \omega_\tau = \< t_n = n \tau, n = 0, 1, \ldots, N_t \>. $$

Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ \pmb^\prime (t_n) = \pmb(t_n, u(t_n)), \quad t_n \in \omega_\tau. $$

Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ \pmb^\prime(t) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t+\tau) — \pmb(t)><\tau>. $$

В произвольном узле сетки \( t_n \) это определение можно переписать в виде: $$ \begin \pmb^\prime(t_n) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t_n+\tau) — \pmb(t_n)><\tau>. \end $$ Вместо того, чтобы устремлять шаг сетки к нулю, мы можем использовать малый шаг \( \tau \), который даст численное приближение \( u^\prime(t_n) \): $$ \begin \pmb^\prime(t_n) \approx \frac<\pmb^ — \pmb^><\tau>. \end $$ Такая аппроксимация известна как разностная производная вперед и имеет первый порядок по \( \tau \), т.е. \( O(\tau) \). Теперь можно использовать аппроксимацию производной. Таким образом получим явный метод Эйлера: $$ \begin \tag <5>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \pmb(t_n, \pmb^). \end $$

Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение \( y^n \) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно \( y^ \) и получить формулу для нахождения приближенного значения искомой функции на следующем временном слое \( t_ \): $$ \begin \tag <6>\pmb^ = \pmb^n + \tau \pmb(t_n, \pmb^) \end $$

При условии, что у нас известно начальное значение \( \pmb^0 = \pmb_0 \), мы можем использовать (6) для нахождения решений на последующих временных слоях.

Программная реализация явного метода Эйлера

Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом

При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины \( m+1 \) (\( m \) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности \( m+1 \), t[n] — значение в момент времени \( t_n \).

Таким образом численное решение на отрезке \( [0, T] \) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.

Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .

Неявный метод Эйлера

При построении неявного метода Эйлера значение функции \( F \) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ \begin \tag <7>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \pmb(t_, \pmb^). \end $$

Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое \( t_ \) нужно решить нелинейное уравнение относительно \( \pmb^ \): $$ \begin \tag <8>\pmb^ — \tau \pmb(t_, \pmb^) — y^n = 0. \end $$

Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.

Программная реализация неявного метода Эйлера

Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:

Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .

Методы Рунге—Кутта

Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ \begin \tag <9>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^s b_i \pmb_i, \end $$ где $$ \begin \tag <10>\pmb_i = \pmb\left( t_n + c_i\tau, \pmb^n + \tau \sum_^s a_\pmb_j \right), \quad i = 1, 2, \ldots, s. \end $$ Формула (9) основана на \( s \) вычислениях функции \( \pmb \) и называется \( s \)-стадийной. Если \( a_ = 0 \) при \( j \geq i \) имеем явный метод Рунге—Кутта. Если \( a_ = 0 \) при \( j > i \) и \( a_ \ne 0 \), то \( \pmb_i \) определяется неявно из уравнения $$ \begin \tag <11>\pmb_i = \pmb\left( t_n + c_i\tau, \pmb^n + \tau \sum_^ a_\pmb_j + \tau a_ \pmb_i \right), \quad i = 1, 2, \ldots, s. \end $$ О таком методе Рунге—Кутта говорят как о диагонально-неявном.

Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ \begin \tag <12>\pmb_1 & = \pmb(t_n, \pmb^n), &\quad \pmb_2 &= \pmb\left( t_n + \frac<\tau><2>, \pmb^n + \tau \frac<\pmb_1> <2>\right),\\ \pmb_3 &= \pmb\left( t_n + \frac<\tau><2>, \pmb^n + \tau \frac<\pmb_2> <2>\right), &\quad \pmb_4 &= \pmb\left( t_n + \tau, \pmb^n + \tau \pmb_3 \right),\\ \frac<\pmb^ -\pmb^n> <\tau>&= \frac<1> <6>(\pmb_1 + 2\pmb_2 + 2\pmb_3 + \pmb_4) & & \end $$

Многошаговые методы

В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах \( \pmb^n \) и \( \pmb^ \) — один шаг по переменной \( t \). Линейный \( m \)-шаговый разностный метод записывается в виде $$ \begin \tag <13>\frac<1> <\tau>\sum_^m a_i \pmb^ = \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^), \quad n = m-1, m, \ldots \end $$ Вариант численного метода определяется заданием коэффициентов \( a_i \), \( b_i \), \( i = 0, 1, \ldots, m \), причем \( a_0 \ne 0 \). Для начала расчетов по рекуррентной формуле (13) необходимо задать \( m \) начальных значений \( \pmb^0 \), \( \pmb^1 \), \( \dots \), \( \pmb^ \) (например, можно использовать для их вычисления метод Эйлера).

Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ \begin \tag <14>\pmb(t_) — \pmb(t_n) = \int_^> \pmb(t, \pmb) dt \end $$

Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции \( \pmb^ = \pmb(t_, \pmb^) \), \( \pmb^n \), \( \dots \), \( \pmb^ \), т.е. $$ \begin \tag <15>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^) \end $$

Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен \( m+1 \).

Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям \( \pmb^n \), \( \pmb^ \), \( \dots \), \( \pmb^ \) и поэтому $$ \begin \tag <16>\frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \sum_^ b_i \pmb(t_, \pmb^) \end $$

Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет \( m \)-ый порядок.

На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ \frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \frac<1> <12>(23 \pmb^ -16\pmb^ + 5\pmb^). $$ Для уточнеия решения (см. (17)) используется схема $$ \frac<\pmb^ — \pmb^n> <\tau>= \frac<1> <24>(9\pmb^ + 19\pmb^ — 5\pmb^ + \pmb^). $$ Аналогично строятся и другие классы многошаговых методов.

Жесткие системы ОДУ

При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке \( u = w \) передаются линейной системой $$ \begin \frac