Данный онлайн калькулятор находит решение системы линейных уравнений (СЛУ) методом Крамера. Дается подробное решение. Для вычисления выбирайте количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Метод Крамера
Метод Крамера − это метод решения квадратной системы линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы. Такая система линейных уравнений имеет единственное решение.
Пусть задана следующая система линейных уравнений:
(1)
Заменим данную систему (1) эквивалентным ей матричным уравнением
Ax=b
(2)
где A -основная матрица системы:
(3)
а x и b − векторы столбцы:
первый из которых нужно найти, а второй задан.
Так как мы предполагаем, что определитель Δ матрицы A отличен от нуля, то существует обратная к A матрица A -1 . Тогда умножая тождество (2) слева на обратную матрицу A -1 , получим:
A -1 Ax=A -1 b.
Учитывая, что произведение взаимно обратных матриц является единичной матрицей (A -1 A=E), получим
x=A -1 b.
(4)
Обратная матрица имеет следующий вид:
(5)
где Aij − алгебраическое дополнение матрицы A, Δ − определитель матрицы A.
где Δi − это определитель матрицы, полученной из матрицы A, заменой столбца i на вектор b.
Мы получили формулы Крамера:
Алгоритм решения системы линейных уравнений методом Крамера
Вычислить определитель Δ основной матрицы A.
Замена столбца 1 матрицы A на вектор свободных членов b.
Вычисление определителя Δ1 полученной матрицы A1.
Вычислить переменную x1=Δ1/Δ.
Повторить шаги 2−4 для столбцов 2, 3, . n матрицы A.
Примеры решения СЛУ методом Крамера
Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
.
Вычислим определитель основной матрицы A:
.
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
.
Вычислим определитель матрицы A1:
.
Заменим столбец 2 матрицы A на вектор столбец b:
.
Вычислим определитель матрицы A2:
.
Заменим столбец 3 матрицы A на вектор столбец b:
.
Вычислим определитель матрицы A3:
.
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений методом Крамера:
Запишем ее в матричной форме: Ax=b, где
Найдем определитель матрицы A. Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3,4 со строкой 1, умноженной на -1/4,-3/4,-2/4 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого меняем местами строки 2 и 4. При этом меняется знак определителя на «−».
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 3,4 со строкой 2, умноженной на -26/76,2/76 соответственно:
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 3. Для этого меняем местами строки 3 и 4. При этом меняется знак определителя на «+».
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -817/1159:
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменим столбец 1 матрицы A на вектор столбец b:
Для вычисления определителя матрицы A1, приведем матрицу к верхнему треугольному виду, аналогично вышеизложенной процедуре. Получим следующую матрицу:
Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали:
Заменяем столбец 2 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼
Заменяем столбец 3 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼
Заменяем столбец 4 матрицы A на вектор столбец b, приводим матрицу к верхнему треугольному виду и вычисляем определитель матрицы:
∼
Решение системы линейных уравнений вычисляется так:
Метод крамера для уравнений 4 порядка
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Пример №6 . При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:
столбцы матрицы А линейно независимы;
определитель матрицы А не равен нулю;
Пример №7 . Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Найти ее решение с помощью формул Крамера. Выполнить проверку полученного решения. -75x 1 + 35 x 2 + 25 x 3 = -4,5 25x 1 — 70x 2 + 25 x 3 = -20 15x 1 + 10x 2 — 5 5 x 3 = -30
Решение
Видеоинструкция
Решение получаем через калькулятор. Запишем систему в виде:
B T = (-4.5,-20,-30) Главный определитель: ∆ = -75∙(-70∙(-55)-10∙25)-25∙(35∙(-55)-10∙25)+15∙(35∙25-(-70∙25))= -176250 = -176250 Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .
.
.
.
.
.
.
.
.
∼
∼
∼
