Система линейных уравнений с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными и его решение
Уравнение вида ax+by+cz = d , где a, b, c, d — данные числа, называется линейным уравнением с тремя переменными x, y и z.
Например: $2x+5y+z = 8; -x+1, 5y+2z = 0; \frac<1> <2>x-8y-5z = 7$
Уравнение с тремя переменными может быть не только линейным, т.е. содержать не только первые степени переменных x,y и z.
Например: $2x^2+xz+y^2+yz^2 = 3,x-5y^2+z^3 = 1, 7x^3+y+xyz = 7$
Решением уравнения с тремя переменными называется упорядоченная тройка значений переменных (x,y,z), обращающая это уравнение в тождество.
О тождествах – см. §3 данного справочника
Например: для уравнения 2x+5y+z=8 решениями являются тройки x = -2, y = 1, z = 7; x = -1, y = 1, 6 , z = 2; x = -3, y = 2, 4, z = 2 и т.д. Уравнение имеет бесконечное множество решений.
Геометрическим представлением линейного уравнения с тремя переменными является плоскость в трёхмерном координатном пространстве .
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки
Алгоритм метода подстановки для системы уравнений с тремя переменными аналогичен алгоритму для двух переменных (см.§45 данного справочника)
Например: решить систему
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера
Для системы с 3-мя переменными действуем по аналогии.
Дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя переменными:
$$ <\left\< \begin
Определим главный определитель системы:
$$ \Delta = \begin
и вспомогательные определители :
$$ \Delta_x = \begin
Тогда решение системы:
Соотношение значений определителей, расположения плоскостей и количества решений:
Три плоскости пересекаются в одной точке
Три плоскости параллельны
Две или три плоскости совпадают или пересекаются по прямой
Бесконечное множество решений
Осталось определить правило вычисления определителя 3-го порядка.
Таких правил несколько, приведём одно из них (так называемое «раскрытие определителя по первой строке»):
$$ \Delta = \begin
$$ = a_1 (b_2 c_3-b_3 c_2 )-b_1 (a_2 c_3-a_3 c_2 )+c_1 (a_2 b_3-a_3 b_2 )$$
Примеры
Пример 1. Найдите решение системы уравнений методом подстановки:
$$<\left\< \begin
$$\Rightarrow <\left\< \begin
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Пример 2. Найдите решение системы уравнений методом Крамера:
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
$$ \Delta = \begin
$$ \Delta_x = \begin
$$ = 6(25+2)—(-25-11)+3(10-55) = 162+36-135 = 63 $$
$$ \Delta_y = \begin
$$ \Delta_z = \begin
Пример 3*. Решите систему уравнений относительно x,y,и z:
$$ a \neq b, b \neq c, a \neq c $$
Решаем методом замены:
$$ <\left\< \begin
Т.к. $ a \neq b$ второе уравнение можно сократить на $(a-b) \neq 0$
Т.к.$ a \neq c$ третье уравнение можно сократить на $(a-с) \neq 0 $. В третьем уравнении после сокращения поменяем знаки:
Из второго уравнения получаем:
Т.к. $b \neq c$ можно сократить на $(b-c) \neq 0$:
$$ z = -(a^3+a^2 x+ay) = -a^3+a^2 (a+b+c)-a(ab+ac+bc) = $$
$$ = -a^3+a^3+a^2 b+a^2 c-a^2 b-a^2 c-abc = -abc $$
Метод Крамера решения систем линейных уравнений
Формулы Крамера
Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается 
(дельта).
Определители 
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти значения 
и 
возможно только при условии, если
.
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера . Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
. (2)
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2): 
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
Три случая при решении систем линейных уравнений
Как явствует из теоремы Крамера, при решении системы линейных уравнений могут встретиться три случая:
Первый случай: система линейных уравнений имеет единственное решение
(система совместна и определённа)
* 
Второй случай: система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений
(система совместна и неопределённа)
* 
,
** 
,
т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.
Третий случай: система линейных уравнений решений не имеет
* 
** 
.
Итак, система m линейных уравнений с n переменными называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного – неопределённой.
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера
Пусть дана система
.
На основании теоремы Крамера 
…………. 
,
где 
—
определитель системы. Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:
Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители
По формулам Крамера находим: 
Итак, (1; 0; -1) – единственное решение системы.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
Если в системе линейных уравнений в одном или нескольких уравнениях отсутствуют какие-либо переменные, то в определителе соответствующие им элементы равны нулю! Таков следующий пример.
Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Решение. Находим определитель системы:
Посмотрите внимательно на систему уравнений и на определитель системы и повторите ответ на вопрос, в каких случаях один или несколько элементов определителя равны нулю. Итак, определитель не равен нулю, следовательно, система является определённой. Для нахождения её решения вычисляем определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
Итак, решение системы — (2; -1; 1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
Применить метод Крамера самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 4. Решить систему линейных уравнений:
.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
К началу страницы
Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
Продолжаем решать системы методом Крамера вместе
Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.
Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных
Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.
Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
,
.
Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.
Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Находим определитель системы:
Находим определители при неизвестных
По формулам Крамера находим:
,
,
.
И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.
Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
.
Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:
Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных
Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.
По формулам Крамера находим:
,
,
,
.
Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).
Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.
Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.
Метод Крамера для решения СЛАУ
В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.
Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.
Метод Крамера — вывод формул
Найти решение системы линейных уравнений вида:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 ⋮ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
В этой системе x 1 , x 2 , . . . , x n — неизвестные переменные,
a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n — числовые коэффициенты,
b 1 , b 2 , . . . , b n — свободные члены.
Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x 1 , x 2 , . . . , x n , при которых все уравнения системы становятся тождественными.
Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:
A X = B , где A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n — основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;
B = b 1 b 2 ⋮ b n — матрица-столбец свободных членов;
X = x 1 x 2 ⋮ x n — матрица-столбец неизвестных переменных.
После того как мы найдем неизвестные переменные x 1 , x 2 , . . . , x n , матрица X = x 1 x 2 ⋮ x n становится решением системы уравнений, а равенство A X = B обращается в тождество.
Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:
- Определитель квадратной матрицы A = a i j , i = 1 , 2 , . . . , n ; j = 1 , 2 , . . . , n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n = a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q
- Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:
a p 1 × A p 1 + a p 2 × A p 2 + . . . + a p n × A p n = 0 a 1 q × A 1 q + a 2 q × A 2 q + . . . + a n q × A n q = 0
p = 1 , 2 , . . . , n , q = 1 , 2 , . . . , n p не равно q
Приступаем к нахождению неизвестной переменной x 1 :
- Умножаем обе части первого уравнения системы на А 11 , обе части второго уравнения на А 21 и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А :
A 11 a 11 x 1 + A 11 a 12 x 2 + . . . + A 11 a 1 n x n = A 11 b 1 A 21 a 21 x 1 + A 21 a 22 x 2 + . . . + A 21 x 2 n x n = A 21 b 2 ⋯ A n 1 a n 1 x 1 + A n 1 a n 2 x 2 + . . . + A n 1 a n n x n = A n 1 b n
- Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:
x 1 ( A 11 a 11 + A 21 a 21 + . . . + A n 1 a n 1 ) + + x 2 ( A 11 a 12 + A 21 a 22 + . . . + A n 1 a n 2 ) + + . . . + + x n ( A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n ) = = A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n
Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:
А 11 а 11 + А 21 а 21 + . . . + А n 1 a n 1 = А А 11 а 12 + А 21 а 22 + . . . + А n 1 а n 2 = 0 ⋮ A 11 a 1 n + A 21 a 2 n + . . . + A n 1 a n n = 0
A 11 b 1 + A 21 b 2 + . . . + A n 1 b n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n
Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:
x 1 A = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .
x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n A
Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.
∆ = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , ∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n ,
∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n , . ∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n .
то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:
x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .
Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера
- Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
- Найти определители
∆ x 1 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n
∆ x 2 = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n
∆ x n = b 1 a 12 ⋯ a 1 n b 2 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ b n a n 2 ⋯ a n n
Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k -столбца на столбец свободных членов.
- Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:
x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆ , . . . , x n = ∆ x n ∆ .
- Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.
Примеры решения СЛАУ методом Крамера
Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:
3 x 1 — 2 x 2 = 5 6 2 x 1 + 3 x 2 = 2
Основная матрица представлена в виде 3 — 2 2 3 .
Мы можем вычислить ее определитель по формуле:
a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 × a 22 — a 12 × a 21 : ∆ = 3 — 2 2 3 = 3 × 3 — ( — 2 ) × 2 = 9 + 4 = 13
Записываем определители ∆ x 1 и ∆ x 2 . Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3
По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:
Находим эти определители:
∆ x 1 = 5 6 — 2 2 3 = 5 6 × 3 — 2 ( — 2 ) = 5 2 + 4 = 13 2
∆ x 2 = 3 5 6 2 2 = 3 × 2 — 5 6 × 2 = 6 — 5 3 = 13 3
Находим неизвестные переменные по следующим формулам
x 1 = ∆ x 1 ∆ , x 2 = ∆ x 2 ∆
x 1 = ∆ x 1 ∆ = 13 2 13 = 1 2
x 2 = ∆ x 2 ∆ = 3 13 = 1 3
Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:
3 1 2 — 2 1 3 = 5 6 2 1 2 + 3 1 3 = 2 ⇔ 5 6 = 5 6 2 = 2
Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.
Ответ: x 1 = 1 2 , x 2 = 1 3
Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.
Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:
2 y + x + z = — 1 — z — y + 3 x = — 1 — 2 x + 3 z + 2 y = 5
За основную матрицу нельзя брать 2 1 1 — 1 — 1 — 3 — 2 3 2 .
Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:
x + 2 y + z = — 1 3 x — y — z = — 1 — 2 x + 2 y + 3 z = 5
С этого момента основную матрицу хорошо видно:
1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3
Вычисляем ее определитель:
∆ = 1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 = 1 × ( — 1 ) × 3 + 2 × ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 2 × 3 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 11
Записываем определители и вычисляем их:
∆ x = — 1 2 1 — 1 — 1 — 1 5 2 3 = ( — 1 ) ( — 1 ) × 3 + 2 ( — 1 ) × 5 + 1 ( — 1 ) × 2 — 1 ( — 1 ) × 5 — 2 ( — 1 ) × 3 — — 1 ( — 1 ) × 2 = 0
∆ y = 1 — 1 1 3 — 1 — 1 — 2 5 3 = 1 ( — 1 ) × 3 + ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) + 1 × 3 × 5 — 1 ( — 1 ) ( — 2 ) — ( — 1 ) — — 1 ( — 1 ) × 2 = 22
∆ z = 1 2 — 1 3 — 1 — 1 — 2 2 5 = 1 ( — 1 ) × 5 + 2 ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 × 2 — ( — 1 ) ( — 1 ) ( — 2 ) — 2 × 3 × 5 — — 1 ( — 1 ) × 2 = — 33
Находим неизвестные переменные по формулам:
x = ∆ x ∆ , y = ∆ y ∆ , z = ∆ z ∆ .
x = ∆ x ∆ = 0 — 11 = 0
y = ∆ y ∆ = 22 — 11 = — 2
z = ∆ z ∆ = — 33 — 11 = 3
Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0 — 2 3 :
1 2 1 3 — 1 — 1 — 2 2 3 × 0 — 2 3 = 1 × 0 + 2 ( — 2 ) + 1 × 3 3 × 0 + ( — 1 ) ( — 2 ) + ( — 1 ) × 3 ( — 2 ) × 0 + 2 ( — 2 ) + 3 × 3 = — 1 — 1 5
Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.
Ответ: x = 0 , y = — 2 , z = 3
http://function-x.ru/systems_kramer.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/metod-kramera/