Метод квадратных корней линейных алгебраических уравнений

Курсовая работа: Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

по дисциплине «Численные методы»

на тему: «Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении СЛАУ»

1. Математическая постановка задачи

2. Описание программного обеспечения

3. Описание тестовых задач

4. Анализ результатов. Выводы

Список использованной литературы

В данной работе мы будем исследовать метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В жизни, очень часто приходится описывать состояние различных объектов, в том числе и экономических с помощью математических моделей. После того, как объект описан такой моделью, очень часто необходимо найти его состояние равновесия.

Именно тогда, чтобы найти это состояние, приходится решать систему алгебраических уравнений. В нашем случае система состоит из n линейных уравнений с n неизвестными, и ее можно описать так:

Также данную систему можно записать и в матричном виде:

Тогда мы будем иметь матрицу коэффициентов А:

,

столбец свободных членов уравнений f:

,

и столбец неизвестных х:

.

Чтобы данная СЛАУ имела единственное решение, нужно, чтобы определитель матрицы коэффициентов А не был равен нулю (det(A))¹0.

Данную систему можно решить многими методами. Например, методом Гаусса. Решение этой системы методом Гаусса потребует выполнить

действий,

где n – число неизвестных в уравнении. А это довольно таки трудоемко, особенно при больших порядках числа n.

Еще одним точным методом для решения данных СЛАУ является рассматриваемый в данной работе метод квадратных корней для симметричной матрицы А.

Изучать данный метод мы будем следующим образом. Сначала рассмотрим математическую постановку задачи для метода квадратных корней при решении СЛАУ. В данном разделе будет полностью описана математическая модель метода. Затем рассматривается разработанная реализация данного метода в среде MatLab 7.0. После того, как метод будет реализован, можно провести анализ точности этого метода. Анализ будет основываться на исследовании влияния мерности матрицы А, ее обусловленности, разреженности на точность полученного решения. По результатам исследования будет приведен график зависимости точности полученного решения от мерности матрицы А.

метод решение корень симметричная матрица

Метод квадратных корней используется для решения линейной системы вида Ах=f(1.1), в которой матрица А является симметричной, т.е. а_ij =a_ji , где (i, j = 1, 2, …, n).

Данный метод является более экономным и удобным по сравнению с решением систем общего вида. Решение системы осуществляется в два этапа.

Прямой ход . Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц:

где , а .

Перемножая матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения t_ij :

(1.3)

После того, как матрица Т найдена, систему (1.1) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами

Обратный ход . Записываем в развернутом виде системы (1.4):

(1.5)

(1.6)

И из этих систем (1.5) и (1.6) последовательно находим

(1.7)

При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.

Заметим, что при действительных a_ij могут получиться чисто мнимые t_ij . Метод применим и в этом случае.

Метод квадратных корней дает большой выигрыш во времени по сравнению с другими методами (например, методом Гаусса), так как, во-первых, существенно уменьшает число умножений и делений (почти в два раза для больших n), во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.

Всего метод квадратных корней требует

операций умножения и деления (примерно в два раза меньше, чем метод Гаусса), а также n операций извлечения корня.

2. Описание программного обеспечения

Метод квадратных корней был реализован через функцию function [e,x]=mkk(a,f) , с входными переменными а и f и выходными e и х, где

а – матрица коэффициентов А,

f – столбец свободных членов,

х – столбец найденных решений,

е – столбец ошибок.

Столбец ошибок вычисляется, как Е=А*х-f.

Текст функции на языке MatLab:

f=f’; %столбец f переводим в строку

n=size(a,1); % вычисляем мерность матрицы А

=0) % проверяем, чтобы система имела единственное решение

if (size(f’,1)==n) %проверяем соответствует ли мерность матрицы А мерности вектора f

t=zeros(n); %создаем матрицу элементов T и заполняем ее нулями

Метод квадратных корней линейных алгебраических уравнений

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

Теория очередей (СМО)

Страница находится по новому адресу

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с примерами

Содержание:

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Метод Крамера

Определение: Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется выражение

Определение: Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы

Крамер предложил следующий метод решения СЛАУ: умножим главный определитель на для этого умножим все элементы первого столбца на эту неизвестную:

Второй столбец умножим на третий столбец — на -ый столбец — на и все эти произведения прибавим к первому столбцу, при этом произведение не изменится:

Согласно записи СЛАУ первый столбец получившегося определителя представляет собой столбец свободных коэффициентов, т.е.

Определение: Определитель называется первым вспомогательным определителем СЛАУ.

Поступая аналогично тому, как описано выше, найдем все вспомогательные определители СЛАУ:

31. Для того чтобы найти вспомогательный определитель i, надо в главном определителе СЛАУ заменить столбец i на столбец свободных коэффициентов.

Определение: Полученные выше соотношения называются формулами Крамера. Используя формулы Крамера, находят неизвестные величины Проанализируем полученные формулы:

• если главный определитель системы отличен от нуля (), то система имеет единственное решение;
• если главный определитель системы равен нулю (), а хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля ( или , или, . или ), то система не имеет решений (деление на нуль запрещено);
• если все определители системы равны нулю (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить СЛАУ методом Крамера

Решение:

Прежде всего, обращаем внимание на то, что в последнем уравнении переменные записаны в неправильном порядке, в этом случае говорят, что СЛАУ записана в ненормализованном виде. Нормализуем СЛАУ, для чего запишем неизвестные в последнем уравнении системы в правильном порядке, чтобы одноименные неизвестные были записаны друг под другом

Найдем главный определитель СЛАУ (раскрываем по первой строке)

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение. Найдем три вспомогательных определителя

Воспользуемся формулами Крамера

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно провести проверку, для чего найденные числовые значения неизвестных подставляется в нормализованную систему линейных алгебраических уравнений.

Выполним проверку Отсюда видно, что СЛАУ решена верно.

Матричный способ решения СЛАУ

Для решения СЛАУ матричным способом введем в рассмотрение матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных матpицы-столбцы неизвестных и свободных коэффициентов

Тогда СЛАУ можно записать в матричном виде Матричный способ решения СЛАУ состоит в следующем: умножим слева матричное уравнение на обратную матрицу к матрице А, получим в силу того, что произведение найдем Таким образом, для нахождения неизвестных матричным способом, надо найти обратную к А матрицу после чего надо умножить эту матрицу на матрицу-столбец свободных коэффициентов.

Пример:

Решить СЛАУ матричным способом

Решение:

Введем в рассмотрение следующие матрицы

Найдем матрицу (см. Лекцию № 2): найдем детерминант матрицы А.

Пример:

Решение:

Найдем алгебраические дополнения всех элементов Запишем обратную матрицу (в правильности нахождения обратной матрицы убедиться самостоятельно). Подействуем пай денной матрицей на матрицу-столбец свободных коэффициентов В:

Отсюда находим, что х = 1; y = l; z = l.

Метод Гаусса

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в том, чтобы за счет элементарных преобразований привести СЛАУ к треугольному виду. Покажем использование расширенной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и расширенной за счет столбца свободных коэффициентов, для приведения СЛАУ к треугольному виду на примере системы, рассматриваемой в этой лекции. Расширенная матрица для СЛАУ имеет вид:

Замечание: В методе Гаусса желательно, чтобы первая строка расширенной матрицы начиналась с единицы.

Обменяем в расширенной матрице первую и вторую строки местами, получим Приведем матрицу к треугольному виду, выполнив следующие преобразования: умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки Разделим все элементы второй строки на (-5), получим эквивалентную матрицу

Умножим элементы первой строки на (—1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки Разделим все элементы третьей строки на (-3), получим Таким образом, эквивалентная СЛАУ имеет вид (напомним, что первый столбец это коэффициенты при неизвестной х, второй — при неизвестной у, третий — при неизвестной z, а за вертикальной чертой находится столбец свободных коэффициентов):

Из первого уравнения находим, что х = 1.

Вывод: Из вышеизложенного материала следует, что вне зависимости от

способа решения СЛАУ всегда должен получаться один и тот же ответ.

Замечание: После нахождения решения СЛАУ надо обязательно выполнить проверку, то есть подставить полученные значения неизвестных в заданную СЛАУ и убедиться в тождественности левой части всех равенств системы соответствующим правым частям. Отметим, что задание СЛАУ всегда верно, то есть, если проверка показывает нарушение оговоренной тождественности, то надо искать ошибку в проведенных вычислениях.

Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

Если то среди всевозможных миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, который отличен от нулю, а все миноры порядков больших, чем r, равны нулю.

При вычислении ранга необходимо начинать вычислять миноры 2 порядка, затем миноры 3 порядка и так далее, пока не будут найдены миноры, обращающиеся в нуль. Если все миноры порядка p равны нулю, то и все миноры, порядок которых больше p, равны нулю.

Пример:

Найти ранг матрицы

Решение:

Очевидно, что среди миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, например, среди миноров третьего порядка также есть миноры, которые не равны нулю, например, Очевидно, что определитель четвертого порядка равен нулю, так как он будет содержать строку, состоящую из одних нулей (см. свойство для определителей). Следовательно, ранг матрицы А равен 3.

Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛАУ). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы совпадал с рангом основной матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных величинах.

Следствия из теоремы Кронекера — Капелли

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение (то есть она определенная).

Следствие: Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений (т.е. она неопределенная).

В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные неизвестные считаются свободными; далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным различные произвольные значения, получим бесчисленное множество решений, каждое из которых называется частным решением системы.

• Скалярное произведение и его свойства
• Векторное и смешанное произведения векторов
• Преобразования декартовой системы координат
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• Критерий совместности Кронекера-Капелли
• Формулы Крамера
• Матричный метод
• Экстремум функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.