Метод квадратур интегральные уравнения вольтерра

Содержание (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

1. математические модели решения различных задач вычислительной математики……………..……………………. 6

1.2 Краевые задачи для уравнений в частных производных второго порядка…………………………………………………………………………..7

1.3 Интегральные уравнения Вольтера и Фредгольма…………………. 10

2. Описание лабораторных работ, варианты и задания, контрольные вопросы…………………………..……………………12

2.1 Лабораторная работа № 1. Тема: Построение и реализация методов Рунге-Кутта решения задачи Коши………….……………………..……. 12

2.2 Лабораторная работа № 2. Тема: Построение и реализация метода Адамса решения задачи Коши……………………………………..…….…16

2.3 Лабораторная работа № 3. Тема: Решение краевой задачи методом наименьших квадратов……………..…………………………………..……19

2.4 Лабораторная работа № 4. Тема: Решение краевой задачи методом прогонки. Правило Рунге………………………………………………….…23

2.5 Лабораторная работа № 5. Тема: Решение методом сеток краевой задачи для уравнения эллиптического типа………………. ……….….26

2.6 Лабораторная работа № 6. Тема: Решение методом сеток краевой задачи для уравнения параболического типа…………….….…….……..30

2.7 Лабораторная работа № 7. Тема: Решение методом сеток краевой задачи для уравнения гиперболического типа…. …………….…….…. 34

2.8 Лабораторная работа № 8. Тема: Решение методом регуляризации интегрального уравнения Вольтера I рода…………………..…..…….…..38

2.9 Лабораторная работа № 9. Тема: Решение методом квадратур интегрального уравнения Вольтера II рода………………………….…….40

2.10 Лабораторная работа № 10. Тема: Решение методом регуляризации интегрального уравнения Фредгольма I рода………………………..……43

2.11 Лабораторная работа № 11. Тема: Решение методом квадратур интегрального уравнения Фредгольма II рода…………………. ……. 46

2.12 Лабораторная работа № 12. Тема: Решение интегрального уравнения Фредгольма II рода методом замены ядра на вырожденное ядро………………………………………….………………………….……. 49

3. Программная реализация решения лабораторных работ в среде mathcad…………………….…………………….….…52

3.1 Алгоритмы решения задач……..………………………………….…….52

3.2 Примеры решений тестовых заданий…………………………….…….56

Введение

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности и т. д. Вследствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось получение решения в виде числа.

Методы вычисления прикладных задач интересовали математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания, как иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных методов решения задач.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением за последние несколько лет скорость выполнения арифметических операций значительно возросла. Расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию различных разделов науки: химии, экономики, биологии, медицины, конкретных разделов техники и др. процесс математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования.

Эти теоретические исследования оказывают большую помощь при решении конкретных задач и играют существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.

Одним из самых популярных компьютерных математических пакетов, позволяющий проводить разнообразные математические расчеты, является математический редактор MathCad. Пользователи MathCad – это, студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Пакет MathCad мощный микрокалькулятор, позволяющий легко справляться с рутинными задачами. Сюда можно отнести решение алгебраических и дифференциальных уравнений с постоянными и переменными параметрами, анализ функций, поиск их экстремумов, численное и аналитическое дифференцирование и интегрирование, вывод таблиц и графиков при анализе найденных решений.

MathCad очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на выполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, которому привыкли писать на листке бумаги, и тут же получать результат.

Работа состоит из четырех разделов.

Первый раздел называется «Математические модели решения различных задач вычислительной математики». В ней идет речь математических о моделях решения задач.

Второй раздел посвящен методическим рекомендациям, в котором идет речь о теории решения задачи Коши, решения краевых задач различными способами и о теории методов квадратур для решения интегральных уравнений Вольтера и Фредгольма.

В третьем разделе рассматривается программная реализация решения уравнений.

1. Построение математической модели решения уравнений

1.1 Задачи Коши

Для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка рассматривается задача Коши с начальным условием . Она задает в плоскости XOY множества интегральных кривых y=y(x, C), C – произвольная постоянная. Уравнение имеет бесконечное число решений. Начальное условие фиксирует из всего множества интегральных кривых одну проходящую через точку с координатами (x0,y0). Все методы решения задачи , делятся на две основные группы: аналитические и численные. В аналитических методах строится последовательность функции yn(x) в пределе, т. е. . В численных методах определяется приближенные значения функций y(x) в узлах сетки заданной в некоторой окрестности в точке x0. Численные методы делятся на одношаговые (метод Рунге-Кутта) и многошаговые (метод Адамса).

В основе схемы Рунге-Кутта построения одношаговых методов лежит соотношение , позволяющее при известном значении y(x) оценить y(x+h).

Интеграл приближенно заменяется квадратурной суммой:. Таким образом, предлагается оценивать значения y(x+h) по формуле .

В данном методе для оценки значения y(x) в рассматриваемом узле сетки привлекается информация о значении y(x) только в одном предыдущем узле.

Таким образом, расчет yn, где yn=y(x) производится по формуле , где шаг h вычисляется по формуле .

В отличие от одношаговых методов, в многошаговом методе метода Адамса при вычислении y(x) в интересующем нас узле xn+1 используется информация о значениях y(x) в нескольких предыдущих узлах xn, xn+1, …,xn-q. Поскольку мы используем больше информации при вычислении следующего приближения, многошаговые методы обеспечивают более высокую точность, чем одношаговые. В основе построения многошаговых методах, как и в основе метода Рунге-Кутта, лежит соотношение . Интеграл заменяется квадратурной формулой . Расчетная формула имеет вид , где h вычисляется по формуле . Отметим, что для начала расчетов по формуле необходимо указать значения . Эти значения могут быть найдены, например, по одному из одношаговых методов. Так, Метод Эйлера дает , 0£n£q-1.

1.2 Краевые задачи для уравнений в частных производных второго порядка

Для линейного дифференциального уравнения второго порядка рассматривается краевая задача , с краевыми условиями . Методы приближенного решения краевых задач делятся на две группы: аналитические и конечноразностные. К числу аналитических методов относится метод наименьших квадратов. В рамках этого метода приближенное решение задачи ищется в виде линейной комбинации , где — некоторая система базисных функций. К конечноразностным методам относится метод прогонки. Задача отыскания функции y(x), удовлетворяющей краевым условиям заменяется задачей нахождения значений y(xk) этой функции в узлах сетки, . Если сетка достаточно “густая” (величина шага мала), то набор достаточно хорошо представляет искомую функцию y(x). Значения выражаются из системы линейных уравнений, полученной заменой производных в краевой задаче во внутренних узлах подходящими разностными выражениями при учете граничных условий. Это система вычисляется методом прогонки (специальный вариант метода Гаусса). Она состоит в последовательном выражении неизвестных yk через неизвестные yk+1, yk+2 и последующей подстановки одного уравнений в другое.

Окончательный процесс нахождения значений следующий: последовательно вычисляются . Этот этап расчетов называется прямым ходом прогонки. Далее получаем . Данный этап называется обратным ходом прогонки.

Метод сеток краевой задачи для уравнения эллиптического типа (уравнение Пуассона) заключается в поиске функции U(x, y), определенную при , удовлетворяющую соотношениям , , , . Уравнения , , описывают, в частности, стационарное тепловое поле в области [0,a]*[0,b]. Стационар по времени не изменяется. При этом функция U(x, y) — температура поля в точке (x, y) принадлежащая области, а функция g(x, y) описывает плотность внешних источников тепла, действующих на поле. Функция задает температурный режим на границе области Г.

Метод сеток краевой задачи для уравнения параболического типа (уравнение теплопроводности) заключается в поиске функции U(x, y) определенную при , удовлетворяющую соотношениям , , , ,.

Эти соотношения описывают, в частности, явление изменения температуры в тонком однородном стержне длины l за промежуток времени длительности T. Функция U(x, t) задает температуру стержня в точке с абсциссой x в момент t (левый конец стержня находится в точке x=0, правый в точке x=l). Функция определяет плотность внешних источников тепла, приложенных к точке x в момент t, — задает начальную температуру в точке стержня, функции — описывают температурные режимы, поддерживаемые на концах стержня, a2 – коэффициент теплопроводности стержня.

Метод сеток краевой задачи для уравнения гиперболического типа (уравнение колебания струны) заключается в поиске функции U(x, y) определенную при , удовлетворяющую соотношениям , , ,. Эти соотношения описывают, в частности, процесс поперечных колебаний тонкой однородной струны длины l, левый конец которой располагается в момент времени t в точке , а правый — в точке .

При этом функция U(x, t) – описывает отклонение от положения равновесия точки с абсциссой x в момент времени t. Функция g(x, t) характеризует плотность внешних сил, действующих в момент времени t на точку струны с абсциссой x, a2 – коэффициент упругости струны. Функции и определяют соответственно начальное отклонение струны от положения равновесия и начальные скорости точек струны, а функции описывают колебания концов струны. Если , то струна закреплена.

1.3 Интегральные уравнения Вольтера и Фредгольма

Интегральные уравнения Вольтера делятся на 2 типа: первого и второго рода.

Линейное интегральное уравнение Вольтера первого рода имеет вид: . Если K (a, a) не равно 0, F (a) = 0 и если функции F (s), K (s, t) имеют производные F ‘ (s), K ‘ s (s, t), непрерывные в интервале (a, b), заключенном в интервале интегрирования, внутри которого K(s, t) не обращается в нуль, то уравнение Вольтера первого рода допускает в интервале (a, b) непрерывное и единственное решение. Представленная процедура решает уравнение методом квадратурных формул. Вычисление интеграла производится по формуле трапеций с постоянным шагом h, где шаг определяется, как h=(b-a)/2.

Линейное интегральное уравнение Вольтера второго рода имеет вид: , независимые переменные s, t изменяются на промежутке [a, b], ядро K(s, t) непрерывно внутри и на сторонах треугольника, ограниченного прямыми t =a, s =b, t = s. Функция f(t) на [a, b] непрерывна.

Уравнение данного типа решается с помощью метода квадратурных формул, суть которого состоит в замене интегрального уравнения аппроксимирующей системой алгебраических уравнений относительно дискретных значений искомой функции и решении этой системы. В основе такой замены лежит приближение интеграла квадратурными формулами. Применение формулы трапеций с постоянным шагом h приводит к рекуррентной формуле.

Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид: , где ядро определено в квадрате V = [a, b] * [a, b]. Для уравнения Фредгольма первого рода задается последовательность регуляризующих параметров . Решение уравнений данного типа решается с помощью метода квадратурных формул.

Неоднородное линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода имеет вид: , где ядро определено в квадрате V = [a, b] * [a, b]. Кроме того, полагается, что ядро непрерывно в V. При b= 1, используя квадратурную формулу трапеций с постоянным шагом h, который определяется, как h=(b-a)/2. Решение уравнений данного типа решается с помощью метода квадратурных формул и метода Гаусса.

Для уравнения Фредгольма второго рода существует еще один способ решения. Это метод замены ядра на вырожденное ядро. Ядро K(s, t) называется вырожденным, если существует система линейно независимых функций , где , такие, что .

2. Описание лабораторных работ, варианты и

задания, контрольные вопросы

2.1 Лабораторная работа № 1

Построение и реализация методов Рунге-Кутта решения

задачи Коши

Цель работы: Научиться строить в рамках схемы Рунге-Кутта создания одношаговых методов методы второго порядка точности и использовать их для решения задачи Коши.

Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:

(1)

В основе одношаговых методов лежит соотношение: (2)

Интеграл в формуле (2) приближенно заменим квадратурной суммой: (3)

Таким образом, значения y(x+h) оцениваются по формуле: (4)

Функции составляются по формулам

(5)

где общее число параметров определяется целочисленным параметром q>0.

Для оптимального выбора параметров, при котором обеспечивается наибольшая точность приближенного равенства, составляется функция невязки, т. е. разность между его левой и правой частью. (6)

Находим производные . Положив в производных h=0, запишем уравнения и, исходя из них, выписываем условия на параметры , обеспечивающие выполнение этих соотношений.

Численная реализация осуществляется следующим образом. На отрезке [x0,X] определяем равномерную сетку , так что , .

Обозначим за искомое приближенное значение функции в точке .

Расчет проводится по формуле:

(7)

(8)

Выпишем схемы нахождения , отвечающие значениям A0=0 (усовершенствованный метод Эйлера), т. е.

или (9)

и A0=0.5 (метод Эйлера-Коши), т. е.

или (10)

Вычислим последовательно приближенное решение по двум схемам.

1. Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

2. Изложите схему построения методов Рунге-Кутта.

3. В чем заключается метод Эйлера решения задачи Коши?

4. С какой целью величину s стремятся сделать наибольшей?

Задание к лабораторной работе

1. Положив в описанной выше схеме Рунге-Кутта q=1, выписать для этого случая функцию j(h).

2. Привлекая при необходимости основное уравнение и правило дифференцирования сложных функций, найти производные j’(h), j”(h).

3. Положив в производных h=0, записать уравнения j’(0)=0, j”(0)=0 и исходя из них, выписать условия на параметры a1,b10,A0,A1, обеспечивающие выполнение этих соотношений. Какой порядок точности при этом гарантируется?

4. Выписать конкретные схемы и соответствующие им методы нахождения , отвечающие значениям A0=0 (усовершенствованный метод Эйлера) и A0=0.5 (метод Эйлера-Коши)

5. Построенными в пункте 4 методами провести расчет значений для задачи Коши (см. варианты заданий) при N=5 на отрезке [0,1].

Публикация научных работ

Журнал «Проблемы современной науки и образования» выходит ежемесячно, 15 числа (уточняется в месяц выхода). Следующий номер журнала № 01(170) 2022 г. Выйдет — 18.02.2022 г. Статьи принимаются до 18.02.2022 г.

Если Вы хотите напечататься в ближайшем номере, не откладывайте отправку заявки.

Метод квадратурных формул для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода

• » onclick=»window.open(this.href,’win2′,’status=no,toolbar=no,scrollbars=yes,titlebar=no,menubar=no,resizable=yes,width=640,height=480,directories=no,location=no’); return false;» rel=»nofollow»> Печать
• E-mail

Категория: 01.00.00 Физико-математические науки Создано: 08.02.2016 16:01 Просмотров: 550

Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich – доктор физико-математических наук, профессор,
кафедра информационных технологий и программирования;
Рустамова Динара / Rustamova Dinara – старший преподаватель,
кафедра информатики и вычислительной техники,
Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе рассматривается метод конечных сумм для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. Аппроксимация проводится на основе регуляризованного уравнения с помощью квадратурной формулы правых прямоугольников. Доказана сходимость численного решения к точному решению, получена оценка погрешности метода.
Abstract: in work the method of the final sums for the nonlinear integrated equations of Voltaire of the third kind is considered. Approximation is carried out on the basis of the regularizing equation by means of a quadrature formula of the right rectangles. Convergence of the numerical solution to the exact solution is proved, the method error assessment is received.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, аппроксимация, квадратурная формула, малый параметр.
Keywords: Volterra equations, approximation, quadrature formula, small parameter.

Литература

1. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. – Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. – 1999. – 193 с.
2. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация нелинейного интегрального уравнения Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. — Бишкек, 2011. — Вып. 1. — С. 76-79.
3. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация и метод квадратур для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. – Бишкек: Илим, 2009. — Вып. 40. — С127-132.
4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. – Москва: Наука, 1989. – 432 с.