Метод логарифмирования при решении уравнений

Метод логарифмирования

Один из методов решения уравнений – это метод логарифмирования. Сейчас мы детально разберем его с теоретической и практической стороны. Сначала покажем, когда применяется метод логарифмирования. Дальше дадим суть метода логарифмирования. После этого перейдем к теоретическому обоснованию. Затем запишем алгоритм решения уравнений методом логарифмирования. Наконец, рассмотрим примеры применения метода при решении уравнений.

Когда применяется

Метод логарифмирования обычно применяется для решения уравнений, логарифмирование обеих частей которых позволяет избавиться от переменной в показателях степеней. Если привязываться к внешнему виду, то такими, в основном, являются:

• Уравнения, в одной части которых находится степень с переменной в показателе, произведение или частное таких степеней, возможно с положительным числовым коэффициентом, а в другой части – положительное число. В качестве примера приведем уравнение x lgx−1 =100 .
• Уравнения, в обеих частях которых находятся степени с переменной в показателях, произведение или частное таких степеней, возможно с положительными числовыми коэффициентами. Таким, например, является уравнение .

В частности, метод логарифмирования можно применять для решения показательных уравнений a f(x) =b и a f(x) =a g(x) , где a и b – числа, причем a>0 , a≠1 , b>0 , а f(x) и g(x) – выражения с переменной x . Например, методом логарифмирования можно решать показательные уравнения 2 x =5 , (0,7) x+2 =(0,7) 4·x 2 −7 , 5 1−x =5 3·lgx и т.п. Однако для решения таких уравнений обычно используют метод уравнивания показателей.

Суть метода логарифмирования

Суть метода логарифмирования состоит в логарифмировании обеих частей уравнения по одному и тому же основанию.

Это объясняет название метода.

Обоснование метода

В основе метода логарифмирования лежит следующая теорема:

Множество решений уравнения u(x)=v(x) , где u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из области допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения, совпадает с множеством решений уравнения log_cu(x)=log_cv(x) , где c – положительное и отличное от единицы число.

Нам достаточно показать, что любой корень уравнения u(x)=v(x) является корнем уравнения log_cu(x)=log_cv(x) , и обратно.

Для доказательства нам потребуется следующее свойство логарифмов: логарифмы двух положительных чисел a и b по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию c равны тогда и только тогда, когда равны числа a и b .

Пусть x₀ – корень уравнения u(x)=v(x) . Тогда u(x₀)=v(x₀) – верное числовое равенство. Так как по условию u(x)>0 и v(x)>0 при любом значении переменной x из ОДЗ для этого уравнения, то u(x₀) и v(x₀) – положительные числа. Следовательно, в силу озвученного выше свойства из равенства u(x₀)=v(x₀) вытекает равенство log_cu(x₀)=log_cv(x₀) . Из него следует, что x₀ – корень уравнения log_cu(x)=log_cv(x) .

Теперь обратно. Пусть x₀ – корень уравнения log_cu(x)=log_cv(x) . Тогда log_cu(x₀)=log_cv(x₀) – верное числовое равенство. Из него и из указанного выше свойства логарифмов следует, что u(x₀)=v(x₀) . А из этого равенства вытекает, что x₀ – корень уравнения u(x)=v(x) .

Алгоритм решения уравнений методом логарифмирования

Информация из предыдущих пунктов позволяет записать алгоритм решения уравнений методом логарифмирования.

Чтобы решить уравнение методом логарифмирования, надо

1. Убедиться, что выражения, отвечающие частям уравнения, принимают положительные значения при любом значении переменной из ОДЗ для исходного уравнения.
2. Прологарифмировать обе части уравнения по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию.
3. Решить полученное уравнение. Его решение является решением исходного уравнения.

Какое число брать в качестве основания при логарифмировании? По большому счету, это не имеет значения. Понятно, что целесообразно брать такое основание, при котором дальнейшие действия будут наиболее простыми. Например, уравнение 5 x 2 +5 =5 −6·x стоит логарифмировать по основанию 5 , так как это дает наиболее простое решение: 5 x 2 +5 =5 −6·x , log₅5 x 2 +5 =log₅5 −6·x , x 2 +5=−6·x , . Если выбрать любое другое основание, например, 10 , то мы придем к такому же результату, но за большее число шагов: 5 x 2 +5 =5 −6·x , lg5 x 2 +5 =lg5 −6·x , (x 2 +5)·lg5=(−6·x)·lg5 , x 2 +5=−6·x , …

Примеры применения

Осталось посмотреть, как метод логарифмирования применяется на практике. Для этого обратимся к конкретным примерам.

Решите уравнение методом логарифмирования.

Заданное уравнение представляет собой равенство двух степеней с положительными и отличными от единицы основаниями. Такие степени принимают только положительные значения, что следует из определения степени. Все это открывает дорогу для решения заданного уравнения методом логарифмирования.

Так как основаниями степеней в исходном уравнении являются числа 3 , то логарифмирование целесообразно проводить по основанию 3 . Логарифмирование обеих частей уравнения по основанию 3 дает уравнение . Оно с опорой на свойства логарифмов приводится к уравнению . Полученное уравнение равносильно исходному. Поэтому, решив его, мы получим нужное нам решение уравнения .

Итак, все свелось к решению уравнения . Виден общий множитель , который стоит вынести за скобки. Также не помешает избавиться от дроби. Это подталкивает начинать решение по методу решения уравнений через преобразования:

Все проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями, поэтому, полученное уравнение равносильно уравнению, которое было до проведения этих преобразований. Полученное уравнение , очевидно, можно решить методом разложения на множители:

Первое уравнение — иррациональное с тривиальным решением 0 . Второе уравнение 2 x −4=0 переносом четверки в правую часть приводится к простейшему показательному уравнению 2 x =4 с легко находящимся единственным корнем 2 ( 2 x =4 , 2 x =2 2 , x=2 ). Завершающим этапом метода разложения на множители является проверка найденных корней. Проведем проверку подстановкой: оба найденных корня 0 и 2 удовлетворяют уравнению , значит, являются его корнями. Таким образом, уравнение имеет два корня 0 и 2 .

Остается сослаться на равносильность уравнения уравнению , которое в свою очередь равносильно исходному уравнению , и записать найденные корни в ответ.

При решении следующего уравнения покажем, как правильно проводить логарифмирование по основанию с переменной.

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).