Метод Мажорант
Государственное бюджетное образовательное учреждение
средняя образовательная школа № 000
Автор проекта: ученик 10 «Б» класса
Научный руководитель проекта: учитель математики
1.1.Признаки присутствия мажоранты в задаче..………………. …. ….4
1.2.Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений……………………………..……………………. ….5
1.3. Встреча на краю. 6
При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных.
Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения. Один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, задачи с параметром.
В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.
Цель: показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант
Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту. Изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств. Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта. Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ.
История слова «мажорант». В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта, две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).
Главные выводы работы:
Выполняя данный исследовательский проект, я провел огромную работу. Для начала надо было собрать и систематизировать информацию по данной теме, что было достаточно тяжело, так как эта тема для меня новая, незнакомая, и все надо было начинать с нуля. Главной же частью данного проекта была практическая часть, а именно создание сборника задач по теме «Метод мажоранта» при решении уравнений и неравенств, который пригодится будущем, а именно при подготовке к ЕГЭ.
1. Обзор литературы
Метод мажорант — нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.
Мы знаем много мажорант для известных функций:
Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) — функции совершенно разного вида.
Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.
1.1. Признаки присутствия мажоранты в задаче:
- Смешанное уравнение (или неравенство), т. е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов, т. е. наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты, т. е. если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.
Для нахождения мажоранты необходимы:
- Знание свойств функций; Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики; Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;
При применении данного метода используется определение ограниченных функций.
- Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.
При решении уравнения с помощью метода мажорант, мы, как правило: выясняем, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая – меньше или равна. Или наоборот. равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.
Необходимо знать некоторые нестандартные неравенства:
1. а) при a > 0, равенство при a = 1
б) при a 0 |x| ≥ 0 ≥ 0 — ≤ arcsinx ≤ 0 ≤ arccosx ≤ —
Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств. II республиканская научно-практическая конференция школьников «От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
II республиканская научно-практическая конференция школьников
«От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»
Секция: Математика. Информатика. Физика.
« Метод мажорант и его применение
при решении уравнений и неравенств »
Автор: Садыкова Гульназ Рафисовна
Ученица 10 класса
МБОУ «Кирбинская средняя
Лаишевского муниципального района
Научный руководитель: учитель математики
1. Определение мажоранты функции…………………………………….. 4
3. Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант…….. 8
Список использованной литературы……………………………………. 16
« Учимся не для школы, а для жизни»
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках, которые проявляются в обобщении, конкретизации, анализе, синтезе. Для реализации этих задач математического образования большую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задачи в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.
Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.
В данном исследовании, во-первых, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах училась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.
Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если знать, как находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной, а также знать некоторые «полезные» неравенства.
Актуальность этой работы определяется успешным применением метода мажоранта в решении олимпиадных задач и заданий части С ЕГЭ, вступительных заданий в ВУЗы. Также работая над проектом я расширила свой кругозор и базу математических знаний.
Объект исследования: уравнения и неравенства в математике.
показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант, заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа.
Гипотеза: решение уравнений и неравенств методом мажорант.
Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены
следующие задачи исследования:
сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения уравнений и неравенств;
развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;
сформировать устойчивый интерес к предмету для дальнейшей самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам в вузы
пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики.
Базой моих исследований являются книги и журналы: 1. 3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997. 2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987. 3. Ткачук В.В. «Математика абитуриенту», Москва: МЦНМО, 2008. 4. Электронный научный журнал «Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании»
При работе над проектом применялись следующие методы:
1) теоретические: изучение и анализ источников информации по методу мажоранта; моделирование приемов использования метода мажоранта в решениях уравнений и неравенств.
2) эмпирические: исследование различных случаев решения уравнений и неравенств.
Работа « Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств » имеет практическое значение . Оно заключается в следующем: метод мажорант при решении уравнений и неравенств нам поможет при подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в ВУЗы, получить более высокий конечный результат.
Оборудование – мультимедийный проектор
Определение мажоранты функции
Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».
Работа посвящена одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методу, основанному на свойстве ограниченности функций, который называется метод «мажорант».
Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).
Термин «мажоранта» происходит от франц узского слова «majorante» , от «majorer» — объявлять большим.
Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых знаем.
Информационно-коммуникационные технологии
в педагогическом образовании
| Обучение старшеклассников решению уравнений и неравенств методом мажорантНаучный руководитель: Любичева Вера Филлиповна Уже в течение нескольких лет на старшей ступени общего образования проводится ЕГЭ по математике, который включает задания, как обязательного, так и повышенного уровня. Среди последних встречаются нестандартные математические задачи, в роли которых чаще всего выступают уравнения и неравенства. Одним из эффективных и оригинальных методов решения нестандартных уравнений и неравенств является метод мажорант. При этом в школьных учебниках алгебры и начал анализа материал о данном методе отсутствует. Метод мажорант – метод выявления ограниченности функции. Мажорирование – нахождение точек ограничения функции. Мажоранта и миноранта – (от франц.) две функции, значение первой из которых не меньше, а второй — не больше соответствующих значений данной функции [1]. Этот нестандартный метод решения уравнений и неравенств заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М, мажорантой. f(x) ≤ M и g(x) ≥ M, то [3] В демоверсии ЕГЭ 2010-2011, 2011-2012 метод мажорант было логично использовать при решении заданий С3 и С5. Рассмотрим задания из демонстрационного варианта ЕГЭ 2010-2011 учебного года, при решении которых можно использовать метод мажорант [4]. С3 Решить неравенство: Решение 1. Преобразуем неравенство: Найдем, при каких значениях х левая часть неравенства имеет смысл:
Значит, при всех допустимых значениях х. Поэтому Сделаем замену: . Получаем:
Таким образом, , откуда Корни уравнения: -6 и -1. Условию -3 Решение 2. Можно не находить область допустимых значений х, а прийти к соотношению |x-3|=3-x другим способом. Тогда решение будет немного короче. Преобразуем неравенство: Заметим, что x+3>0 и (3-x)(3+x)>0. Значит, 3-x>0. Поэтому |x-3|=3-x. Получаем: Сделаем замену: Получаем:
Ответ: <-1>. С5 Найдите все значения а, при каждом из которых система: имеет единственное решение. Решение. Пусть система имеет решение (х;у). Если , то система имеет второе решение (-х;у). Значит, решение может быть единственным, только при х=0. Подставим х=0 в первое уравнение: у=а-2. Пара (0;а-2) должна удовлетворять второму уравнению: откуда а=0 или а=4. Для каждого из двух найденных значений параметра нужно проверить, действительно ли данная система имеет единственное решение. Первый случай: а=0. Система принимает вид: Графиком функции является угол, который имеет с окружностью три общие точки (см. рисунок). Значит, при а=0 система имеет три решения. Второй случай: а=4. Система принимает вид: Из первого уравнения следует, что при , y>2, а из второго уравнения при получаем, что |y| Рассмотрим задания из демонстрационного варианта ЕГЭ 2011-2012 учебного года, при решении которых можно использовать метод мажорант [2]. С3 Решите систему неравенств: Решение. 1. Неравенство запишем в виде: Относительно новой переменной неравенство имеет вид: откуда получаем: Значит, 1. Второе неравенство системы определено при то есть при x 2. При допустимых значениях переменной получаем:
С учетом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 1. Сравним и Так как, , то . Следовательно, Решение системы неравенств: Ответ: С5 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1. Решение. 1. Функция f имеет вид: а) при а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х=4-а; б) при а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. Все возможные виды графиков функции f(x) показаны на рисунках 2-5: 2. Наименьшее значение функции f(x) может принять только в точках х=1 или х=7, а если 4-а[1;7] — то в точке х=4-а. 3. Наименьшее значение функции f больше 1 тогда и только тогда, когда:
Ответ: . Автором были спроектированы уроки для ознакомления учащихся с методом мажорант. Для проверки эффективности сконструированных уроков проводился педагогический эксперимент в муниципальном образовательном учреждении «Лицей №34» города Новокузнецка в двух 11-х классах в течение III четверти 2011 — 2012 учебного года. Главной целью эксперимента была проверка выдвинутой гипотезы: обучение старшеклассников решению уравнений и неравенств методом мажорант будет эффективным, если в совместной деятельности учителя и учащихся выделить сущность этого метода; сформировать у учащихся ориентир для выбора метода мажорант из других методов решения уравнений и неравенств; научить учащихся применять схему решения уравнений и неравенств методом мажорант; обосновывать выбор метода мажорант для решения уравнений и неравенств. В ходе педагогического эксперимента гипотеза получила свое подтверждение. Поэтому можно говорить о целесообразности ознакомления выпускников с методом мажорант для успешной сдачи ЕГЭ. источники: http://infourok.ru/metod-mazhorant-i-ego-primenenie-pri-reshenii-uravneniy-i-neravenstv-ii-respublikanskaya-nauchnoprakticheskaya-konferenciya-shko-424115.html http://infed.ru/articles/91/ |