Метод мажорант при решении уравнений огэ

Метод мажорант и координатно-векторный метод при решении задач повышенной сложности

Разделы: Математика

Цели и задачи:

• Показ возможности использования нетрадиционных методов при решении задач повышенной сложности.
• Формирование и отработка навыков в применении метода выделения полного квадрата многочлена, в оценке множества значений функций, свойств числовых неравенств.
• Формирование навыков в распознавании координатно-векторного метода решения алгебраических задач.
• Оптимизация методов решения алгебраических задач.
• Расширение методики решения алгебраических задач.

Описание координатно-векторного метода.

1. Координатно-векторный метод основан на введении прямоугольной системы координат и создании геометрически-алгебраической модели решения задач, тем самым упрощая громоздкие и иногда достаточно сложные преобразования и выкладки.
2. Шаг 1. Ввести систему координат таким образом, чтобы координаты точек имели наиболее оптимальные значения.
Шаг 2. Определить координаты нужных для решения задачи точек и векторов, используя, если нужно, при этом планиметрические теоремы или формулы векторной геометрии.
Шаг 3. Создать алгебраическую модель для решения задачи.

Описание метода мажорант

Мажорантой данной функции f(x) на множестве P называется такое число М, что либо f(x) М для всех xP.

Основная идея состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение f(x) = g(x) и существует такое число М, что для любого x из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) М. Тогда уравнение f(x) = g(x) эквивалентно системе

Для отыскания числа М основными являются методы

а) выделения полного квадрата многочлена,
б) оценка множества значений функции и использование её свойств (ограниченность, монотонность, отыскание производной)
в) использование свойств числовых неравенств, а именно

и следствий из этих неравенств, причем в первом неравенстве равенство достигается при a = b, а во втором при a = 1.

Удобнее всего продемонстрировать этот метод при разборе и решении задач.
Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

,
Пусть

g(x) = sin 2 (x + 1)lg(9 – 2x – x 2 ) > 1.

cos 2 (x + 1) > 0, следовательно для того чтобы неравенство имело решение необходимо, чтобы lg(9 – 2x – x 2 ) > 0.

Оценим выражение 9 – 2x – x 2 = 10 – (x + 1) 2 2 ) 2 (x + 1) 2 ) 2 + y 2 – 14x – 10y + 58 = 0,

= 2.

Преобразуем выражения, стоящие под знаком корня, выделив полный квадрат двучленов.

Рассмотрим второе уравнение системы . В декартовой системе координат обозначим точки А(8;6), В(–2;10) и С(x;y).
Найдём расстояние между точками А и В; В и С; С и А.

АВ =
СВ = ,
АС = .

Следовательно АВ = ВС + АС (см. второе уравнение системы).

То есть точки А, В, С лежат на одной прямой, причём точка С между точками А и В. x

Заменим второе уравнение системы уравнением прямой, проходящей через точки А и В.
4(x – 8) = – 10(y – 6); 2x + 5y = 92.

Вернёмся к системе.

2x + 5y = 92. x 2 + y 2 – 14x – 10y + 58 = 0,

решая её методом подстановки и выполняя ограничения наложенные на x и y, получаем

;

Ответ:

Пример 8.

Включает применение координатно-векторного метода и метода мажорант.

Легко заметить, что сумма подкоренных выражений, стоящих слева равна подкоренному выражению, стоящему справа.

Введём векторы и .

Рассмотрим скалярное произведение этих векторов.

Поэтому, можно выразить векторы таким образом:

На разобранных примерах, мы видим как достаточно сложные задачи достаточно просто решаются с использованием знакомых операций, таких как выделение полного квадрата, оценка выражений с помощью числовых неравенств, использование свойств функций (монотонность, ограниченность) и координатно-векторного метода.

Задачи для самостоятельного решения:

Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств. II республиканская научно-практическая конференция школьников «От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

II республиканская научно-практическая конференция школьников

«От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

Секция: Математика. Информатика. Физика.

« Метод мажорант и его применение

при решении уравнений и неравенств »

Автор: Садыкова Гульназ Рафисовна

Ученица 10 класса

МБОУ «Кирбинская средняя

Лаишевского муниципального района

Научный руководитель: учитель математики

1. Определение мажоранты функции…………………………………….. 4

3. Примеры решения уравнений и неравенств методом мажорант…….. 8

Список использованной литературы……………………………………. 16

« Учимся не для школы, а для жизни»

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках, которые проявляются в обобщении, конкретизации, анализе, синтезе. Для реализации этих задач математического образования большую роль играют нестандартные задачи, при решении которых развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять способы решения задачи в практической деятельности, использовать полученные знания и умения в решении прикладных и практических задач.

Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения, поэтому я решила взять в качестве темы научно-исследовательской работы один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, например, уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу; уравнения или системы уравнений, в которых количество переменных превышает количество уравнений; задачи с параметром.

В данном исследовании, во-первых, я узнала совершенно новый для себя способ решения уравнений-метод мажоранта, который встречается в ЕГЭ и мало изучается в школе. Во-вторых, научилась применять его непосредственно при решении уравнений и неравенств. Для этого я изучила и проанализировала материал по данной теме, на конкретных примерах училась применять метод мажоранта при решении уравнений и неравенств.

Метод мажорант также называют методом оценки левой и правой частей, входящих в уравнения и неравенства. Применение метода оценок будет успешным, если знать, как находить экстремумы элементарных функций, область значений, исследовать функцию с помощью производной, а также знать некоторые «полезные» неравенства.

Актуальность этой работы определяется успешным применением метода мажоранта в решении олимпиадных задач и заданий части С ЕГЭ, вступительных заданий в ВУЗы. Также работая над проектом я расширила свой кругозор и базу математических знаний.

Объект исследования: уравнения и неравенства в математике.

показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант, заинтересовать читателя решением нестандартных задач, стимулировать самостоятельный поиск и создание собственных задач подобного типа.

Гипотеза: решение уравнений и неравенств методом мажорант.

Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены

следующие задачи исследования:

сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения уравнений и неравенств;

развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;

сформировать устойчивый интерес к предмету для дальнейшей самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам в вузы

пополнить библиотеку методических пособий в школьном кабинете математики.

Базой моих исследований являются книги и журналы: 1. 3000 конкурсных задач по математике./ Сост. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.; под ред. проф. Н.А. Бобылева. –М.: Айрис Рольф; 1997. 2. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Справочное пособие./ Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. –М.: Наука; 1987. 3. Ткачук В.В. «Математика абитуриенту», Москва: МЦНМО, 2008. 4. Электронный научный журнал «Информационно-коммуникационные технологии в педагогическом образовании»

При работе над проектом применялись следующие методы:

1) теоретические: изучение и анализ источников информации по методу мажоранта; моделирование приемов использования метода мажоранта в решениях уравнений и неравенств.

2) эмпирические: исследование различных случаев решения уравнений и неравенств.

Работа « Метод мажорант и его применение при решении уравнений и неравенств » имеет практическое значение . Оно заключается в следующем: метод мажорант при решении уравнений и неравенств нам поможет при подготовке к ЕГЭ и к вступительным экзаменам в ВУЗы, получить более высокий конечный результат.

Оборудование – мультимедийный проектор

Определение мажоранты функции

Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Работа посвящена одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств – методу, основанному на свойстве ограниченности функций, который называется метод «мажорант».

Определение. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р (или множества А чисел) называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р (соответственно, х ≤ М для всех х из А, или х ≥ М для всех х из А).

Термин «мажоранта» происходит от франц узского слова «majorante» , от «majorer» — объявлять большим.

Мажоранты многих элементарных функции известны. Их нетрудно указать, зная область значений функции. Приведем примеры функций, мажоранты которых знаем.

Метод Мажорант

Государственное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа № 000

Автор проекта: ученик 10 «Б» класса

Научный руководитель проекта: учитель математики

1.1.Признаки присутствия мажоранты в задаче..………………. …. ….4

1.2.Примеры элементарных функций, которые имеют ограниченное множество значений……………………………..……………………. ….5

1.3. Встреча на краю. 6

При решении нестандартных задач встречаются уравнения, содержащие разнородные функции. Задания подобного типа встречаются среди экзаменационных.

Решение уравнений и неравенств — важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства и уравнения. Один из способов решения неравенств и уравнений – метод мажорант. Этим методом можно решать нестандартные уравнения; уравнения повышенной сложности, задачи с параметром.

В разных источниках данный метод называется по-разному. Некоторые математики называют этот метод по-другому: «метод математической оценки», «метод mini-max», задачи «встреча на краю». Но в большинстве источников он называется «метод мажорант» Это очень красивый метод, и ему непременно надо научиться всем. Метод, который имеет место быть в ЕГЭ.

Цель: показать практически универсальный алгоритм решения многих задач методом мажорант

Изучить определения мажоранты функции и исследовать, какие функции имеют мажоранту. Изучить метод мажоранта, применить этот метод для решения нестандартных уравнений и неравенств. Привести примеры уравнений и неравенств, которые могут быть решены методом мажоранта. Создать сборник задач по теме метод мажоранта для подготовки к ЕГЭ.

История слова «мажорант». В большой советской энциклопедии читаем «Мажоранта и миноранта, две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Главные выводы работы:

Выполняя данный исследовательский проект, я провел огромную работу. Для начала надо было собрать и систематизировать информацию по данной теме, что было достаточно тяжело, так как эта тема для меня новая, незнакомая, и все надо было начинать с нуля. Главной же частью данного проекта была практическая часть, а именно создание сборника задач по теме «Метод мажоранта» при решении уравнений и неравенств, который пригодится будущем, а именно при подготовке к ЕГЭ.

1. Обзор литературы

Метод мажорант — нестандартный метод решения уравнения и неравенств. Заключается в том, что одна часть уравнения (или неравенства) ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения (или неравенства) ограничена снизу этим же числом М. Число М называется мажорантой.

Мы знаем много мажорант для известных функций:

Методом мажорант решаются уравнения вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) — функции совершенно разного вида.

Мажорантой (от magiorante – главенствующий) данной функции f на множестве р называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех хр, либо f(х) ≥ М для всех хр.

1.1. Признаки присутствия мажоранты в задаче:

Смешанное уравнение (или неравенство), т. е. в задании есть разнородные функции, например, логарифмическая и линейная, или квадратный трехчлен и тригонометрическая, или вообще несколько видов, т. е. наличие в уравнении функций, уравнения с которыми решаются принципиально разными способами Сложный, трехэтажный и пугающий вид, большие числа и коэффициенты, т. е. если очевидно, что стандартными методами уравнение не решить.

Для нахождения мажоранты необходимы:

Знание свойств функций; Умение исследовать функции на максимум, минимум, области значений и прочие характеристики; Умение преобразовывать функции, так, чтобы было проще вытащить мажоранту;

При применении данного метода используется определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство . Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

При решении уравнения с помощью метода мажорант, мы, как правило: выясняем, что правая часть уравнения больше или равна какого-то числа, а левая – меньше или равна. Или наоборот. равенство возможно, если обе части уравнения равны этому числу приравниваем ту часть уравнения, которая проще, к этому числу и находим соответствующее значение х проверяем, что при этом значении х другая часть уравнения также равна этому числу.

Необходимо знать некоторые нестандартные неравенства:

1. а) при a > 0, равенство при a = 1

б) при a 0 |x| ≥ 0 ≥ 0 — ≤ arcsinx ≤ 0 ≤ arccosx ≤ —