Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств проект

Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств проект

Главная
• Список секций
• Математика
• МЕТОД «МИНИ-МАКСОВ» ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

МЕТОД «МИНИ-МАКСОВ» ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Под словами «нестандартные задачи» мы понимаем такие задачи, которые хотя и сформулированы с использованием только обычных понятий элементарной математики, тем не менее, не могут быть решены описанными ранее стандартными приёмами. Порой такие задачи трудно отличить от стандартных задач, опираясь только на их формулировку, и «нестандартность» задачи выявляется только в ходе её решения. Так, например, задачу № 8.52 из задачника для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровнь) 10 класса под редакцией А.Г. Мордковича можно отнести к «нестандартной». А порой стандартные задачи могут быть решены нестандартными приёмами. Появилась гипотеза: существуют «нестандартные» задачи и «нестандартные» методы решения задач.

Цель исследования: выявить «нестандартные задачи» на основе решения их методом «мини-максов».

1). Ознакомить с методом «мини-максов».

2). Применять метод «мини-максов» (метод сравнения, метод мажоранта, использование ограниченности функций) при решении уравнений.

3). Составить банк уравнений, решаемых с помощью метода «мини-максов». Решить их, по возможности, альтернативным способом и сравнить полученные решения по рациональности.

4). Распростанить опыт решения уравнений методом «мини-максов» среди старшеклассников лицея.

ГЛАВА I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1). Метод «мини-максов», применяется по простейшей схеме:

Если необходимо решить уравнение = (1) и на общей области определения E функций и выполняются неравенства:

и , то уравнение (1) равносильно системе уравнений:

Число А называют мажорантой функции.

Для применения метода «мини-максов» необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения или неравенства. Приведём перечень часто используемых для оценки базовых неравенств.

Неравенство Коши. (Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел).

Равенство достигается в этом неравенстве при a = b. Если же , то .

, где , при условии последнее неравенство равносильно неравенству Коши.

, равенство достигается при a = b.

Замечу также, что неравенство (3) выражает выпуклость функции на всей числовой оси .

Оценка суммы двух взаимообратных чисел.

, если A > 0, равенство достигается только при A = 1.

Эта неравенство вытекает из (1).

Неравенство Коши для n переменных.

Равенство выполняется только при

Оценка однородного линейного тригонометрического многочлена.

Оценка квадратного трёхчлена:

если a > 0, то ; равенство достигается при .

Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4

МЕТОД МИНИМАКСОВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, — метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.

Введение Основная часть Экстремальные свойства рассматриваемых функций Следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим Неравенство Коши-Буняковского Олимпиадные задачи Заключение Список литературы

Расширение и углубление теоретического материала, изученного на уроках математики, а также развитие умений применять полученные знания к решению нестандартных задач, формированию определенной культуры работы над задачей.

Исследовать значимость «метода минимаксов» в решении уравнений и неравенств в школьном курсе математики для довузовской подготовки. Проанализировать различные подходы к решению уравнений и неравенств «методом минимаксов». Подготовиться к Единому Государственному Экзамену. Пропагандировать возможность изучения данной темы в школьном курсе математики.

Тема моей работы «Метод минимаксов при решении уравнений и неравенств». Данный метод – возможность широко и осмысленно применять полученные на уроках алгебры знания. Меня привлекла активная работа мысли, направленная на поиск не просто правильного, а красивого решения, т. е. лаконичного, не стереотипного. А также участие в этом процессе творческого воображения и необходимость преодолевать трудности.

Знакомясь с «методом минимаксов», я прорешала много примеров и выделила 3 группы, классифицируя их по общим подходам к решению.

В задачах первого блока используются экстремальные свойства рассматриваемых функций. Во втором блоке — следствие из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим. Совершенно удивительным для меня было применение векторного неравенства Коши — Буняковского. С помощью «метода минимаксов» можно решить и некоторые задачи, которые встречаются на олимпиадах.

Все уравнения трансцендентные, т. е. содержат показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические функции от неизвестного. Они требуют нестандартного решения.

Экстремальные свойства рассматриваемых функций

В практике ЕГЭ по математике часто встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности показательных, тригонометрическим функций, обратных тригонометрических и других функций. Если при решении уравнения f(x)=g(x) удается показать, что для всех x из некоторого множества M справедливы неравенства f(x)≤A и g(x) ≥A, то на множестве M уравнение равносильно системе уравнений:

Решить:

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, — метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, пр

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МЕТОД МИНИМАКСОВ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Исследуя различные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств, автор избирает наиболее универсальный метод, по её мнению, — метод минимаксов, классифицируя задания по их общим подходам к решению: использование экстремальных свойств функций, применение неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим, неравенства Коши-Буняковского; а также выделяет ряд олимпиадных задач, к решению которых можно применить указанный метод. Работа может быть использована в качестве факультативного курса по математике.