Метод ньютона для нелинейного уравнения паскаль

Метод ньютона для нелинейного уравнения паскаль

Pers.narod.ru. Алгоритмы. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения

В литературе называется также методом касательных.

Рассмотрим графическую иллюстрацию метода (рис. 1). Предположим, что графическим методом определено начальное приближение х₀ к корню. В точке х₀ вычислим левую часть решаемого уравнения f₀ = f(x₀), а также производную в этой точке f'(x₀) = tg α. Следующее приближение к корню найдем в точке х₁, где касательная к функции f(x), проведенная из точки (х₀, f₀), пересекает ось абсцисс. Затем считаем точку х₁ в качестве начальной и продолжаем итерационный процесс. Из рис. видно, что таким способом можно приближаться к корню х*. При этом с каждой итерацией расстояние между очередным х_k+1 и предыдущим х_k приближениями к корню будет уменьшаться. Процесс уточнения корня закончим, когда выполнится условие

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости. Обычно абсолютная точность решения 10 -5 — 10 -6 достигается через 5-6 итераций.

Недостатком метода является необходимость вычисления на каждой итерации не только левой части уравнения, но и её производной.

Можно, несколько уменьшив скорость сходимости, ограничиться вычислением производной f'(x) только на первой итерации, а затем вычислять лишь значения f(x), не изменяя производной f'(x). Это алгоритм так называемого модифицированного метода Ньютона (рис. 2).

Ниже приводится простая консольная программа на Паскале для решения алгебраического уравнения произвольной степени n>1 . Функция f(x) и первая производная f'(x) задаются подпрограммами-функциями f и f1 соответственно.

Решение нелинейных уравнений на языке программирования Pascal

Практически перед каждым программистом рано или поздно встает задача определения корней уравнения. На сегодняшний день существует достаточно много алгоритмов решения данной задачи. Из этой статьи вы узнаете о наиболее известных алгоритмах численного решения уравнений. Практически все они могут быть разделены на два этапа: отделения и уточнения корней. Первую часть легко выполнить графическим методом. Для выполнения второго этапа решения уравнения можно воспользоваться одним из многих методов уточнения корней уравнения.

Наиболее простым в реализации является метод бисекции, или как его еще называют, метод половинного деления. Это итерационный метод, суть которого заключается в том, что на каждой итерации интервал сокращается вдвое до тех пор, пока не будет найдено решение с заданной точностью.

Данный метод достаточно прост и содержит всего два действия. Сначала находится переменная х – середина интервала [a,b]. После чего вычисляется значение функции в середине интервала. Затем определяется, совпадает ли по знаку значение функции в середине интервала, со знаком функции в левой части. В случаи если их знаки равны, то новой левой границей считается середина интервала, в ином же случаи правой граница интервала считается его середина. Таким образом, при каждой итерации интервал сокращается вдовое то справа, то слева. Очень часто можно встретить следующую реализацию данного метода.

Этот вариант, хотя и очень прост для понимания, содержит один недостаток. Дело в том, что если функция очень сильно изменяется, то при заданной точности, её значение может очень сильно отличаться. Поэтому для исключения этой неточности выгоднее использовать цикл с постусловием и сравнивать с заданным значением точности не разницу границ интервала, а значение функции. Тогда реализация метода примет следующий вид.

Другим очень хорошим методом нахождения корней уравнения, который несколько сложнее в реализации, чем предыдущий, является метод хорд. Отличается он тем, что границы интервала соединяются прямой линией, то есть хордой. Затем определяется точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, по формуле:

После чего находится значение функции в точке пересечения. По аналогии с предыдущим методом определяется новая левая или правая граница интервала, которой является точка пересечения. Реализация данного метода на языке программирования Pascal может быть представлена следующим образом.

Еще одним хорошим методом решения уравнений является метод касательных или метод Ньютона. Главное его отличие от представленных ранее методов биссекции и хорд – отсутствие необходимости отделения корня. Вместо этого нужно задать лишь начальное приближение. Однако его главным недостатком остается сложность реализации, связанная, прежде всего с необходимостью определять производные исходного уравнения.

В основе метода Ньютона лежит разложения функции в ряд Тейлора:

Обычно значения ряда, содержащие шаг h во второй и более высоких степенях отбрасывают, так как их влияние на результат незначительны.

Суть метода заключается в экстраполяции функции касательными. После того как пользователь задает начальное приближение, программа должна определить точку пересечения касательной к графику функции с осью абсцисс. Для этого используется формула:

Затем находится значение функции в точке пересечения касательной с осью абсцисс и если получившиеся значение близко к нулю, то считается, что решение уравнения найдено. Реализация данного метода может быть представлена следующим образом

К сожалению, при всех своих достоинствах метод Ньютона не гарантирует сходимости. Отсутствия решения может возникнуть по нескольким причинам. Например, это может произойти из-за того, что касательная будет параллельна оси абсцисс. В этом случаи необходимо предусмотреть выход из цикла при достижении большого количества итераций.

Существуют также и другие методы, например, золотого сечения. Какой из них использовать решать вам, однако следует отметить, что наиболее быстродейственным считается метод Ньютона, затем метод хорд и последним по быстродействию является метод половинного деления. Хотя количество итераций напрямую зависит от введенных начальных данных. При удачном стечении обстоятельств решение каждым из методов может быть найдено даже при единственной итерации.

Курсовая работа: Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко»

Кафедра физики, математики и информатики

по дисциплине: «Практикум по решению задач на ЭВМ»

«Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений»

студентка III курса;

с доп. специальностью английский

преподаватель Панченко Т. А.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, при что выполнении курсовых и дипломных проектов применение вычислительной техники становится нормой в подавляющем большинстве вузов.

Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология. В связи с этим можно констатировать, что применение ЭВМ приобрело массовый характер. Возникла многочисленная категория специалистов — пользователей ЭВМ, которым необходимы знания по применению ЭВМ в своей отрасли — навыки работы с уже имеющимся программным обеспечением, а также создания своего собственного программного обеспечения, приспособленного для решения конкретной задачи. И здесь на помощь пользователю приходят описания языков программирования высокого уровня и численные методы .

Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для большинства пользователей главной задачей является понимание основных идей и методов, особенностей и областей применения. Однако, пользователи хотят работать с ЭВМ не только как с высокоинтеллектуальным калькулятором, а еще и как с помощником в повседневной работе, хранилищем информации с быстрым и упорядоченным доступом, а так же с источником и обработчиком графической информации. Все эти функции современной ЭВМ я предполагаю продемонстрировать в настоящей курсовой работе.

Цели и задачи.

Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Данная работа состоит из трёх разделов, заключения и приложения. Первый раздел — теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона. Второй – это практическая часть. Здесь описывается метод Ньютона разобранный на конкретных примерах. Третий посвящён тестированию программы и анализу получившихся результатов. В заключении представлен вывод о проделанной работе.

Цельюданной курсовой работы является программная реализация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить необходимую литературу.

2. Обзорно рассмотреть существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3. Изучить метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4. Рассмотреть решение нелинейных уравнений методом Ньютона на конкретных примерах.

5. Разработать программу для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Проанализировать получившиеся результаты.

Рассмотрим задачу нахождения корней нелинейного уравнения

Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область [a,b], в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x₀ . Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

Существование на найденном отрезке [a,b], по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:

f(a)*f(b) 0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 — о квадратичной, m=3 — о кубической сходимостях.

Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

; (5,6)

или малости невязки:

(7)

Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.

1.1 Обзор существующих методов решения нелинейных уравнений

Существует много различных методов решения нелинейных уравнений, некоторые из них представлены ниже:

1)Метод итераций . При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁ =f(x₀ ), второе — x₂ =f(x₁ ) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой x_i+1 =x_i -F(x_i )\ F’(x_i ). Условие сходимости метода касательных F(x₀ )∙F»(x)>0, и др.

3). Метод дихотомии. Методика решения сводится к постепенному делению начального интервала неопределённости пополам по формуле С_к =а_к +в_к /2.

Для того чтобы выбрать из двух получившихся отрезков необходимый, надо находить значение функции на концах получившихся отрезков и рассматривать тот на котором функция будет менять свой знак, то есть должно выполняться условие f (а_к )* f (в_к ) 0 ;

x* О [a,c] , если f(c)Ч f(b) 0 ;

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (1) к эквивалентному уравнению вида:

В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корню x=x₀ , то следующее приближение найдем из уравнения x₁ =g(x₀ ), далее x₂ =g(x₁ ). Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (5-7).

Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.

Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=x и y=g(x). Как видно из рис. 3(а), если выполняется условие , то процесс сходится, иначе – расходится (рис3(б)).

Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:

(12)

Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функция g(x) удовлетворяла условию (12). К примеру, если функцию f(x) умножить на произвольную константу q и добавить к обеим частям уравнения (1) переменную х, то g(x)=q*f(x)+x . Выберем константу q такой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1 (0) так, чтобы выполнилось условие

Задать малое положительное число ε , как точность вычислений. Положить к = 0.

2. Вычислить х (к+1) по формуле (9) :

.

3. Если | x (k+1) — x (k) | (k+1) . Иначе увеличить к на 1 (к = к + 1) и перейти к пункту 2.

Решим вручную несколько нелинейных уравнений методом Ньютона, а потом сверим результаты с теми, которые получатся при реализации программного продукта.

Решить уравнение методом Ньютона.

sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x)=2x cosx 2 — 2x sinx 2 — 10.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x)=2cosx 2 — 4x 2 sinx 2 — 2sinx 2 — 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2 ) — sinx 2 (2+4x 2 ).

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 0, 565, тогда f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 0, 565.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2 ) – cos x.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 2, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 2.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = -cos x — e -x/2 /4.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.

3.1 Описание программы

Данная программа создана для работы в текстовом и графическом режиме. Она состоит из модуля Graph, Crt, трёх функций и трёх процедур.

1. модуль Crt предназначен для обеспечения контроля над текстовыми режимами экрана, расширенными кодами клавиатуры, цветами, окнами и звуком;

2. модуль Graph предназначен для обеспечения контроля над графическими объектами;

3. procedure GrafInit — инициализирует графический режим;

4. function VF – вычисляет значение функции;

5. function f1 – вычисляет значение первой производной функции;

6. function X_Newt – реализует алгоритм решения уравнения методом Ньютона.

7. procedure FGraf – реализует построение графика заданной функции f(x);

Ots=35 — константа, определяющая количество точек для отступа от границ монитора;

fmin, fmax – максимальные и минимальные значения функции;

SetColor(4) – процедура, которая устанавливает текущий цвет графического объекта, используя палитру, в данном случае это красный цвет;

SetBkColor(9) – процедура, которая устанавливает текущий цвет фона, используя палитру, в данном случае – это светло-синий цвет.

8. Procedure MaxMinF – вычислят максимальные и минимальные значения функции f(x).

Line – процедура, которая рисует линию из точки с координатами (x1, у1) в точку с координатами (х2, у2);

MoveTo – процедура, перемещающая указатель (СР) в точку с координатами (х, у);

TextColor(5) – процедура, устанавливающая текущий цвет символов, в данном случае – это розовый;

Outtexty(х, у, ‘строка’) – процедура, которая выводит строку, начиная с позиции (х, у)

CloseGraph – процедура, закрывающая графическую систему.

3.2 Тестирование программы

Для тестирования программы возьмем те примеры, которые решали в практической части работы, чтобы сверить результаты и проверить правильность работы программы.

1) sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000002

2) cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=-0, 0000000

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0008180

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

Сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

Целью работы было создать программу, которая вычисляет корень нелинейного уравнения методом Ньютона. Исходя из этого, можно сделать вывод, что цель достигнута, так как для ее осуществления были решены следующие задачи:

1.Изучена необходимая литература.

2.Обзорно рассмотрены существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3.Изучен метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4.Рассмотрено решение нелинейных уравнений методом Ньютона на примере.

5.Проведены тестирование и отладка программы.

Список используемой литературы

1. Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.

2. В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.

4. Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.