Метод ньютона для решения системы нелинейных уравнений эксель

Метод Ньютона в Excel

Как видно, процесс нахождения корней нелинейного уравнения методом Ньютона состоит из следующих этапов:

1. Получения шаблона.
2. Уточнение интервалов в ячейках B2 , B3 .
3. Замена в формуле ЕСЛИ запятую ( , ) на точку с запятой ( ; ).
4. Копирование строки итераций до требуемой точности (столбец E ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — значение первой производной dF(X) , столбец E — точность eps .

в примерах на EXCEL

Приближенные численные методы

Методическое пособие по дисциплине

“Приближенные методы вычислений”

Пособие предназначено для изучения дисциплины “Приближенные методы вычислений”, изучаемой на третьем году обучения для всех направлений бакалавриата, при подготовке к выполнению лабораторных работ. Оно должно дать студенту основные понятия о численных методах с использованием современных компьютеров и доступных программных средств.

Основное внимание уделено тщательно подобранным примерам, позволяющим наиболее ярко проиллюстрировать те или иные особенности каждого метода. Все примеры выполнены на одном из самых мощных современных программных средств — табличном процессоре EXCEL, входящим в состав широко распространенного пакета MICROSOFT OFFICE.

Пособие охватывает основные темы раздела учебной программы указанной дисциплины. Кроме методов, входящих в учебную программу, в пособии описаны алгоритмы и вычислительные процедуры встроенных в EXCEL специальных подпрограмм и функций, позволяющих реализовать те или иные численные методы, например, матричные вычисления, линейный регрессионный анализ, метод сопряженных градиентов, линейное программирование и т.п.

1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ с одним неизвестным. 5

1.1 Отделение корней. 5

1.2 Уточнение корней: метод итераций. 6

1.3 Уточнение корней: метод Ньютона. 8

1.4. Уточнение корней: метод бисекции ( деления отрезка пополам ). 10

1.5 Уточнение коней: подпрограмма EXCEL “Подбор параметра”. 12

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 13

2.1. Матричный метод. 13

2.2. Метод приближенных вычислений. 15

2.3. Метод Гаусса – Зайделя. 18

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 20

3.1. Выбор начальных приближений. 20

3.2 Метод Ньютона. 21

3.3. Метод итераций. 23

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. 25

4.1. Метод дихотомии. 25

4.2. Метод золотого сечения. 27

4.3. Встроенная подпрограмма EXCEL “Поиск решения”. 29

5. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. 30

5.1. Безусловная оптимизация: метод покоординатного спуска. 30

5.2. Безусловная оптимизация: метод наискорейшего спуска. 32

5.3. Безусловная оптимизация: подпрограмма EXCEL “Поиск решения”. 35

5.4. Условная оптимизация: метод штрафных функций. 35

5.5. Условная оптимизация: подпрограмма EXCEL “Поиск решения”. 38

5.6. Условная оптимизация: линейное программирование. 39

6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 43

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. 48

8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 51

8.1. Метод Эйлера. 51

8.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. 52

8.3. Метод прогноза и коррекции: метод Адамса. 53

9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 55

9.1. Задача Коши. 55

9.2. Краевая задача: метод стрельбы. 57

9.3. Краевая задача: метод прогонки. 57

10. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 60

1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ с одним неизвестным.

Уравнение с одним неизвестным можно записать в каноническом виде

Решение уравнения заключается в нахождении корней, т.е. таких значений х, которые обращают уравнение в тождество. В зависимости от того, какие функции входят в уравнение, разделяют два больших класса уравнений — алгебраические и трансцендентные. Функция называется алгебраической, если для получения значения функции по данному значению х нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень. К трансцендентным функциям относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические прямые и обратные и т.п.

Найти точные значения корней можно лишь в исключительных случаях. Как правило, используются методы приближенного вычисления корней с заданной степенью точности Е. Это означает, что если установлено, что искомый корень лежит внутри интервала [a,b], где a — левая граница, а b — правая граница интервала, и длина интервала (b-a) x -10x = 0

Для этого надо протабулировать функцию f(Х) = exp(Х) — 10*Х, записанную по правилам EXCEL, и построить ее график при изменении Х от какого-то Х_нач до Х_кон с шагом dХ. Пусть эти значения сначала будут таковы: Х_нач = 0, Х_кон = 5, dХ = 0,5. Если в этих пределах изменения Х нам не удастся отделить ни одного корня, тогда надо будет задать новые начальное и конечное значения х и, может быть, изменить шаг.

Для построения таблицы целесообразно воспользоваться специальной подпрограммой ТАБЛИЦА. Для этого на новом рабочем листе в ячейке B1 введем текст: ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ. Затем в ячейку А2 введем текст: x, а в смежную ей ячейку В2 — текст: f(x). Далее оставим ячейку А3 пустой, но в ячейку В3 введем формулу исследуемой функции по правилам EXCEL, а именно

Затем заполним числовой ряд изменений X в строках А4:A14 от 0 до 5 с шагом 0,5.

Выделим блок ячеек А3:B14. Теперь дадим команду меню Данные- Таблица. Результаты табулирования будут помещены в блок ячеек В4:В14. Для того чтобы сделать их более наглядными, нужно отформатировать блок В4:B14 так, чтобы отрицательные числа окрашивались в красный цвет. В этом случае легко найти два смежных значения X, для которых значения функции имеют разные знаки. Их и надо принять за концы интервала отделения корней. В нашем случае таких интервалов, как видно из таблицы два — [0;0,5] и [ 3,5;4].

Далее следует построить график нашей функции, выделив блок А4:B14 и вызвав Мастер Диаграмм. В результате получим на экране диаграмму изменения f(X), из которой видны следующие интервалы отделения корней [0;1] и [3;4].

Если изменять теперь числовые значения х в блоке А4:A14 то значения функции в ячейках B4:B14и график будут изменяться автоматически.

1.2 Уточнение корней: метод итераций.

Для уточнения корня методом итераций должно быть задано:

1) уравнение f(X) = 0, причем f(X) должно быть задано в виде формулы,

2) числа a — левая граница и b — правая граница интервала, внутри которого лежит один корень,

3) число Е — заданная точность получения корня.

Сам метод можно разбить на два этапа:
а) переход от канонического вида записи уравнения f(X)=0 к итерирующему виду X = g(X),
б) вычислительная итерирующая процедура уточнения корня.

Перейти от канонического вида уравнения к итерирующему можно различными способами, важно лишь чтобы при этом выполнялось достаточное условие сходимости метода: çg’(X)ç 0 сходимость будет монотонной, т.е. с увеличением итераций D будет приближаться к Е монотонно (не меняя знака), в то время как при g’(X) 1 на интервале [a,b] и характер сходимости будет монотонный.

Запрограммируем метод итераций для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А22 внесем число, равное 0. В ячейку В22 запишем формулу =0,1*EXP(A22), а в ячейку С22 формулу =А22- В22. Таким образом 22 строка содержит данные по первой итерации. Чтобы получить в строке 23 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки В22 в ячейку А23, записав в А23 формулу =В22. Далее надо скопировать формулы ячеек В22 и С22 в ячейки В23 и С23. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки А23,В23,С23 и скопировать их содержимое в блок А24:C32. После этого следует проанализировать изменение D = Х — g(X) в столбце С, найти D 0. Достаточные условия сходимости метода заключаются в том, что первая и вторая производные исследуемой функции должны сохранять знак на интервале [a,b]. В качестве начального приближения выбирают обычно или a, или b, в зависимости от того, кто из них соответствует формуле выбора Х₀.

Метод Ньютона допускает простую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами (X_i;f(X_i)) провести касательную к кривой f(X), то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью 0Х и есть очередное приближение корня Х_i+1.

Метод Ньютона можно рассматривать как некоторую модификацию метода итераций, дающую наилучшую итерирующую функцию g(X) на каждом шаге итерации. Проведем следующие преобразования с исходным каноническим уравнением f(X)=0. Умножим левую и правую его части на некоторое число l, отличное от нуля. Затем прибавим слева и справа по Х. Тогда будем иметь

Дифференцируя g(X), получим g’(X) = 1 + l*f’(X). Из достаточного условия сходимости метода итераций çg’(X)ç 0.

Запрограммируем метод Ньютона для этого примера на том же рабочем листе, где мы проводили отделение корней. В ячейку А42 внесем число, равное Х₀=0. В ячейку В42 запишем формулу =EXP(A42)-10*А42, в ячейку С42 формулу =EXP(A42)-10, а в ячейку D42 формулу =А42- В42/C42. Затем в ячейку Е42 запишем формулу =А42-D42. Таким образом 42 строка содержит данные по первой итерации.

Чтобы получить в строке 43 данные по второй итерации, скопируем содержимое ячейки D42 в ячейку А43, записав в А43 формулу =D42. Далее надо скопировать формулы ячеек В42, С42, D42, E42 в ячейки В43, С43, D43, E43. Для получения данных всех остальных итераций надо выделить ячейки в 43 строке и скопировать их содержимое в блок А44:Е47. После этого следует проанализировать изменение D в столбце E, найти D k 0, то значение А53 равно С52. В противном случае оно должно быть равно А52. В ячейке В53 наоборот: если F52 0” (разумеется без кавычек!), в поле Значение_если_истина внесем С52, а в поле Значение_если_ложь — А52. Щелкнем по кнопке Закончить. Вот и все.

То же самое надо проделать с ячейкой В53. Только Логическое выражение будет “F52 -1 *В.

Таким образом, алгоритм решения системы матричным методом можно представить в виде следующей последовательности вычислительных процедур:

1) получить матрицу А -1 , обратную матрицеА;

2) получить решение системы по формуле Хс = А -1 *В;

3) вычислить новый вектор свободных членов Вс = А*Хс;

4) вычислить невязку R = B — Bc;

5) получить решение системы по формулеdXc = А -1 *R;

6) сравнить все компоненты вектора dXc по модулю с заданной погрешностью Е: если все они меньше Е, то закончить вычисления, иначе повторить вычисления с п.2, гдеХс = Xc + dXc.

Рассмотрим матричный метод решения системы с помощью EXCEL на примере.

Решить систему уравнений

EXCEL имеет следующие встроенные функции, реализующие матричные вычисления:

а) МОБР — обращение матрицы,

б) МУМНОЖ — умножение двух матриц,

в) МОПРЕД — вычисление определителя матрицы.

При использовании этих функций важно правильно и компактно расположить на рабочем листе блоки ячеек, соответствующие исходным и рабочим матрицам и вектор-столбцам. Откроем новый рабочий лист, щелкнув на выбранном Вами ярлычке. Отведем под матрицу А блок ячеек А3:D6. Для наглядности заключим его в черную рамку. Для этого выделим блок A3:D6, дадим команду меню Формат- Ячейки и в открывшемся диалоге выберем вкладку Рамка. Откроется новый диалог, в котором щелкнем по полю Рамка- Контур и выберем в поле Рамка- Стиль самую толстую ширину линии. Подтвердим свое решение, щелкнув на кнопке ОК. Выделим теперь блок A8:D11 под матрицу А -1 и также заключим его в черную рамку, проделав действия, аналогичные блоку матрицы А. Далее выделим блоки ячеек под вектор-столбцы (обведя их черной рамкой): блок F8:F11 — под векторВ, блок H8:H11 — под вектор Хс, получающийся в результате умножения А -1 *В, блок H3:H6 — под вектор Вс, получающийся в результате умноженияА*Хс, причем для наглядности выделим дополнительный блок F3:F6, куда скопируем компоненты вектора Хс из блока H8:H11. И наконец, занесем в ячейки Е4 и Е9 знак умножения *, а в ячейки G4 и G9 знак равенства =, затем, выделяя по очереди столбцы Е и G, дадим команду меню Формат- Столбец — Подгон ширины. Таким образом мы подготовили рабочий лист к решению нашей задачи.

Внесем исходные данные: числа матрицы А в ячейки блока A3:D6, а числа вектора свободных членовВ — в ячейки блока F8:F11.

Начнем выполнение алгоритма с обращения матрицы А. Для этого выделим блок А8:D11, куда должен быть помещен результат операции. Этот блок окрасится в черный цвет, за исключением ячейки А8. Щелкнем по кнопке f_x на панели Стандартная, осуществив вызов Мастера Функций. Откроется диалог, в котором из поля Категория функций выберем строку Мат. и тригонометрия, а из поля Имя функции — строку МОБР. Перейдем ко второму шагу диалога, щелкнув по кнопке Шаг>. Здесь в поле Массив надо набить с клавиатуры А3:D6, что соответствует блоку ячеек, занятому матрицей А. Щелкнув на кнопке Закончить, можно увидеть, что в блоке А8:D11 заполнена лишь ячейка А8. Для завершения операции обращения EXCEL требует выполнения еще двух действий. Сначала надо сделать активной строку формул, щелкнув по ней ( в любом месте строки!) — курсор мыши примет при этом форму I. Проверкой правильности Ваших действий будет появление слева от строки формул четырех кнопок, в том числе с зеленой галочкой. После этого следует нажать на клавиатуре клавишу “Ctrl”, затем не отпуская ее — клавишу “Shift”, и не отпуская и ее — клавишу “Enter”, т.е. в результате должны быть нажаты все три клавиши одновременно! Вот теперь весь блок А8:D11 будет заполнен числами и можно выделить блок H8:H11, чтобы начать операцию умножения А -1 *В.

Выделив этот блок, снова вызовите Мастер функций и в поле Имя функции — выбирайте функцию МУМНОЖ. Щелкнув по кнопке Шаг>, перейдем ко второму шагу диалога, где в поле Массив1 внесем адрес А8:D11, а в поле Массив2 — адрес F8:F11. Щелкнем по кнопке Закончить и обнаружим, что в блоке Н8:H11 заполнена лишь ячейка Н8. Активизируем строку формул ( должна появиться зеленая галочка!) и по методике, описанной выше, нажмем одновременно три клавиши “Ctrl”-”Shift”-”Enter”. Результат умножения появится в блоке Н8:H11.

Для проверки точности полученного решения системы, проведем операцию вычисленияВс=А*Хс. С этой целью скопируем только числовые значения ( а не формулы!) ячеек из блока H8:H11 в ячейки F3:F6. Сделать это надо следующим образом. Выделим блок H8:H11. Дадим команду меню Правка— Копировать. Выделим блок F3:F6. Дадим команду меню Правка— Специальная вставка. Откроется диалог, в котором в поле Вставить следует выбрать режим Значения. Подтвердим свое решение, щелкнув по кнопке ОК.

После этой операции заполнены числами блоки А3:D6 и F3:F6. Можно приступить к умножению матрицы А на вектор Хс. Для этого надо выделить блок Н3:H6, вызвать Мастер Функций и, действуя так же, как и при вычислении Хс=А -1 *В, получить Вс. Как видно из таблицы, числовые значения векторов В и Вс совпадают, что говорит о хорошей точности вычислений, т.е. невязка в нашем примере равна нулю.

Подтвердим хорошую обусловленность матрицы А вычислением ее определителя. Для этого сделаем активной ячейку D13. С помощью Мастера Функций вызовем функцию МОПРЕД. В поле массив занесем адрес блока А3:D6. Щелкнув по кнопке Закончить, получим в ячейке D13 числовое значение определителя матрицы А. Как видно, оно значительно больше нуля, что говорит о хорошей обусловленности матрицы.

2.2. Метод приближенных вычислений.

Одним из наиболее распространенных итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод приближенных вычислений или метод Якоби.

Пусть надо решить систему

Предположим, что диагональные элементы a_11, a_22, a₃₃ отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда

Зададим начальные приближения неизвестных

Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение

На этом заканчивается первая итерация. Далее, используя вычисленные значения x₁ (1) , x₂ (1) и x₃ (1) , можно провести следующую итерацию, чтобы найти x₁ (2) ,x₂ (2) и x₃ (2) , Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения x_i (k) не станут близкими к x_i (k-1) . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так

Очевидно, что достаточные условия сходимости метода выполняются. Откроем новый рабочий лист EXCEL. Внеся в ячейку А1 текст с названием метода, отведем вторую строку для заголовка таблицы

Следующая третья строка должна содержать информацию о нулевой итерации, т.е. в ячейку А3 занесем ноль, а в ячейки В3, С3, D3 и E3 – начальные приближения, равные значениям свободных членов уравнения.

Четвертая строка будет содержать формулы для вычисления первой итерации

Для проведения остальных итераций следует скопировать формулы ячеек B4:J4 в нижние строки с 5 по, например, 15. Если числовые значения в столбце J будут меньше Е, решение найдено. В противном случае следует продолжить копирование. Результат решения показан на рисунке.

2.3. Метод Гаусса – Зайделя.

Этот метод является модификацией метода приближенных вычислений и отличается от него формулами вычислений первого и последующего приближений.

Пусть надо решить систему

Предположим, что диагональные элементы a_11, a_22, a₃₃ отличны от нуля. В противном случае можно переставить уравнения. Выразим переменные из первого, второго и третьего уравнений соответственно. Тогда

Зададим начальные приближения неизвестных

Подставляя их в правую часть преобразованной системы, получим новое первое приближение

На этом заканчивается первая итерация. В отличии от метода Якоби, здесь использовались не только начальные приближения, но и уже вычисленные значения неизвестных на первой итерации. Далее, используя вычисленные значения x₁ (1) , x₂ (1) и x₃ (1) , можно провести следующую итерацию, чтобы найти x₁ (2) ,x₂ (2) и x₃ (2) , Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока на какой-либо k-той итерации все значения x_i (k) не станут близкими к x_i (k-1) . Близость этих значений можно характеризовать максимальной абсолютной величиной их разности D. Тогда при заданной допустимой погрешности Е критерий окончания итерационного процесса можно записать так

Подберем начальные приближения. Выберем х_нач = 0, х_кон = 1, dx = 0,2. Откроем новый рабочий лист EXCEL и занесем эти значения х₁ в блок А4:A9. Выделим блок В4:В9 под значения х₂ первой серии, для которой f₁(x₁,x₂) = 0, и блок С4:С9 — под значения х₂ второй серии, для которой f₂(x₁,x₂) = 0. Блок D4:D9 отведем для функции f₁(x₁,x₂), а блок Е4:Е9 — для функции f₂(x₁,x₂) . Сделаем текущей ячейку D4. В нее запишем формулу =А4^3+B4^3-6*A4+3. В ячейку Е4 запишем формулу =A4^3-C4^3-6*C4+2. Теперь выделим блок D4:E4 и скопируем эти формулы в блок ячеек D5:E9. Разумеется, адреса ячеек столбцов А и С в них будут автоматически изменены.

Перейдем к заполнению блока В4:В9. Снова сделаем текущей ячейку D4. Дадим команду меню Сервис- Подбор параметра. В открывшемся диалоге в поле Установить в ячейке должен быть указан адрес ячейки D4 в абсолютных адресах. В поле Значение следует занести ноль, а в поле Изменяя ячейку — занести адрес ячейки В4 ( можно в относительных адресах). Щелкнем по кнопке ОК. Появится новый диалог Состояние подбора параметра. Если решение найдено, то, щелкнув по кнопке ОК, получим в ячейке B4 нужное нам числовое значение. Далее эту процедуру надо повторить для всех ячеек блока D4:D9. В результате будет заполнен блок В4:В9.

Аналогичным образом следует заполнить блок С4:С9, используя блок Е4:Е9.

Если блоки в столбцах В и С заполнены, можно построить диаграмму. Для этого необходимо выделить блок А3:Е9. Затем щелкнуть по кнопке Мастер Диаграмм на панели Стандартная. Передвигаясь по диалогу с помощью кнопки Шаг>, выполнить все 5 шагов построения диаграммы, причем на Шаге 2 из 5 выбрать тип XY-точечная, а на Шаге 3 из 5 — формат 6. Анализируя построенную диаграмму, можно сделать вывод о том, что в качестве начальных приближений можно выбрать х1 =0,5 и х2 = 0,5.

3.2 Метод Ньютона.

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка

причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х₁₀ и х₂₀, а также Е — точность вычислений значений корней. Функции должны быть дифференцируемы и формулы частных производных тоже должны быть известны.

Исходную систему можно записать в матричном виде

где X — двумерный вектор- столбец с компонентами < x₁,x₂ >, а F — двумерный вектор- функция. Метод Ньютона — это метод последовательных приближений по формуле

i — номер итерации, ( i = 0,1,2. )

J_i -1 — матрица, обратная матрице J на i-той итерации,

J— матрица Якоби, т.е. матрица первых частных производных:

Таким образом на каждой итерации вычисляется вектор Р, его компоненты сравниваются с заданной погрешностью Е по формуле

Для решения задачи воспользуемся встроенными в EXCEL матричными функциями и процедурами так, как это сделано в разделе 2 настоящего пособия при решении систем линейных уравнений.

Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 3.1. Необходимо отвести блоки ячеек для векторов Х,F и P, для матриц J иJ -1 , а также ячейки для вычисления якобиана и текущей величины погрешности D. Затем занести начальные приближения в блок Х и формулы в блокиJ иF. Далее с помощью Мастера функций надо организовать вычисление якобиана функцией МОПРЕД , матрицы J -1 — функцией МОБР и вектора Р — функцией МУМНОЖ по аналогии с примером 2.1. В результате будет выполнена первая итерация метода Ньютона и по численному значению D следует принять решение о проведении дальнейших итераций.

Из таблицы ясно, что D>E и дальнейшие итерации необходимы. По формуле Ньютона для получения новых числовых значений вектора Х нужно из значений блока Хвычесть значения блока Р. Это можно выполнить таким образом. Выделим блок Ри дадим команду меню Правка- Копировать. Затем выделим блок Хи дадим команду меню Правка- Специальная вставка. В появившемся диалоге выберем в поле Вставить переключатель Значения, а в поле Операция — переключатель Вычесть и подтвердим свой выбор щелчком по кнопке ОК. В результате будет выполнена вторая итерация. Блок ячеек Р будет обрамлен бегущей пунктирной линией. Если значение D получится все еще большим чем Е, то следует снова выделить блок Х и повторить команду меню Правка- Специальная вставка с указанием тех же переключателей. Эти манипуляции можно проводить до тех пор, пока D не станет меньше, чем Е. Во время проведения итераций нужно визуально контролировать числовое значение якобиана для выполнения достаточных условий сходимости метода.

3.3. Метод итераций.

Пусть задана система нелинейных уравнений 2-го порядка

причем левые части уравнений известны в виде формул. Заданы также числовые значения начальных приближений х₁₀ и х₂₀, а также Е — точность вычислений значений корней.

Для применения итераций исходная система приводится к виду

где функции g_i называются итерирующими. Алгоритм решения задается итерирующими формулами

где i -номер итерации, i = 0,1,2. Для прекращения итераций вычисляются значения

и D сравнивается с Е. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие D 3 + x₂ 3 + 3)/6

При изменении независимых переменных в пределах 0 2 )/2 + (x₂ 2 )/2,

Проведем вычисления на том же рабочем листе, что и в примере 4.2.

Отведем столбец А, начиная с 26 строки под значения х₁, столбец В под значения х₂, столбец С — под g₁, столбец D — под g₂, следующие три столбца под р₁,р₂ и D.

В строке 27 сформируем формулы для второй итерации, а затем скопируем их в блок А28:G32, с учетом изменений относительных адресов ячеек. В результате будем иметь заполненную таблицу

Как видно, процесс итераций сходится достаточно быстро.

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Одномерная задача оптимизации в общем случае формулируется следующим образом: найти значение независимой переменной Х, заданной на интервале[a,b], при котором некоторая целевая функция f(X) принимает минимальное значение. Если ставится задача нахождения максимума, например, функции g(X), то преобразованием f(X) = — g(X) она приводится к отысканию минимума f(X). Целевая функция f(X) должна быть задана в виде формулы. Если существует производная f’(X), то задача сводится к решению уравнения f’(X) = 0, например, методами, описанными в разделе 2.

Численные методы оптимизации используются тогда, когда целевая функция недифференцируема и, в общем случае, может быть не гладкой и даже непрерывной, т.е. может иметь разрывы первого рода по Дирихле.

Единственное условие, предъявляемое к целевой функции — она должна быть унимодальной на интервале [a,b], т.е. иметь на этом интервале только один минимум и не иметь ни максимумов, ни точек перегиба. Математически свойство унимодальности записывается так. Функция f(X) называется унимодальной на интервале [a,b], если на этом интервале существует такая точка Х*, что для значений Х

Итерации прекращаются, если d f(X₂), то а= X₁, иначе b= X₂,

4) если длина нового интервала d=(b-a)

Дата добавления: 2015-02-10 ; просмотров: 92 ; Нарушение авторских прав

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad

к выполнению лабораторных работ

по дисциплине «Вычислительная математика»

Решение нелинейных уравнений в Excel и Mathcad: Метод. указ. / Сост. , — Самара: СГАСУ, 20с.

Методические указания разработаны в соответствии с Государственным образовательным стандартом изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Рассмотрена реализация численных методов при решении нелинейных уравнений и систем уравнений в Excel и MathCad. Приведены варианты заданий для индивидуального выполнения и вопросы для самоконтроля и тестирования.

Предназначены для студентов специальности 230201 – «Информационные системы и технологии» всех форм обучения.

Рецензент к. ф-м. н.

Ó , составление, 2012

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

1.2 Отделение корней

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

1.4 Метод деления отрезка пополам

1.6 Метод Ньютона (касательных)

1.7 Комбинированный метод

1.8 Метод итераций

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

3 Задания к лабораторным работам

Лабораторная № 1. Отделение корней и стандартные инструменты решения нелинейного уравнения

Лабораторная № 2. Сравнение методов уточнения корней нелинейного уравнения

Лабораторная № 3. Решение систем нелинейных уравнений

Лабораторная № 4. Программирование методов решения нелинейных уравнений и систем

4 Вопросы и тесты для самоконтроля

Список рекомендуемой литературы

1 Решение нелинейного уравнения

1.1 Общие сведения о решении нелинейного уравнения

Как правило, нелинейное уравнения общего вида f(х)=0 невозможно решить аналитически. Для практических задач достаточно найти приближенное значение x, в определенном смысле близкое к точному решению уравнения хточн.

В большинстве случаев поиск приближенного решения включает два этапа. На первом этапе отделяют корни, т. е. находят такие отрезки, внутри которых находится строго один корень. На втором этапе уточняют корень на одном из таких отрезков, т. е. находят его значение с требуемой точностью.

Достигнутая точность может оцениваться либо «по функции» (в найденной точке x, функция достаточно близка к 0, т. е. выполняется условие |f(x)|≤ ef, где ef требуемая точность по оси ординат), либо «по аргументу» (найден достаточно маленький отрезок [a,b], внутри которого находится корень, т. е. |b–a|≤ ex, где ex требуемая точность по оси абсцисс).

1.2 Отделение корней

Отделение корней может производиться сочетанием графического и аналитического исследования функции. Такое исследование опирается на теорему Вейерштрасса, в соответствии с которой для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(х) и любого числа y, отвечающего условию f(a)≤y≤f(b), существует на этом отрезке точка x, в которой функция равна y. Следовательно, для непрерывной функции достаточно найти отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки, и можно быть уверенным, что на этом отрезке есть корень уравнения f(х)=0.

Для ряда методов уточнения желательно, чтобы найденный на первом этапе отрезок содержал только один корень уравнения. Это условие выполняется, если функция на отрезке монотонна. Монотонность, можно проверить либо по графику функции, либо по знаку производной.

Пример Найти с точностью до целых все корни нелинейного уравнения y(x)=x3 ‑ 10x + 7=0 а) построив таблицу и б) построив график. Найти корень уравнения на выделенном отрезке, используя опции «Подбор параметра» и «Поиск решения».

Решение Создадим в Excel таблицу, содержащую аргументы и значения функции и по ней построим точечную диаграмму. На рисунке 1 приведен снимок решения.

На графике видно, что уравнение имеет три корня, принадлежащие отрезкам [-4, -3], [0, 1] и [2, 3]. Эти отрезки можно выявить и наблюдая за сменой знаков функции в таблице. По построенному графику можно сделать вывод, что на указанных отрезках функция f(x) монотонна и, следовательно, на каждом из них содержится только по одному корню.

Такой же анализ может быть выполнен и в пакете Mathcad. Для этого достаточно набрать определение функции f(x), используя оператор присваивания (:=) и естественные общепринятые обозначения математических операций и стандартных функций, задать цикл для изменения аргумента, например, а затем вывести на экран таблицу значений функции (располо­жен­ными в одной строке командами x= f(x)=) и график. Цикл можно задать, например, командой x:=-5,-4.5…5. Шаг цикла формируется путем задания начального и следующего за ним значений переменной, а перед конечным значением переменной ставится точка с запятой, которая будет визуально отображена на экране в виде многоточия.

Рисунок 1 – Таблица и график для отделения корней нелинейного уравнения

1.3 Уточнение корней стандартными средствами Excel и Mathcad

Во всех методах уточнения корней необходимо задать начальное прибли­же­ние, которое затем и будет уточняться. Если уравнение имеет несколько кор­ней, в зависимости от выбранного начального приближения будет найден один из них. При неудачно выбранном начальном приближении решение может и не быть найдено. Если в результате первого этапа расчетов уже выделен отрезок, содержа­щий единственный корень уравнения, в качестве начального приближения можно взять любую точку этого отрезка.

В Excel для уточнения значений корней можно использовать опции «Подбор параметра» и «Поиск решения». Пример оформления решения приведен на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2 – Ввод значений для использования средств решения уравнения в Excel

Рисунок 3 – Результаты использования средств решения уравнения в Excel

В Mathcad для уточнения корней уравнения можно использовать функцию root(….) или блок решения. Пример использования функции root(…) приведен на рисунке 4, а блока решения на рисунке 5. Следует обратить внимание, что в блоке решения (после заголовка блока Given) между левой и правой частями уравнения должен стоять жирный знак равенства (тождества), который можно получить выбором из соответствующей палитры инструментов, либо нажатием одновременно клавиши Ctrl и =.

Рисунок 4 – Решение уравнения с использованием функции root(…) в Mathcad

Рисунок 5 – Решение уравнения с использованием блока решения в Mathcad

Как видим, каждый стандартный инструмент находит решение уравнения с определенной точностью. Эта точность зависит от метода, используемого в пакете и, в определенной степени, настроек пакета. Управлять точностью результата здесь достаточно сложно, а часто и невозможно.

В то же время, очень просто построить собственную таблицу или написать программу, реализующие один из методов уточнения корней. Здесь можно использовать критерии точности расчета, задаваемые пользователем. При этом достигается и понимание процесса расчетов без опоры на принцип Митрофанушки: «Извозчик есть, довезет».

Далее рассмотрены несколько наиболее распространенных методов. Отметим очевидный момент: при прочих равных условиях тот метод уточнения корней будет более эффективен, в котором результат с той же погрешностью найден с меньшим числом вычислений функции f(x) (при этом достигается и максимальная точность при одинаковом числе вычислений функции).

1.4 Метод деления отрезка пополам

В этом методе на каждом шаге отрезок делится на две равные части. Затем сравнивают знаки функции на концах каждой из двух половинок (например, по знаку произведения значений функций на концах), определяют ту из них, в которой содержится решение (знаки функции на концах должны быть разные), и. сужают отрезок, перенося в найденную точку его границу (а или b). Условием окончания служит малость отрезка, где содержится корень («точность по x»), либо близость к 0 значения функции в средине отрезка («точность по y»). Решением уравнения считают середину отрезка, найденного на последнем шаге.

Пример. Построить таблицу для уточнения корня уравнения x3 –10x+7=0 на отрезке [-4, -3] методом деления отрезка пополам. Определить сколько шагов надо сделать методом деления отрезка пополам и какая при этом достигается точность по х, для достижения точности по y, равной 0,1; 0,01; 0, 001.

Решение Для решения можно использовать табличный процессор Excel, позволяющий автоматически продолжать строки. На первом шаге заносим в таблицу значения левого и правого концов выбранного начального отрезка и вычисляем значение середины отрезка с=(a+b)/2, а затем вводим формулу для вычисления функции в точке a (f(a)) и растягиваем (копируем) её для вычисления f(c) и f(b). В последнем столбца вычисляем выражение (b—a)/2, характеризующего степень точности вычислений. Все набранные формулы можно скопировать во вторую строку таблицы.

На втором шаге нужно автоматизировать процесс поиска той половины отрезка, где содержится корень. Для этого испльзуется логическая функция ЕСЛИ (Меню: ВставкаФункцияЛогические). Для нового левого края отрезка мы проверяем истинность условия f(a)*f(c)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения левого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [a, c] нет), иначе оставляем значение a. Аналогично, для нового правого края отрезка мы проверяем истинность условия f(c)*f(b)>0, если оно верно, то мы в качестве нового значения правого конца отрезка берем число c (т. к. это условие показывает, что корня на отрезке [c, b] нет), иначе оставляем значение b.

Вторую строку таблицы можно продолжить (скопировать) на необходимое число последующих строк.

Итерационный процесс завершается, когда очередное значение в последнем столбце становится меньшим, чем заданный показатель точности ex. При этом, значение середины отрезка в последнем приближении, принимается в качестве приближенного значения искомого корня нелинейного уравнения. На рисунке 6 приведен снимок решения. Для построения аналогичного процесса в Mathcad можно использовать бланк, подобный приведенному на рисунке 7. Число шагов N может варьиро­вать­ся до достижения в таблице результатов требуемой точности. При этом таблица будет автоматически удлиняться или укорачиваться.

Итак, одним из трех корней нелинейного уравнения x3 – 10x + 7=0, найденным с точностью e=0,0001, является x= — 3,46686. Как мы видим, он действительно принадлежит отрезку [-4; -3].

Рисунок 6 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Excel

Рисунок 7 – Уточнение корня методом деления отрезка пополам в Mathcad

1.5 Метод хорд

В этом методе нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [а, b] заменяется линейной – уравнением хорды, т. е. прямой соединяющей граничные точки графика на отрезке. Условие применимости метода – монотонность функции на начальном отрезке, обеспечивающая единственность корня на этом отрезке. Расчет по методу хорд аналогичен расчету методом деления отрезка пополам, но теперь на каждом шаге новая точка x внутри отрезка [a,b] рассчитывается по любой из следующих формул:

.

1.6 Метод Ньютона (касательных)

Идея, на которой основан метод, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только на каждом шаге кривая f(x) заменяется касательной к ней, проведенной в предыдущей найденной точке. В качестве начальной точки в зависимости от свойств функции берется или левая граница отрезка, содержащего корень – x0 = а (если f(а) f»(х) > 0), или правая его граница: x0 = b (если f(b) f»(х)>0). Расчет нового приближения на следующем шаге i+1 производится по формуле:

.

Алгоритм применим для монотонных функций, сохраняющих выпуклость или вогнутость в промежутке между начальным приближением и корнем уравнения (т. е. должен сохраняться знак первой и второй производных функции f(x)). работоспособен при выпуклых и монотонных функциях f(x). В расчетах нет необходимости отслеживать две границы отрезка, поэтому достаточно на каждом шаге вычислять значения x, f(x) и f′(x). При этом легко оценить «точность по y», по значению левой части уравнения на очередном шаге. Для оценки «точности по x» нужно отслеживать разницу приближений на предыдущем и последующих шагах, которая связана с разницей между найденным приближением и точным значением корня.

Следует обратить внимание на следующую особенность метода: последовательность x1, x2, x3,… приближается к корню с другой стороны, в отличие от использования метода хорд при прочих равных условиях.

Главным достоинством метода касательных является квадратичная скорость сходимости, что во многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции.

Уточнить корень уравнения tg (0,55x+0,1) – x2=0 на отрезке [0.6, 0.8] методом касательных до точности 0,001.

Точность вычислений можно оценить из соотношения

2 Решение систем нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения о решении систем нелинейных уравнений

Систему n нелинейных уравнений с n неизвестными x1, x2, . xn записывают в виде:

где F1, F2,…, Fn – функции независимых переменных, среди которых есть нелинейные.

Как и в случае систем линейных уравнений, решением системы является такой вектор X*, который при подстановке обращает одновременно все уравнения системы в тождества.

Система уравнений может не иметь решений, иметь единственное решение, конечное или бесконечное количество решений. Вопрос о количестве решений должен решаться для каждой конкретной задачи отдельно.

Численные методы решения системы уравнений носят итерационный характер и требуют задания начального приближения X0.

Рассмотрим две группы таких методов: метод Ньютона с различными его модификациями и методы итераций (простых итераций и Зейделя).

2.2 Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

Будем рассматривать этот метод на примере системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Начальные значения x0 и y0 определяются графически. Для нахождения каждого последующего приближения (xi+1, yi+1) используют вектор значений функций и матрицу значений их первых производных, рассчитанные в предыдущей точке (xi, yi).

,

Для расчета новых приближений на шаге i+1 используется матричная формула

.

Следует обратить внимание, что в последней формуле используется вычисление матрицы, обратной к матрице первых производных.

Расчет останавливают при выполнении одного (а иногда и обоих) из двух условий. Первое из них заключается в том, что на очередном шаге максимальное по модулю из изменений аргументов x и y становится меньше заданная погрешность по аргументам. В соответствии со вторым из условий, на очередном шаге максимальное по модулю значение левых частей уравнений должно отличаться от нуля меньше, чем заданная погрешность по функциям.

В упрощенном методе Ньютона матрица производных и матрица, обратная к ней вычисляются только один раз (в начальной точке) и для расчетов используется матричная формула

.

Приведенные формулы особенно легко записать в Mathcad, где имеются операторы для вычисления производных и действий с матрицами. Однако при правильном использовании матричных операций эти формулы достаточно просто записываются и в Excel. Правда, здесь придется заранее получить формулы для вычисления производных. Для аналитического вычисления производных также может быть использован Mathcad.

2.3 Решение систем нелинейных уравнений методами итераций

Для реализации этих методов исходную систему уравнений необходимо путем алгебраических преобразований явно выразить каждую переменную через остальные. Для случая двух уравнений с двумя неизвестными новая система будет иметь вид

.

Для решения такой системы задаются начальным приближением x0, y0. Уточненные решения получают по шагам, подставляя в правые части уравнений значения, найденные на предыдущем шаге. В методе простых итераций для уточнения решения используют формулы:

.

Если одно из решений системы и начальные значения x0 и y0 лежат в области D, задаваемой неравенствами: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, то расчет по методу простых итераций сходится при выполнении в области D соотношений: