Метод ньютона для системы нелинейных уравнений онлайн

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

  2. Примеры правильного написания F(x) :
    1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
    2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
    3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
    4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

    Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
    Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

    1. Отделение корней, то есть установление интервалов [αi,βi] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
    2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

    Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

    Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

    Метод Ньютона онлайн

    Данный онлайн калькулятор находит корень уравнения приближённо. В основе алгоритма его работы лежит метод Ньютона. Чтобы начать работу, необходимо ввести исходные данные своей задачи.

    Методом Ньютона, найти корень (

    максимальное кол-во итераций:

    критерий останова вычислений:

    Метод Ньютона является численным, т.е. корень уравнения находится приближенно. При этом можно заранее задать точность его нахождения.

    Пусть нам дано уравнение

    Формула для поиска корня уравнения выглядит следующим образом:

    и — приближённые значения корня уравнения на -ой и ( )-ой итерациях соответственно, — значение функции в точке , — значение производной функции в точке .

    Как видно, для того чтобы начать работу необходимо задать точку — начальное приближение для корня уравнения . От выбора точки зависит сойдётся ли алгоритм к решению или нет. Сходимость метода квадратичная, но она резко ухудшается если мы ищем кратный корень уравнения, т.е. если и одновременно , где — кратный корень уравнения .

    Вычисления по приведённой выше формуле можно продолжать до бесконечности, соответственно на практике необходим некоторый критерий, который будет определять нужно ли нам продолжать вычисления или нет. Как правило, используется критерий останова вычислений на основе приращения или же на основе близости функции к нулю в некоторой точке .

    Критерий останова вычислений на основе приращения задаётся следующей формулой:

    т.е. различие (по модулю) между двумя последовательными приближениями к корню уравнения ( и ) должны быть меньше, некоторой наперёд заданной величины .

    Критерий останова вычислений на основе близости функции к нулю определяется следующей формулой:

    т.е. отличие (по модулю) между функцией в некоторой точке и нулём меньше .

    В тоже время, если последовательность к корню не сходится, то критерии останова не сработают и процесс поиска корня будет продолжаться бесконечно. Чтобы предотвратить такую ситуацию, на практике вычисления прекращают после некоторого, заданного количества итераций.

    На рисунке ниже приведена геометрическая интерпретация процесса поиска корня уравнения методом Ньютона.

    В точке мы строим касательную к графику функции . Уравнение касательной в этой точке имеет вид:

    Находим точку пересечения полученной касательной с осью абсцисс, т.е. рассматриваем точку с координатами . Подставляя координаты указанной точки в уравнение касательной, получаем следующее соотношение:

    Из данного уравнения находим :

    Продолжая данный процесс, получим формулу метода Ньютона, приведенную выше. Из-за того, что на каждой итерации фактически происходит построение касательной, метод Ньютона также иногда называют методом касательных.

    Другие полезные разделы:

    Оставить свой комментарий:

    Мы в социальных сетях:
    Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

    Метод Ньютона

    Этот онлайн калькулятор ищет корень (нуль) заданной функции, используя метод Ньютона (также известный как метод касательных)

    Этот онлайн калькулятор применяет метод Ньютона (также известный как метод касательных) используя калькулятор производных для получения аналитической формулы производной заданной функции (метод Ньютона требует вычисления производной). Под калькулятором можно прочитать краткое описание метода.

    Метод Ньютона

    Метод Ньютона 1

    Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации.

    Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. Далее процесс повторяется, пока не будет достигнута необходимая точность.

    Уравнение касательной к графику функции выглядит следующим образом:
    ,
    где — тангенс угла пересечения касательной с осью абсцисс.

    Тангенс угла пересечения касательной с осью абсцисс, — не что иное, как значение производной в точке .
    С учетом того факта, что в точке пересечения с осью абсцисс значение y равно нулю, можно записать следующее выражение для нахождения точки пересечения (следующей точки приближения):

    Метод Ньютона является очень мощным методом поиска корней функции, так как имеет квадратичную скорость сходимости — количество значащих цифр примерно удваивается с каждым шагом итерации, однако существуют и ограничения, затрудняющие его применение. Так, например, если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись, если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня, если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена, если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

    Теорема Канторовича дает следующие условия применимости метода для поиска корней функции:

    1. функция должна быть ограничена;
    2. функция должна быть гладкой, дважды дифференцируемой;
    3. её первая производная f'(x) равномерно отделена от нуля;
    4. её вторая производная f»(x) должна быть равномерно ограничена.


    источники:

    http://mathforyou.net/online/numerical/newton/

    http://planetcalc.ru/7748/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут