Метод ньютона хорд решение уравнений

Метод ньютона хорд решение уравнений

Nickolay.info. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x₁*, x₂*, x₃*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <x_n>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |x_n – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X₁== 0.268;

X₂== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x₁)= 3x₁ 2 -12x₁+3=11.39; на интервале — убывает до f(x₂)= 3x₂ 2 -12x₂+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Метод ньютона хорд решение уравнений

В данном разделе рассматриваются методы решения следующих алгебраических задач:
— нахождение корней конечного уравнения ;
— решение системы линейных алгебраических уравнений;
— решение нелинейной системы конечных уравнений;
— нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы.

2.1. Методы решения алгебраических уравнений

Пусть дана непрерывная на некотором промежутке функция . Необходимо найти принадлежащие этому промежутку корни уравнения

Как правило, алгоритм приближенного метода состоит из двух этапов:

— поиск приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

— уточнение приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Иногда ограничиваются только первым этапом. При этом могут использоваться решения близких задач, графические методы, физические соображения и т.д. На втором этапе для уточнения приближенного значения обычно строится последовательность, элементы которой в пределе сходятся к точному значению корня. Сам метод решения при этом называется итерационным или методом последовательных приближений.

2.1.1. Метод деления отрезка пополам

Одним из итерационных методов является метод деления отрезка пополам (дихотомии, бисекции).

На первом этапе должен быть найден отрезка такой, что

Тогда отрезок содержит нечетное число корней уравнения (1) нечетной кратности ( — корень кратности p, если , ).

Начальное приближение x 0 = .

На втором этапе выбирается тот из двух отрезков , , на концах которого функция имеет значения разных знаков и за принимается середина этого отрезка, и т. д.. Таким образом, строится последовательность , сходящаяся при к . После каждой итерации отрезок, содержащий корень уменьшается вдвое. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока длина полученного отрезка не станет меньше заданной величины . За приближенное решение принимается средняя точка последнего промежутка. 2.1.2. Метод хорд

В некоторых случаях несколько большей скоростью сходимости обладает метод хорд, у которого на втором этапе при выборе очередного приближения внутри отрезка, содержащего корень, учитывается величина невязки на концах отрезка: точка выбирается ближе к тому концу, где невязка меньше ( но в некоторых случаях это может замедлить сходимость по сравнению с методом дихотомии ).

Геометрический смысл заключается в замене кривой хордой. Очередное приближение находится как точка пересечения хорды с осью абсцисс.

Если — отрезок содержащий корень, то уравнение хорды

Для точки пересечения хорды с осью абсцисс имеем

принимается за очередное приближение к корню. Далее выбирается тот из промежутков , на концах которого функция имеет значения разных знаков и т. д.. При этом, если дважды непрерывно дифференцируемая функция и знак сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно.

Если знаки и сохраняются на исходном промежутке, содержащем корень, то у всех получаемых промежутков один конец будет общим, а именно тот, на котором совпадают знаки функции и второй производной. Например, если , то последовательные приближения к корню вычисляются по формуле

и корень принадлежит последовательности вложенных отрезков

Если оставить неподвижным тот конец промежутка, где знаки и противоположны, то после вычисления получаем промежуток не содержащий корень уравнения. Дальнейшее развитие событий зависит от поведения конкретной функции и величины промежутка. Возможна как сходимость метода ( при этом соседние приближения находятся по разные стороны от корня), так и его расходимость.

Рассмотрим сходимость метода хорд и оценки погрешности приближенных решений.

Пусть на исходном промежутке функция дважды дифференцируема, знаки и сохраняются и

Из формулы (3) получаем

Прибавляя слева и применяя к разности и

формулу конечных приращений (формулу Лагранжа), далее получаем

Из формулы (4) добавляя справа в скобке * и группируя члены, получаем

Так как знаки разностей и совпадают,

Причем и одного знака. Тогда

Отсюда следует, что погрешность приближенного решения стремится к нулю при . В этом случае говорят, что метод сходится. И когда убывание погрешности приближенного решения характеризуется неравенством вида (5) говорят также, что метод имеет линейную скорость сходимости. (Сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

Из формулы (4) также следует неравенство, в котором погрешность приближенного решения оценивается через разность двух последовательных приближений

Здесь и на рассматриваемом отрезке.

Другой вариант оценки погрешности приближенного решения через невязку дает сама формула конечных приращений

Отсюда (с учетом, что ) получаем

Фомы (6) и (7) позволяют установить, что для получения приближенного решения с заданной точностью (т.е. такого , для которого будет меньше заданного числа ) достаточно выполнить такое количество итераций , после которого будет выполнено хотя-бы одно из условий

2.1.3. Метод Ньютона

Геометрический смысл метода Ньютона (метода касательных) заключается в том, что на отрезке содержащем корень уравнения (1) график функции заменяется отрезком касательной, проведенной к графику при или . (Предполагая что функция дифференцируема на .)

При этом используется только одна точка, поэтому не обязательно задавать отрезок , содержащий корень, достаточно задать некоторое приближение .

Уравнение касательной в точке

Для точки пересечения с осью 0x получаем

Объем вычислений в методе Ньютона на каждом шаге выше, чем в предыдущих методах, т. к. в точке вычисляются значения функции и ее производной, что компенсируется более высокой скоростью сходимости этого метода.

Но в отличие от предыдущих методов метод Ньютона сходится не при всяком выборе начального приближения на отрезке, содержащем корень уравнения.

Легко проверить, что примером достаточных условий сходимости метода будет сохранение знака второй производной f(x) на некотором промежутке, содержащем корень, и выбор начального приближения с той стороны от корня, где знак функции совпадает со знаком второй производной.

При этом последовательные приближения будут сходится к корню монотонно.

Другой вариант достаточного условия сходимости получается при исследовании скорости сходимости вблизи корня

Перепишем формулу (8) в виде

Используя для разности разложение по формуле Тейлора до членов второго порядка, получим

Из неравенства (9) следует, что

Условие (10) можно рассматривать как ограничение на выбор начального приближения: выполнение неравенства

достаточно для сходимости метод.

Если погрешности приближенных решений, полученных некоторым методом, удовлетворяют неравенству вида (9) (где ), то говорят, что метод имеет квадратичную скорость сходимости.

Наличие показателя степени 2 в правой части неравенства (9) определяет большее убывание погрешности приближенных решений, полученных методом Ньютона, по сравнению, например, с методом хорд.

Оценки погрешности приближенных решений могут быть получены в аналогичном методу хорд виде. Из формулы (8) следует

отсюда получается формула, аналогичная (4)

Из этой формулы вытекает оценка (6)

Для погрешности приближенного решения также справедлива и оценка (7)

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Численные методы решения нелинейных уравнений. Метод хорд.

Метод хорд ( метод также известен как Метод секущих ) один из методов решения нелинейных уравнений и основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения . Итерационный процесс выполняется до того момента, пока не будет достигнута заданная точность .

В отличие от метода половинного деления, метод хорд предлагает, что деление рассматриваемого интервала будет выполняться не в его середине, а в точке пересечения хорды с осью абсцисс (ось — Х). Следует отметить, что под хордой понимается отрезок, который проведен через точки рассматриваемой функции по концам рассматриваемого интервала. Рассматриваемый метод обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления, при условии задания одинакового рассматриваемого интервала.

Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и (см. рис.1.).

Рис.1. Построение отрезка (хорды) к функции .

Уравнение прямой (хорды), которая проходит через точки А и В имеет следующий вид:

Данное уравнение является типовым уравнением для описания прямой вы декартовой системе координат. Наклон кривой задается по ординате и абсциссе с помощью значений в знаменателе и , соответственно.

Для точки пресечения прямой с осью абсцисс записанное выше уравнение перепишется в следующем виде:

В качестве нового интервала для прохождения итерационного процесса выбираем один из двух или , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Один из множества этих способов — умножение значений функции на концах отрезка и определение знака произведения путём сравнения результата умножения с нулём:

или .

Итерационный процесс уточнения корня заканчивается, когда условие близости двух последовательных приближений станет меньше заданной точности, т.е.

.

Рис.2. Пояснение к определению погрешности расчета.

Следует отметить, что сходимость метода хорд линейная, однако более быстрая, чем сходимость метода половинного деления.

Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения по методу хорд

1. Найти начальный интервал неопределенности одним из методов отделения корней. З адать погрешность расчета (малое положительное число ) и начальный шаг итерации ( ) .

2. Найти точку пересечения хорды с осью абсцисс:

3. Необходимо найти значение функции в точках , и . Далее необходимо проверить два условия:

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри левого отрезка положить , ;

— если выполняется условие , то искомый корень находится внутри правого отрезка принять , .

В результате находится новый интервал неопределенности, на котором находится искомых корень уравнения:

4. Проверяем приближенное значение корня уравнения на предмет заданной точности, в случае:

— если разность двух последовательных приближений станет меньше заданной точности , то итерационный процесс заканчивается. Приближенное значение корня определяется по формуле:

— если разность двух последовательных приближений не достигает необходимой точности , то необходимо продолжить итерационный процесс и перейти к п.2 рассматриваемого алгоритма.

Пример решения уравнений методом хорд

В качестве примера, рассмотрим решение нелинейного уравнения методом хорд. Корень необходимо найти в рассматриваемом диапазоне с точностью .

Вариант решения нелинейного уравнения в программном комплексе MathCAD .

Результаты расчетов, а именно динамика изменения приближенного значения корня, а также погрешности расчета от шага итерации представлены в графической форме (см. рис.1).

Рис.1. Результаты расчета по методу хорд

Для обеспечения заданной точности при поиске уравнения в диапазоне необходимо выполнить 6 итераций. На последнем шаге итерации приближенное значение корня нелинейного уравнения будет определяться значением: .

Примечание:

Модификацией данного метода является метод ложного положения ( False Position Method ), который отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

Следует отметить, что в случае если от нелинейной функции можно взять вторую производную алгоритм поиска может быть упрощен. Предположим, что вторая производная сохраняет постоянный знак, и рассмотрим два случая:

Случай №1: 0,

f»(a)>0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из первого условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона a .

Случай №2: 0″ width=»158″ height=»20″ border=»0″ />

Из второго условия получается, что неподвижной стороной отрезка является – сторона b .

В общем виде, для выявления неподвижного конца можно записать следующее условие: 0″ width=»122″ height=»20″ border=»0″ /> , где или .

Рис. 3. Примеры убывающей или возрастающей функции

Таким образом, в зависимости от вида функции получаются два выражения для упрощения поиска корня функции:

— если функция соответствует первому случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

— если функция соответствует второму случаю (см. рис. 3), тогда формула будет иметь следующий вид:

, где k =0,1,2,…

Случай сводится к рассматриваемому , если уравнение записать в форме: .

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.