Метод ньютона решения нелинейных уравнений реферат

Метод ньютона решения нелинейных уравнений реферат

Читинский Государственный Университет

Факультет экономики и информатики

Кафедра прикладной информатики и математики

по дисциплине: Численные методы

на тему: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

Выполнила: ст. гр. ПИ-07-1

1. Метод Ньютона

1.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона

1.2 Алгоритм решения задач с помощью метода Ньютона

1.3 Примеры решения уравнений с помощью метода Ньютона

2. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений

2.1 Метод итераций

2.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций

2.2 Метод Ньютона

2.2.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода Ньютона

2.3 Метод спуска

Список использованной литературы

Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня заданной нелинейной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643-1727), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных.

Что же касается систем нелинейных алгебраических уравнений, то итерационные методы решения данных систем приобретают особую актуальность, в связи с тем, что к ним в отличие от систем линейных уравнений не возможно применить прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему можно решить непосредственно.

1. Метод Ньютона

.1 Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Этот метод применяется, если уравнение f(x) = 0 имеет корень x Î [a;b], и выполняются условия:

) функция y=f(x) определена и непрерывна при x Î (- ¥ ; + ¥ )

) производные f ¢ (x) и f ² (x) сохраняют знак на отрезке [a;b] (т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезке [a;b], сохраняя при этом направление выпуклости).

) f ¢ (x) ¹ 0 при x Î [a;b]

Основная идея метода заключается в следующем: на отрезке [a;b] выбирается такое число x 0 , при котором f(x 0 ) имеет тот же знак, что и f ² (x 0 ), т. е. выполняется условие f(x 0 )?f ² (x)>0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x 0 , в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x 0 сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Пусть нам дана некоторая функция f(x) = 0 на отрезке [a,b]. Возможно 4 случая:

— f(a)-f(b) ¢ (x) > 0; f ² (x) > 0

f(a)-f(b) ¢ (x) > 0; f ² (x)

f(a)-f(b) > 0; f ¢ (x) ² (x) > 0

Рассмотрим метод Ньютона на первом случае.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a;b], и имеющая f ¢ (x) > 0 и f ² (x) > 0. Уравнение касательной имеет вид: y-y0= f ¢ (x 0 )?(x-x 0 ). В качестве точки x0 выбираем точку B(b; f(b)). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x 1 . Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x1, получаем точку b 1 . Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке b 1 , и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x2. Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x 2 , получаем точку b 2 .

Первое приближение корня определяется по формуле:

Второе приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корны определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства | xi-xi-1| ¢ (x) и f ² (x), причем f ¢ (x) ¹ 0 при x Î [a;b], f ¢ (x) и f ² (x) должны сохранять знак на отрезке [a;b]

выбираем один из концов отрезка [a,b] за x 0 , исходя из того, что должно выполняться следующее условие f(x 0 )?f ² (x 0 )>0.

— вычисляем , пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства | xi-xi-1| 1,30,253137-1,470291,5-0,26435-0,12004

Так как, при x = 1,5, то за x0, берем x = 1,5.

Так как , то на данном шаге можно остановится.

) Решить уравнение с .

Так как нам не дан интервал, которому принадлежит корень уравнения, то для локализации корней применим графический способ. Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:

Построив графики функций и , определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 0.4 — отделение решений.

2 этап — уточнение всех или только нужных решений.

Отделить решения — значит установить количество решений, определить приближенные значения каждого из них или указать область, в которой решение существует и является единственным.

Для реализации данного этапа используются графические или аналитические способы.

При аналитическом способе отделения корней используется следующая теорема: непрерывная строго монотонная функция имеет и притом единственный нуль на отрезке [ a;b ] тогда и только тогда, когда на его концах она принимает значения разных знаков.

Достаточным признаком монотонности функции f(x) на отрезке [ a;b ] является сохранение знака производной функции.

Графический способ отделения корней целесообразно использовать в том случае, когда имеется возможность построения графика функции у = f(x).

Наличие графика исходной функции дает непосредственное представление о количестве и расположении нулей функции, что позволяет определить промежутки, внутри которых содержится только один корень. Если построение графика функции у = f(x) вызывает затруднение, часто оказывается удобным преобразовать данное уравнение к эквивалентному виду f 1 (x)=f 2 (x) и построить графики функций у = f 1 (x) и у = f 2 (x) Абсциссы точек пересечения этих графиков будут соответствовать значениям корней решаемого уравнения.

Чаще всего задача отделения решений графическим способом достаточно просто решается только для системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Для систем с большим числом неизвестных (n ³ 3) удовлетворительных общих методов определения области существования решения нет. Поэтому при решении СНУ эта область обычно определяется при анализе решаемой задачи, например, исходя из физического смысла неизвестных.

Так или иначе, при завершении первого этапа, должны быть определены промежутки, на каждом из которых содержится только один корень уравнения.

Отделение решений позволяет:

1) Выявить число решений и область существования каждого из них.

) Проанализировать возможность применения выбранного метода решения СНУ в каждой области.

) Выбрать начальное приближение решения x 0 из области его существования, так что x 0 Î D.

При отсутствии информации об области существования решения СНУ выбор начального приближения x 0 проводиться методом проб и ошибок.

Методы уточнения решений СНУ.

Уточнение интересующего решения до требуемой точности ? производится итерационными методами.

Основные методы уточнения решений СНУ получены путем обобщения итерационных процессов, используемых при решении одного нелинейного уравнения.

.1 Метод итераций

Как и в случае одного уравнения, метод простых итераций заключается в замене исходной системы уравнений эквивалентной системой X= ?(X), где

и построении итерационной последовательности X(k+1) = ?(X(k)), где k=1,2,3,… — номер итерации, которая при k?? сходится к точному решению.

В развернутом виде формула итерационного процесса (выражение для вычисления очередного k-го приближения решения) имеет вид:

Условие окончания расчета

где ? — заданная точность решения;

Итерационный процесс сходиться к точному решению, если в окрестности решения соблюдаются условия сходимости:

Таким образом, для уточнения решения СНУ методом простых итераций нужно найти такое эквивалентное преобразование в X=?(X), чтобы в области существования решения выполнялись условия сходимости.

.1.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода итераций

Решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,003

Дана система нелинейных уравнений:

Перепишем данную систему в виде:

Построив графики данных функций, определим начальные приближения.

Из графика видим, что система имеет одно решение, заключенное в области D: 0 00,15-2-0,45-0,435-0,4161-0,138710,16128-2,035-0,4387-0,4248-0,4477-0,149220,15077-2,0248-0,4492-0,4343-0,4385-0,146230,15382-2,0343-0,4462-0,4315-0,4471-0,14940,15098-2,0315-0,449-0,4341-0,4446-0,148250,1518-2,0341-0,4482-0,4333-0,4469-0,14960,15104-2,0333-0,449-0,434-0,4462-0,148770,15126-2,034-0,4487-0,4338-0,4468-0,148980,15105-2,0338-0,4489-0,434-0,4467-0,1489

Так как . где , то

.2 Метод Ньютона

Идея метода заключается в линеаризации уравнений системы , что позволяет свести исходную задачу решения СНУ к многократному решению системы линейных уравнений.

Пусть известно приближение xi(k) решения системы нелинейных уравнений xi*. Введем в рассмотрение поправку Dxi как разницу между решением и его приближением:

Подставим полученное выражение для xi* в исходную систему.

Неизвестными в этой системе нелинейных уравнений являются поправки Dxi. Для определения Dxi нужно решить эту систему. Но решить эту задачу так же сложно, как и исходную. Однако эту систему можно линеаризовать, и, решив ее, получить приближенные значения поправок Dxi для данного приближения, т.е. Dxi(k). Эти поправки не позволяют сразу получить точное решение , но дают возможность приблизиться к решению, — получить новое приближение решения

Для линеаризации системы следует разложить функцию f i в ряды Тейлора в окрестности x i (k) , ограничиваясь первыми дифференциалами.

Полученная система имеет вид:

Все коэффициенты этого уравнения можно вычислить, используя последнее приближение решения x i (k) . Для решения системы линейных уравнений при n=2,3 можно использовать формулы Крамера, при большей размерности системы n — метод исключения Гаусса.

Значения поправок используются для оценки достигнутой точности решения. Если максимальная по абсолютной величине поправка меньше заданной точности e , расчет завершается. Таким образом, условие окончания расчета:

Можно использовать и среднее значение модулей поправок:

В матричной форме систему можно записать как:

где: , — матрица Якоби (производных),

W(X(k)) — матрица Якоби, вычисленная для очередного приближения.

F(X(k)) — вектор-функция, вычисленная для очередного приближения.

Выразим вектор поправок ?X(k) из :

где W-1 — матрица, обратная матрице Якоби.

Окончательно формула последовательных приближений метода Ньютона решения СНУ в матричной форме имеет вид:

Достаточные условия сходимости для общего случая имеют очень сложный вид, и на практике проверяются редко. Нужно отметить, что метод сходится очень быстро (за 3 — 5 итераций), если det|W| ¹ 0 и начальное приближение X (0) выбрано близким к решению (отличаются не более чем на 10%).

Алгоритм решения СНУ методом Ньютона состоит в следующем:

1) Задается размерность системы n, требуемая точность ?, начальное приближенное решение .

) Вычисляются элементы матрицы Якоби

) Вычисляется обратная матрица .

) Вычисляется вектор функция , , .

) Вычисляются вектор поправок

) Оценивается достигнутая точность

) Проверяется условие завершения итерационного процесса .

Если оно не соблюдается, алгоритм выполняется снова с пункта 2.

Для уменьшения количества арифметических действий Рафсон предложил не вычислять обратную матрицу W-1, а вычислять поправки как решение СЛУ: , данный метод получил название метод Ньютона-Рафсона.

Достоинством методов Ньютона является быстрая сходимость, недостатками — сложность расчетов (вычисление производных, многократное решение системы линейных уравнений), сильная зависимость от начального приближения.

.2.1 Пример решения системы уравнений с помощью метода Ньютона

Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений с точностью до 0,002.

Отделение корней производим графически.

Для построения графиков функций, составим таблицу значений функций, входящих в первое и второе уравнение.

Значения для x можно брать исходя из следующих условий:

из первого уравнения -1 -0.76

За начальное приближение примем x 0 =0.4; y 0 =-0.75.

Имеем следующие системы:

Найдем элементы матрицы Якоби , где , и значения функций в x0=0.4; y0=-0.75:

Все вычисления производим в таблице.

nxn0.8xn22xn-ynsin(2xn-yn)F(xn,yn) detWdetW1?xyn1.5yn2cos(2xn-yn)G(xn,yn) detW2?y00,4000,12801,550,999780,11978-1,15841-0,020792,61970,27010,1031-0,7500,843750,02079-0,028250,64000-2,250000,043940,0167710,50310,202491,739430,98581-0,01791-1,535680,167843,2429-0,0379-0,0117-0,73320,80644-0,16780,008930,80496-2,19969-0,0007-0,000220,49140,193191,716280,98944-0,00026-1,489940,144973,164-0,0006-0,0002-0,73340,80692-0,14490,000110,78627-2,20034-0,00005-0,00001

Так как ? Теги: Метод Ньютона (метод касательных). Решение систем нелинейных алгебраических уравнений Курсовая работа (теория) Математика

Реферат: Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА «Прикладной информатики и управления»

По дисциплине: «Вычислительная математика»

По теме: «Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона».

Выполнил: студент (ЦДО)

№спец. 230102 (АСОИУ)

Проверил: Обухова Л.Г.

г. Набережные Челны – 2010 г.

В данной работе необходимо рассмотреть решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Данный метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов», адресованной в 1669 году английскому математику Исааку Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» или «Аналитическая геометрия». В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение .

1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Нелинейным уравнением называется уравнение вида

, (1.1)

где — нелинейная функция вида:

— нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен);

— тригонометрическая, логарифмическая, показательная функция;

— комбинирование этих функций, например .

Решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , которое при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.

На практике не всегда удается найти точное решение. В этом случае решения уравнения (1.1) находят с применением приближенных (численных) методов.

Приближенным решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (1.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности.

Нахождение приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений и их систем распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

Первый способ отделения корней – графический . Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если имеет сложный аналитический вид, то можно представить её в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . После построения графиков и задача решения нелинейного уравнения сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1).

Второй способ отделения корней – аналитический . Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах:

1) если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

2) если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

3) если функция является многочленом n -й степени и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка функция меняет знак, то уравнение (1.1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо найти критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности , на каждом из которых определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности , на которых функция меняет знак, то есть выполняется неравенство . На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из наиболее распространенных методов уточнения корня на отрезке является метод Ньютона (метод касательных).

2 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ).

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Причем, производные — непрерывны и сохраняют определенный знаки на отрезке . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Найдем какое-либо -е приближенное значение корня и уточним его методом Ньютона следующим образом.

. (2.1)

По формуле Тейлора получим

.

Следовательно, .

Внося эту правку в формулу (2.1), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:

(2.2)

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

Для определенности положим и . Выберем начальное приближение , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . За первое приближение берем точку пересечения касательной с осью . На кривой определим точку и проведем касательную к кривой в этой точке. Найдем следующее приближение и так далее (рис. 2.1).

Составим уравнение касательной в точке :

.

Полагая , из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:

.

Если в качестве начального приближения взять другой конец отрезка , то следующее приближение .

Рассмотрим метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения .

Теорема. Если и производные не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень уравнения с любой степенью точности.

Пусть для определенности при (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Из неравенства следует, что , т.е. .

Докажем, что все приближения расположены правее , т.е. , а значит .

Доказательство проведем методом индукции:

а) ;

б) предположим, что ;

в) докажем, что .

Точное решение уравнения (1.1) можно представить в виде

.

Применяя формулу Тейлора, получим:

(2.3)

где .

Так как по условию теоремы , то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,

.

Отсюда, в силу того, что , получим:

.

Таким образом доказали, что все последовательные приближения , т.е. находятся правее , и, следовательно .

Из соотношения (2.2), учитывая знаки и , следует, что , т.е. последовательные приближения образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим . Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:

,

т.е. . Отсюда следует, что , т.е. . А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.

Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и , т.е. выполняется достаточное условие сходимости

. (2.4)

Следует заметить, что чем больше числовое значение в окрестности корня , тем меньше правка . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня график функции имеет большую крутизну (т.е. , тогда ). Если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальна (т.е. , тогда ), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать . Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:

для всех . (2.5)

Если выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения .

В данной работе было рассмотрено решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

Достоинства метода Ньютона:

1) обладает достаточно большой скоростью сходимости, близкой к квадратичной;

2) достаточно простое получение итерационной формулы.

Недостатки метода Ньютона:

1) сходится не при любом выборе начального приближения;

2) применим только в тех случаях, когда производная функции на всей области определения не равна нулю.

В некоторых случаях для решения систем нелинейных уравнений целесообразно применять модифицированный метод Ньютона.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. «Элементы численного анализа и математической обработки результата опыта» М., Наука 1970., 432 с.

2. Красильников В.В. Математичемкие методы в экономике. Набережные Челны, 1999, 475 с.

3. Горбунов Д.А., Комиссарова Е.М. Вычислительная математика: Учебное пособие. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 148 с.

Реферат: Решение нелинейных уравнений

1. Теоретическая часть

2. Метод половинного деления

4. Метод Ньютона (касательных)

5. Метод простой итерации

Список использованных источников

Основной целью реферата является изучение и сравнительный анализ итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение уравнений на ЭВМ.

При разработке алгоритмов, входящих в состав математического обеспечения САПР, часто возникает необходимость в решении нелинейных уравнений вида

где функция f(x) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале a 0. Тогда уравнение хорды, проходящей через точки A0 и B, имеет вид

.

Приближение корня x = x1, для которого y = 0, определяется как

.

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1 и B, вычисляется следующее приближение корня

.

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

. (2)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

f ‘(x)f «(x) 0. Если справедливо неравенство f(a)f «(a) > 0, то целесообразно применять формулу (3).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением:

.

Тогда условие завершения вычислений записывается в виде:

, (4)

где e — заданная погрешность вычислений. Необходимо отметить, что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

4. Метод Ньютона (касательных)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке [a, b], причем f ‘(x) и f «(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале [a, b] и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс (рис. 3). Уравнение касательной в точке C0 имеет вид

y = f(x0) + f ‘(x0)Ч(x — x0).

Далее за приближение корня принимается абсцисса x1, для которой y = 0:

Затем проводится касательная через новую точку C1(x1, f(x1)) и определяется точка x2 ее пересечения с осью 0x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:

В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x1, x2, . xi, . каждый последующий член которой ближе к корню x*, чем предыдущий. Итерационный процесс обычно прекращается при выполнении условия (4).

Начальное приближение x0 должно удовлетворять условию:

f(x0) f ўў(x0) > 0. (6)

В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. На практике в качестве начального приближения корня x0, обычно выбирается одна из границ интервала [a, b], т.е. x0 = a или x0 = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной Ѕf ў(x)Ѕвблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f(x) в интервале [a, b] почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.

Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f ў(x) мало изменяется на интервале [a, b], то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой

, (7)

т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках Ci(xi, f(xi)), где i = 1, 2, . заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f(x) в начальной точке C0(x0, f(x0)), как это показано на рис. 4.

В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x0 выбрано достаточно близким к истинному корню x* уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления.

5. Метод простой итерации

Чтобы применить этот метод для решения уравнения (1) необходимо преобразовать его к виду . Далее выбирается начальное приближение и вычисляется x1, затем x2 и т.д.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); …; xk = j(xk-1); .

нелинейный алгебраический уравнение корень

Полученная последовательность сходится к корню при выполнении следующих условий:

1) функция j(x) дифференцируема на интервале [a, b].

2) во всех точках этого интервала jў(x) удовлетворяет неравенству:

0 Ј q Ј 1. (8)

При таких условиях скорость сходимости является линейной, а итерации следует выполнять до тех пор, пока не станет справедливым условие:

.

,

может использоваться только при 0 Ј q Ј Ѕ. Иначе итерации заканчиваются преждевременно, не обеспечивая заданную точность. Если вычисление q затруднительно, то можно использовать критерий окончания вида

; .

Возможны различные способы преобразования уравнения (1) к виду . Следует выбирать такой, который удовлетворяет условию (8), что порождает сходящийся итерационный процесс, как, например, это показано на рис. 5, 6. В противном случае, в частности, при Ѕjў(x)Ѕ>1, итерационный процесс расходится и не позволяет получить решение (рис. 7).

Проблема повышения качества вычислений нелинейных уравнений при помощи разнообразных методов, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Список использованных источников

1. Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. — Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ -М.: Высш. шк. , 1991. — 400 с.

2. Абрамов С.А., Зима Е.В. — Начала программирования на языке Паскаль. — М.: Наука, 1987. -112 с.

3. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. — М.: Высш. шк., 1990 — 479 с.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. — Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1990. — 416 с.